Sur l'écoulement libre des liquides dans les tubes capillaires

HAL Id: jpa-00233554

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00233554

Submitted on 1 Jan 1938

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of

sci-entific research documents, whether they are

pub-lished or not. The documents may come from

teaching and research institutions in France or

abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents

scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

émanant des établissements d’enseignement et de

recherche français ou étrangers, des laboratoires

publics ou privés.

Sur l’écoulement libre des liquides dans les tubes

capillaires

Albert Grumbach

To cite this version:

LE

JOURNAL

DE

_PHYSIQUE

ET

1.~ RADIUM

SUR

L’ÉCOULEMENT

LIBRE DES

_LIQUIDES

DANS LES TUBES CAPILLAIRES Par ALBERT

GRUMBACH,

Professeur à la Faculté des Sciences de Poitiers.

Sommaire. - L’auteur a établi et intégré l’équation du _régime variable d’écoulement d’un liquide

entraîné par son _{propre poids} dans un tube étroit indéfini vertical; seule, jusqu’à présent, l’équation du

régime permanent avait été donnée par Stokes. L’on obtient ainsi une _{image simplifiée} du fonctionnement des viscosimètres à écoulement libre _{qui explique les nombres erronés donnés par les appareils} munis de réservoirs de _trop faible capacité.

SÉRIE VII. - @rome IX. N° 2. FÉVRIER

1938.

Les travaux fondamentaux de Poiseuille se

_rapportent

à l’écoulement sous

_pression

constante en

_régime

per-manent ;

les meilleurs

_procédés

de mesure de la visco-sité des

_liquides

dérivent directement de ces recherches.

Au

_point

de vue

_pratique,

la définition correcte des

conditions à réaliser a été _{donnée par MM. H.}

_Weiss,

P.

_Woog

et M.

Louis,

et la

_{description complète}

de la

méthode

_applicable

en

_physique

industrielle se trouve dans un mémoire de M. H. Weiss

(~).

Toutefois,

la

_{complication expérimentale représentée}

par l’établissement d’une

pression

constante a conduit à

l’emploi fréquent

de viscosimêtres à écoulement libre tels que celui de W. Ostwald. Des indications à ce

_sujet

ont _{été données par M. J. Duclaux}

₍₎

et _{par M. E.}

Hat-schek

_(3).

MM. J. Duclaux et P. Errera

₍₄₎

ont

_également

étudié les

_appareils

à

_diaphragmc

_{poreux. Dès}

_qu’on

s’écarte des conditions de

_Poiseuille,

le

_problème

théo-rique

devient très

_compliqué;

_{seule, l’équation}

du

régime permanent

d’écoulement libre dans un tube

capillaire

indéfini avait été donnée par Stokes

(5).

Il était intéressant de rechercher le mode d’établissement de ce

_régime;

en

_effet,

le

_problème

est

approximative-ment celui de l’écoulement sous _{l’influence de la}

pesan-teur

_{d’un liquide}

contenu dans un réservoir surmontant

un tube

_capillaire

vertical de

_longueur

très

_grande

_par

(1) I3. WFiss. « l2éLhode unifiée française de mesure de la

vis-cosité » 1,Vorld congress, n° _{192, London,} 1933.

() J. DUCLB.UX. Traité de _{Physique appl.} à la _Biologie,

1932-34, t I, p. u-24; Hermann. Paris.

(3) E. HATSCREIL La viscosité des _liquides, trad. _{fr , 1932,} p. 25,

41 et suiv., Dunod, Paris.

(4) J. DucLArx et P. ERRERA. Journ. de _Phys., 1925, [6J, 6, p. 20?.

(~) G. CT, STOKEfi, and _{phys. papers, 1880,} t. 1, p. 10:5,

Cambr. U. P.

rapport

à la hauteur du réservoir

_qu’on

_{supposera très}

large.

Nous admettrons que, dès le

début,

le

_régime

est

_laminaire;

dans ces conditions

_{simplifiées,}

le

pro-blème du

_régime

variable

_peut

être

_{complètement}

résolu

_(’).

Equation

générale. -

Le tube

_cylindrique

circu-laire de rayon a est

vertical;

le

_liquide

de densité p a

le coefficient de viscosité normal u,. Si r est la distance d’un

_point

du

_liquide

à l’axe du

tube,

x étant une lon-gueur

comptée

sur

_l’axe,

et v la vitesse en un

_point

_(r,

_x),

ou

avec

ou

Régime

0,

et

_{l’équation (1)}

at

admet alors la solution w

_{(r) qui}

_{doit être vérifiée pour}

t == _{00 ,} telle que :

( ) A. GRC3IBACH. Comptes rendus, 1936, t. 202, p. 1653. Le pro-blème traité ici st distinct de celui qu’a étudié M. P. Szymanski

au _point de vue _{purement mathématique :} établissement du

régime sous l’action d’une _pression extérieure. Journ. de _{Math. p.}

et _{appl. [9].} ii , 1932, p. 6’7. , ,

50

avec

_==0;

_-, on en déduit

_{l’équation}

de Stokes :

Le débit en volume est alors

expression

différant de la formule de Poiseuille par la substitution du

_{poids spécifique}

du

_liquide

au

gra-dient de

_pression.

Régime

variable. - Pour

_intégrer

_{l’équation (1),}

posons :

où 1c vérifie les

_équations

₍₂₎

et

(3B

Les conditions aux limites sont les suivantes :

(x)

La vitesse initiale est

_{nulle: pour 1--0,}

_{=:2013’( ),}

quel

que soit r.

(y)

Il

_n’y

a _{pas de}

_glissement

à la

_{paroi :}

_{f (a,}

_t)

= 0

quel

que soit t.

(o)

f

reste fini sur l’axe du tube

_{(pour î-- 0).}

En substituant dans

_{(I) l’expression (5),}

on trouve

Posons ï == _pt,

₍₆₎

devient :

oqLmtKm

qui s’intègre

par la méthode de Fourier en

posant

uii les lin sont des fonctions de la seule variable y; en

portant

t cette

_expression

dans

_(6’)

nous obtenons un

sys’eme

d’équations

différentielles

Si l’on pose Sn = il

V Kn,

la ne

_{équation prend}

la

’l ~ ,

1(Itiation

de Bessel d’ordre zéro.

Les un

restant

finis,

nous

_adopterons

_{pour solution}

de

_(6’)

d’ailleurs,

pour r ~ _a, la condition

(y)

donne

:1.1, ’X2, ... (fn, ... étant les zéros de

7o

(y),

on a :

Par

suile,

L’exposant

du terme

_général

de la série

₍₈₎

est donc

Posons

Les conditions

_{(p), (y)}

et

₍₃₎

étant

_remplies,

il faut écrire que la vitesse initiale est nulle

_{(x~ :}

-~

C’est à

_{partir de (10)}

_qu’on

calculerales

coefficients 4,,.

Ainsi que M.

Bouligand

me l’a

_obligeamment

_signalé,

Kello-g

e)

a donné la méthode

_générale

à

_employer

dans les

_problèmes

de ce _genre.

Dans l’intervalle

_(0,1),

les fonctions

sont

_orthogonales

_pour

_{7c ~ p}

et de

_{plus :}

On en déduit

0. D. KELLOGG. _of potential lheory, t 9 ~9, p -? }

51

L’intégrale

8/1

se calcule sans difficulté à

_partir

de

l’équation

de Bessel en tenant

_compte

de l’identité

D’autre

_{part :}

En

_intégrant

par

parties,

on trouve :

d’où

La vitesse est donc :

Le débit instantané a _pour

_{expression :}

Comme

Le _{débit q1} en

_régime

_permanent

se trouve en facteur.

"D’autre

_part,

comme 0

_pour

_t=o,

nous

retrou-dt

von s une des formules de

_Rayleigh

_{( ) :}

1) L, RAYLEIGH. Sc. papers, 1900, t. I, p. 190,’Cambridge U. P.

Calcul du volume q s’écoulant en un

_{temps t.}

D’où

Or

On

_peut

donc se limiter au

_premier

terme de la série :

L’équation

(16)

nous

_permet

de nous rendre

_compte

de la

_rapidité

d’établissement du

_régime

_permanent.

Par

_exemple,

dans le cas de

_{l’eau, p.}

~

10-2,

pour un tube de 1 mm de diamètre.

L’exposant

L’exponentielle

devient donc très vite

_négligeable

et

la formule

₍₁₆₎

se réduit à

Dans

_{l’exemple choisi,}

_{pour t =100} s,

Conclusion. - Comme nous l’avons

_indiqué

_plus

haut,

ces résultats ne

_{s’appliquent}

_qu’à

un tube

capil-laire très

_long

surmonté d’un réservoir bas et

_large,

mais on

_{comprend cependant}

_pourquoi

le réservoir des

viscosimètres à écoulement libre doit avoir une assez

grande capacité.

En

_effet,

si les mesures

_portent

sur