Mouvement oscillatoire et mouvement uniforme des liquides dans les tubes cylindrique. Frottement interne

HAL Id: jpa-00241721

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00241721

Submitted on 1 Jan 1911

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Mouvement oscillatoire et mouvement uniforme des liquides dans les tubes cylindrique. Frottement interne

M. Menneret

To cite this version:

M. Menneret. Mouvement oscillatoire et mouvement uniforme des liquides dans les tubes cylindrique. Frottement interne. J. Phys. Theor. Appl., 1911, 1 (1), pp.753-766.

�10.1051/jphystap:0191100109075301�. �jpa-00241721�

753 La pyrrhotine ^ne permet donc pas de ^constater l’existence d’une

région ^de ferromagnétisme ^sollicité par le champ extérieur, ayant ^le

même caractère que pour les ^autres corps. Il ^{est à} peine possible qu’elle existe dans le voisinage ^{immédiat du} point ⁰ qui, d’après ^nos

expériences, ^semble être à 3 t 8° et qui, par d’autres expériences

directes non publiées, ^a été trouvé à 3i9°. Cette manière d’être de la pyrrhotine, qui, ^{sous d’autres rapports,} s’accorde si bien avec la

théorie, ^{est assez} énigmatique. (A suivre).

MOUVEMENT OSCILLATOIRE ET MOUVEMENT UNIFORME DES LIQUIDES DANS LES TUBES CYLINDRIQUES. FROTTEMENT INTERNE;

Par M. M. MENNERET (1).

On sait depuis longtemps que : Dansles fluides ^{réels en}

les forces moléculaires ont une coYnposante tangent¿’elle, ^{et ceci est} prouvé par ce fait : le débit ^d’un liquide qui s’écoule par ^{un tube est}

toujours plus petit que celui que l’on calcule en appliquant le principe

de Torricelli. On donne le nom de viscosité à cette propriété ^des liquides.

Navier, ^en 1822, ^a donné la théorie mathélnatique ^{du mouvement}

uniforme des fluides dans les tubes cylindriques ^{et introduit un}

coeffiçient ~, caractéristique de la viscosité du fluide, ^et que l’on peut définir ainsi représente ^la force ^à appliquer par centi1nètre ^eccrré de sur faee pour que la vitesse ^v diz liquide parallèlement ^{à la} paroi augmente ^{de l’unité} quanclla distance 4 la paroi aug1nente de 1 ^cen- Les mouvements les plus simples que l’on puisse employer pour

déterminer , ^{sont le mouvement uniforme et le mouvement} pério- dique ^du liquide, ^{à condition} pourtant que ^{l’on se} place ^{dans un cas}

où l’intégration ^des équations ^de Navier soit possible. J’indiquerai cependant ^{une méthode} qui permet ^{de se} passer de ^cette intégration.

Je résume brièvement les résultats obtenus jusqu’ici.

l11éthode de l’o’cotfle»ieJi t 1>i ifoInnte ^{dans un tube}

^C"est

( 1) ^{Cette note est} le résumé d’un mémoire publié dans les Annales de la Facullé de Grenoble, présenté ^{comme thèse à} la Faculté des Sciences de Paris (mai 1911)

et portant le même titre.

J. de Phys., ^5e série, ^{t. I.} (Septembre 1911.) ⁵²

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:0191100109075301

754

surtout depuis Darcy (Mémoires ^{cles savants} étrangers, 1857) que l’on sait _que cet écoulement peut ^{se faire} suivant deux régimes ,

dans un tube donné : le premier régime, ^dit régime ^de Poiseuille , pourles ^faibles vitesses; le deuxième régime, ^dit hydraulique, pour les grandes ^vitesses.

Osborn Reynolds ^{a montré} (1), que la vitesse critique ^Vc qui

marque le passage d’un régime ^{à l’autre est} donnée par :

~., ^masse spécifique ^du liquide ; ’1, ^son coefficient de viscosité, et r,

le _rayon du tube.

Poiseuille (Recueil ^{des Savants} étrangers, 1846) ^{a montré} que, tant que la vitesse est très petite, ^le premier régime ^est représenté

par:

D, ^{débit en} centimètres cubes par seconde; H, différence de charge

entre les deux bouts du tube de longueur ^l.

Mais la formule ^ne s’applique plus quand la vitesse devient un

peu grande, quoique ^encore notablement inférieure à Vc. ^{La raison}

est qu’une partie F, ^{de la} charge ^est employée ^à communiquer ^au liquide ^{sa force vive, le reste} H~ = ^{H - e est} employé ^à vaincre les frottements. Pour les faibles vitesses, ^{s est} négligeable. ^{Nous ver-}

rons plus ^loin la forme que l’on ^a donnée à ce terme correctif.

Pour représenter ^le régime hydraulique, ^{on a} proposé ^un grand

nombre de formules empiriques qui, ^{toutes sans} exception, ^ne

tiennent aucun compte ^de l’existence d’une vitesse critique qui ^est

le point ^de départ du deuxième régime. ^{Toutes en effet} supposent implicitement que le régime hydraulique ^{commence à} la vitesse zéro .

De plus ^le coefficient -~ n’y figure pas explicitement. ^{Dans la for-}

mule empirique que je propose plus loin, ces deux lacunes n’existent

plus.

Méthode du cylindre ^tournant 1nouvernent

C’est la rotation uniforme ^d’un cylindre ^{autour d’un autre} cylindre fixe, ^de

même _axe, de diamètre un peu différent, l’intervalle entre les deux

(1) Philosophicallfonsaclions (Royal Society of London), ^1883.

755

cylindres ^étant rempli par ^le liquide. Le deuxième cylindre ^est

maintenu fixe, ^en équilibre, par la ^{torsion d’un} fil par exemple.

Cette torsion mesure le frottement.

Cette méthode ^a été bien étudiée par M. Couette (thèse, 1890). ^Là

encore il existe deux régimes ^{selon la} vitesse, ^{et la mesure} der

n’est possible encore que pour ^les faibles vitesses du premier régime.

lWéthode du disque oscillcult ^ou J.1£éthode de Un disque plan horizontal, plongé ^{dans le} liquide, ^{oscille dans son} plan ^autour

d’un fil métallique ^vertical auquel ^{il est} suspendu. ^{On détermine}

le décrément logarithmique ~ ^{de ce mouvement} oscillatoire amorti.

La relation théorique ^{établie entre} 1, ui et les dimensions de l’appa-

reil permet de calculer _-~. Mais cette relation théorique ^ne peut ^être

établie que d’une façon approchée, ^{aussi cette} méthode donne pour

des ^{nombres un} peu forts.

A côté de ces trois méthodes je ^{n’en connais aucune} présentant

une réelle importance.

J’ai songé ^{alors à} utiliser le mouvement oscillatoire d’une colonne de liquide ^{dans un tube en U.}

PRElB1IÈRE PARTIE.

ÉTUDE DES OSCILLATIONS D’UNE COLOINNIF, DE LIQUIDE

DANS UN TUBE EN U.

Appareil ^{et méthodes}

^{Le tube} (fig. 1) ^est appli - qué verticalement contre une lame de verre dépoli éclairée par d er- rière. Cette lame porte des divisions horizontales et distantes de 2 centimètres environ. Les oscillations sont observées ^au cathétomètr e

placé à 2 mètres environ du tube, ^et portant ^une lunette de champ

assez large. ^{Pour écarter le} liquide ^{de sa} position d’équilibre A,,

on aspire (ou ^on souffle) par ^un tube de 2 mètres de long ^{et de 4 cen -}

timètres de diamètre relié en 1 au tube en U, ^{on serre} le tube de caoutchouc qui le termine et on le lâche ensuite brusquement (A, ^se

trouve en face d’une des divisions de la lame et on l’écarte en l’ame- nant en A,, ^en face d’une autre division). ^La colonne, abandonnée à

elle-même, ^retombe jusqu’en A,, puis ^{remonte en} A3’ ^{Il est facile de}

placer le réticule horizontal de la lunette de façon que le ^sommet

du ménisque, ^{en arrivant en} A,, ^soit juste tangent ^{à ce} réticule. La

756

première amplitude a,

A,A, est connue, mais ce serait une erreur

de prendre pour l’amplitude suivante a3 ^la longueur AoA3’ ^{car du} liquide ^{est resté adhérent à la} paroi ^et A,A, ^est trop faible. Pour

~

FiG. 1.

corriger cette erreur, ^on produit ^le même écart initial _{a1, vers} le bas,

ce qui donne pour l’amplitude ^{suivante une} longueur A,A, trop grande pour la ^même raison. La valeur exacte de l’amplitude ([,3 ^est alors donnée _{par :}

En opérant ainsi pour différentes valeurs de l’amplitude ^initiale a1,

on voit alors comment l’amortissement l~-1

dépend ^de l’amplitude a,.

a:1

Le rayon du tube ^est déterminé par ^un jaugeage ^{au mercure.}

J’emploie pour cela ^une colonne de mercure un peu plus longue que la partie courbe du tube. Je ^mesure la longueur qu’elle occupe ^suc- cessivement dans la partie courbe, puis dans chacune des deux branches. J’en déduis les sections moyennes 82’ S3 de ^ces trois ré-

gions, ^et je n’emploie que les tubes pour lesquels s’ ~ s~ ^{+ 83 diffère}

de moins de 1,/40 des valeurs extrêmes.

La longueur de la colonne liquide ^{est facile à} mesurer au cathéto- mètre, ^si on.a préalablement déterminé la longueur de la courbure.

Pour cela on a mesuré d’avance, ^au cathétomètre, les distances de

quelques traits fins tracés sur la courbure entre a et b, puis ^{on mesure}

Aoa ^et Bob.

757

Étude du premier régime d’oscillation.

Je dis du premierrégime,

parce que ^{nous verrons} que, selon ^la valeur de l’amortissement le Cl3 mouvement peut ^se faire suivant deux régimes.

Je rapporte ^seulement quelques-unes ^des expériences que l’on trouvera plus nombreuses dans ma thèse.

Alcool isoamylique

^0,815

(les ^{valeurs de} u. ^aux autres températures ^{sont calculées} par ^{la for-} mule de dilatation).

Ces expériences, ^{et toutes} celles que j’ai faites, ^{montrent nette-}

ment que :

Loi ^DE L’AMORTISSEMENT DANS LE PREMIER RÉGIME D’OSCILLATION.

Pour une colonne de liquide donnée, a. est constant: les amplitudes

~3

décroissent en progression géo1nétrique.

Résultat, ^sans doute, déjà

758

connu, mails dont les valeurs numériques ^sont nécessaires pour pou- voir : 10 établir la relation avec le coefficient de frottement; ^{2° diffé-}

rencier les deux régimes d’oscillation.

RiEpp,ÉSE--,-TATIO,N ALGÉBRIQUE DU PREMIER RÉGIME D’OSCILLATIO-N.

COEFFICIENT DE FROTTEMENT.

Puisque ^les amplitudes décroissent

en progression géométrique, ceci prouve qu’une ^force constamment

proportionnelle ^{à la vitesse} d _s’oppose au mouvement. Cette force dt

due au frottement est évidemment proportionnelle ^à la longueur ^{1. Si} donc ^{est un} coefficient constant, ^{elle se} représente ^P par ^P dt . ^{c Si}

alors on désigne par ^m

la masse de la colonne liquide, a l’élongation ^à l’époque ^{t, c} la force nécessaire pour ^écarter la colonne

liquide ^{de 1} centimètre de sa position d’équilibre (c

2- r2 l’équation ^{du mouvement} oscillatoire est :

Le mouvement est sinusoïdal amorti lorsque

et l’équation qui ^le représente ^{est :}

En identifiant ( 1 ) ^et (2) ^et appelant ^{T’ la} période, ^{on a :}

On déduit de là :

et si on pose :

on a :

l, r, ~,, A ayant ^été déterminés par 1"expérience, ^on pourra donc

calculer T’ et _par suite

759 Le tableau suivant contient les résultats d’une partie ^{de mes} expé-

riences :

Mes expériences ^ont porté ^encore sur l’acétone, ^l’eau distillée, ^la b enzine, ^l’alcool isobutylique, ^la nitrobenzine, ^le nitrotoluène. Les résultats montrent que :

Pour un liquide ^{doiiiié à 2cne} te1npéra tEJ’P dont2oe, ( ^est

dant de l et de r. C’est une caractér£stique ^clu liquÙle : /1 ^{est (loiîc un}

de f’rotte»io>it se pré.sente ^{ici conune}

dant de toute hY1Jothèse ^{szcr la} façon dont les 1nolécules glt’ssent ^les

unes sur les autres.

760

SIGNIFICATION _PHYSIQUE DU COEFFICIENT SA RELATION AVEC LE COEFFICIENT Yl.

On peut ^{écrïre : 1}

D’autre part, ^le coefficient -n que l’on détermine par la méthode de Poiseuille est donné par :

que l’on peut ^{écrire :}

On doit donc avoir d’après ^{cela :}

Les nombres inscrits dans le tableau précédent (et ^ceux que l’on trouve encore dans le mémoire détaillé) ^vérifient parf itement ^cette

relation.

Nous avons donc là une nouvelle méthode simple ^{et commo de}

pour la détermination du coefficient de frottement interne des

liquides. ^Je préciserai plus loin dans quelles conditions il faut se

placer pour l’appliquer.

La formule obtenue peut s’écrire :

’ ’

D’où :

LOIS DU PRElBIIEH RÉGIME D’OSCILLATION.

Pour un liquide donné,

le logarith1ne ^de tarnortissement .’

1" 4 la période (loi ^des périodes) ;

21 A du carré (loi ^des diamètres).

RECHERCHE DU DÉBUT DU MOUVEMENT APÉRIODIQUE.

Le mOUVe-

ment est apériodique pour les longueurs 1 définies par :

761 La longueur apériodique ^{minimum est} alors donnée par :

ou

J’ai fait quelques bonnes vérifications de cette formule, ^et je ^me

propose de ^voir s’il est possible ^{d’en déduire une} deuxième nouvelle méthode de mesure précise ^de -1.

Étude du deuxième régime d’oscillation.

Dans les expériences précédentes, ^{dites du} premier régime, l’amortisseinent ’ ^est _toujours

CG 3

> 5. C’est que, comme nous allons le voir, pour les amortissernents

faibles, ^le phénomène change ^{de nature.}

Voici quelques-unes ^des expériences que’ j’ai ^{faites avec l’éther}

ordinaire ou oxyde d’éthyle :

762 d’où :

d’où :

d’où :

Mes autres expériences ^ont porté ^{sur le} chloroforme, l’acétone,

l’aldéhyde, ^le CCI’, le bromure d’éthylène, le sulfure de carbone : toutes conduisent aux conclusions suivantes visibles sur le tableau

précédent :

Pour les faibles «nioi"lisseinent1, a1-

^{A est une} fonction

CG 3

lique ^de

Il existe donc un deuxième d’oscill«tion (la ^{limite com-}

mune aux deux régimes ^sera précisée plus loin).

Il est bien entendu que les expériences ^n’ont pas été faites jusqu’à

des amplitudes voisines de 0. L’équation précédente signifie simple-

ment que A = a1’ représente l’amortissement pour de très faibles

0

amplitudes ^en admettant que la ^nature du phénomène ^{reste la même}

que pour les amplitudes qui ^{ont été utilisées.}

On peut dire alors que, dans ^ce deuxième régime, pour les ampli-

tudes infiniment petites, ^le rapport 2013* ^{est encore} constant et égal ^à

CG 3

763

Au

( 2013 ) . ^{Et alors, pour ces} amplitudes ^très petites, l’équation ^du

a3 0

mouvement s’écrit :

et de même que dans ^le premier régime ^{on en déduit :}

et

~., r, l, A~, ayant ^été déterminés par l’expérience, ^on peut ^calculer T’, puis f2.

Voici les résultats de quelques-unes ^{de mes} expériences :

Ces expériences, ^{et toutes mes} autres, ^montrent que, pour ^un

liquide donné, f2 ^{lJas constant: il} dépend ^{de l et de î-.}

Mais ^on y voit aussi très ^bien que pour ^un liquide ^{donné :}

764

ce qui, en-tenant compte ^de l’équation (4), ^{s’écrit :}

Ce qui ^{fournit une nouvelle} méthode pour la détermination expéri-

mentale du coefficient f, ^ou ~.

On verra dans le mémoire complet que pour les dix corps que

j’ai étudiés par ^cette méthode les valeurs de ~ ^{obtenues sont d’accord}

avec celles de Thorpe ^et Rôdger.

La formule ci-dessus peut ^{s’écrire :}

B ^.

D’où :

’

.

LOIS DU DEUXIÈME RÉGIME D’OSCILLATION.

Pour un liquide donné, le carré du logarithlne ^de Z’conortissement (oscillation8

ni1nent petites) ^est proportionnel.

1° A la -Période (loi ^des périodes);

20 A l’in zerse du carré du dianlètre (loi ^des diamètres).

REMARQUE. - ^{On verra dans mon mémoire} _que les valeurs du coef- ficient a de l’équation

satisfont à la température ^{de 151, à} la relation :

il en résulte que, ^à 100, ^{une seule mesure} de A suffit pour que la for- mule donne Ao ^et par suite , .

’

Analogie ^{entre les deux} régimes d’oscillation et les deux régimes

d’écoulement uniforme.

^{Dans le} premier régime d’oscillation, f,

est constant; ^{il en} résulte que la force de frottement ^est proportion-

nelle à la longueur ^{et, alors, il est naturel} d’admettre que les molé- cules glissent ^{les unes sur les autres} uniquement ^{dans le sens de la} longueur : ^{c’est le} point ^de départ de la théorie de Navier, qui ^con-

duit à la formule de Poiseuille : le premier régime d’oscillation est donc l’analogue ^du régime de Poiseuille.

Dans le deuxième régime d’oscillation, ^et pour les amplitudes ^infi-

765

niment petites, ^{la force de} frottement a pour expression :

et on peut ^dire alors que ^{tout se} passe ^comme si, le coefficient de frottement fj ^{étant le même} que dans le premier régime, ^{les molé-}

cules glissaient ^{les unes sur les autres suivant un} chemin de lon- gueur 1, ⁼ toujours plus grand que 1, car nous verrons que

og ^A

e est toujours plus grand que A,. ^{En d’autres termes, le mouvement}

n’est plus linéaire : il se produit des tourbillons. Ce régime ^{est donc} l’analogue ^du régime hydraulique, ^dans lequel Reynolds ^{a montré}

l’existence de tourbillons ^au moyen de filets liquides ^colorés.

Passage ^d’un régime ^{à l’autre .}

^Point critique.

Région ^cri- tique.

Imaginons ^{un tube assez} long pour que, ^{avec un} liquide donné, ^on puisse, ^{en diminuant} progressivement ^la colonne, ^obtenir

successivement les deux régimes :

FIG. 2.

Portons 2) ^en abscisses les valeurs de T’ et en ordonnées les

log ^{A et} log Ao : ^le premier régime ^est représenté par la droite AC,

le deuxième régime par l’arc de parabole ^{BC. Leur} point ^{de ren-}

çontre C définit algébrique}nent le passage d’un régime à ^{l’autre. On}

a en ce point :

L’amortissement critique ^{est donc} A, -- e 7= 2,7~, ^{et la} période ^cri-

766

tique ^{est définie} par :

D’où les énoncés suivants :

LOIS ^{DU POINT} CrilTIQUE.

’1° Pour tous les liquides ^{et les}

est le

.-

2° La critique ^est

Au _{"l} ,}

,4ît carré du rayon du tube.

( Loi ^{analogue à celle du} point critique ^de Reynolds ^citée précé-

1

-

1 B

y, - 11- r.

demment :

Vc _ ₁₀₀₀ r.

RùGio-x CRITIQUF,.

J’appelle ^{C le} point critique ^mais

il est certain que, ^en réalité, le passage d’un régime ^{à l’autre se fait}

non par ^un point anguleux, mais par ^un segment ^{de courbe} C1 C2 (en pointillé) ^ou région critique. ^{Il en} résulte que, si ^on opère ^avec

un amortissement trop ^{voisin de} 2,72, ^{on obtient une valeur} de -fi trop ^{forte : c’est en effet ce} que l’expérience ^{m’a montré. Pour obte-}

nir de bonnes valeurs de _r,, il faut s’en tenir à des valeurs de A ~5

ou de Ao :==1,85. ^{On sait} que, dans la méthode de Poiseuille, ^{on est}

de même ~bligé de s’en tenir à des vitesses notablement inférieures à la vitesse critique.

Lois des états correspondants.

^{Si on tient} compte de la relation

qui ^{définü la} période critique :

les formules des deux régimes s’écrivent :

LÔI DES ÉTATS COR}{ESPONDANTS.

des pér£odes

clantes, l’conortissement est le quels que soient le titbe ^et le

liquide. (A suivre.)