De la théorie capillaire de Gauss et de son extension aux propriétés capillaires des lignes liquides

HAL Id: jpa-00237250

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00237250

Submitted on 1 Jan 1877

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

De la théorie capillaire de Gauss et de son extension aux propriétés capillaires des lignes liquides

G. Lippmann

To cite this version:

G. Lippmann. De la théorie capillaire de Gauss et de son extension aux propriétés capillaires des lignes liquides. J. Phys. Theor. Appl., 1877, 6 (1), pp.108-115. �10.1051/jphystap:018770060010801�.

�jpa-00237250�

I08

Au lieu d’attendre que le moulinet ^{et le vase eussent}

pris

^leur

mouvement

uniforme,

nous avons

préféré,

pour le motif

indiqué précédemment,

^{observer le}

phénomène pendant

^la

période

^{de vi-}

tesse variable du commencement , en

ayant

^{soin toutefois de ne} comparer ^les vitesses que ^dans le même intervalle de

temps.

^Pour

cela,

^{les deux}

_compteurs partaient

ensemble du moment où l’on faisait tomber la lumière sur le

radiomètre ;

^{les ailettes et le vase}

se mettaient en mouvement en sens

contraire,

^et

lorsque plusieurs

divisions du vase avaient

passé

^sous le fil de la

lunette,

^{nous com-}

111encrions à

pointer,

^{l’un le} passage des

divisions,

^l’autre le pas- sage d’une ailette du moulinet observé directement. Un calcul

simple permettait

de déduire de ces

pointages

^le

rapport

^{des vi-}

tesses moyennes,

pendant

l’intervalle de

temps

^considéré.

C’est ainsi que ^{nous avons} obtenu pour

rapport

^{des vitesses les} nombres

I7, 4, 47, 82, qui s’éloignent

peu des

rapports

^inverses des moments d’inertie.

DE LA

THÉORIE

CAPILLAIRE DE GAUSS ET DE SON EXTENSION AUX PRO-

PRIÉTÉS CAPILLAIRES DES LIGNES LIQUIDES;

PAR M. G. LIPPMANN.

On _{sait que} Gauss a

appliqué

^le

principe

^des vitesses virtuelles

au

problème

^de

l’équilibre

^des

liquides ;

^{on se}

rappelle

que

l’équa-

tion

qu’il

^a ainsi établie fournit les

principales

lois de la

capillarité, grâce

^{à une déduction}

purement analytique

que les successeurs de Gauss ont

simplifiée;

^{nous ne} reviendrons _pas sur cette déduction.

Dans ce

qui ^surit,

^nous

reprendrons

^la

question

^{à son}

origine :

nous essayerons

d’exposer simplement,

^{mais en} la rendant

plus précise, l’analyse qui

^{conduit à}

l’équation

fondamentale de

Gauss ;

nous obtiendrons ainsi une

équation plus complète ,

^et

qui permet

de démontrer non-seulement les

propriétés capillaires

^{connues des}

surfaces

liquides,

^{mais encore d’autres}

propriétés analogues,

appar-

tenant aux

lignes qui

^{bornent ces surfaces.}

I. Considérons ^un

système

^de corps solides ^et fluides en

équi-

libre. Pour

pouvoir appliquer

^le

principe

des vitesses virtuelles à

ce

système,

^{admettons avec}

Laplace

^{et Gauss}

qu’on puisse

^l’assi-

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:018770060010801

I09 miler à un ensemble de

points

matériels soumis à leurs actions

mutuelles,

^à l’acti on de forces

extérieures,

^et

assujettis

^{à certaines}

liaisons. Soit 7 la somme des vitesses virtuelles des forces

extérieures ;

^{w la somme des vitesses} virtuelles des forces inté- rieures ou

moléculaires;

^il

suffit,

pour

qu’il

y ait

équilibre,

que l’on ait

On

peut

calculer o) en

remarquant

^{avec Gauss} que ^cette quan- tité est une différentielle _{exacte ;} en

effet,

^on voit facilement que la somme des vitesses virtuelles des actions

réciproques

^{de deux}

points quelconques (1)

^{est une} différentielle exacte; il ^{en est} donc de même de la somme de toutes ces sommes. On a donc m ⁼

do,

Q étant une certaine fonction dont il suffit de chercher la forme

(2).

Afin de trouver la forme de

03A9,

considérons l’un des corps du

système ;

^{soit a la somme des} vitesses virtuelles des forces inté- rieures

rapportée

^à l’unité de volume de ce corps, ^et V le volume de ^toute la

portion

^{de ce} corps que l’on

peut

considérer comme

homogène;

^{cette samme, étendue à tout le volume}

V,

^aura pour

expression (3) ^{a V,}

^{à cause de cette}

homogénéité.

^En étendant le même raisonnement aux différents corps ^du

système,

^{on a}

V, V1, ...

^{sont les volumes}

respectifs

^des

portions homogènes

^du

système ( eau, ^air,

^verre,

etc.) ;

^{cc, «i sont des} constantes.

3iais ,

^{si l’on}

peut regarder

^les

parties

intérieures de

chaque

corps ^comme

homogènes,

^{et leur}

appliquer

^{le calcul}

précèdent

il n’en est pas de ^même des

parties

^les

plus superficielles ; chaque

surface de contact constitue une zone

mince, hétérogène, qu’il

^con-

vient de considérer à

part.

Prenons d’abord le cas abstrait d’une surface

plane

^{et indéfinie.}

(1) A ^condition que la force y, qu’ils ^{exercent l’un sur} l’autre, soit fonction seule- ment de la distance r des deux points; ^{la somme des} vitesses virtuelles _correspon- dantes est alors 2013 ~dr ⁼ d03C8, ^en posant 03C8 = ~dr.

(2) L’emploi ^du potentiel ^en électricité est un autre exemple ^{du même} artifice, qui

consiste à calculer la quantité ^{cherchée en la} regardant ^{comme la} différentielle d’une grandeur plus ^{facile à évaluer.}

(3) ^{Nous admettons} implicitement que ^la sphère d’action moléculaire a un rayon

insensible, ^mais infiniment grand par rapport ^aux distances intra-moléculaires.

II0

Découpons,

par la

pensée,

^{dans la zone}

hétérogène qui

^{en est voi-}

sine ^une

portion

dont la base ait une aire

égale

^à

^l’unité;

^le

petit cylindre,

^ainsi

^défini, empiète jusqu’à

^{une faible}

profondeur

^sur

les deux corps

contigus.

^Les

points

^matériels

qu’il

^{contient four-}

nissent à

l’expression

^{de Q une somme}

qu’on peut désigner par

Un second

volume, emprunté

^{à la même zone}

superficielle

^{et défini}

comme le

premier,

^{fournit un second terme}

égal

^à

fi.

^{Une surface}

d’aire

égale

à S fournira donc une somme de termes

égale à 03B2 S.

En étendant le même raisonnement à toutes les

surfaces,

^c’est-

à-dire à toutes les zones

superficielles précédemment

laissées de

côté,

^{on voit}

qu’on

^a

Mais les surfaces

S, S1

^{ne sont} _pas ^en

général planes,

^{et ne}

peuvent

pas être indéfinies. Soit d’abord une surface

plane

^limitée par ^une

ligne quelconque;

^on

peut regarder

^{comne uniforme} la constitu- tion de toutes les

parties

^{de la surface}

qui

^{sont à}

quelque

^distance

de ce bord et leur

appliquer

le raisonnement fait

plus

^{haut. Les}

parties

très-voisines de la

ligne

de bord constituent ^au contraire

une sorte de

cylindre délié, qu’il

convient de considérer à

part.

^Ce

cylindre, qui

^a pour ^{axe la}

ligne

^de

^bords empiète jusque

^une

faible

profondeur

^{sur les}

^surfaces,

c’est-à-dire sur les trois corps

contigus. Soit V

^{la somme des termes} que fournit à

l’expression

^de

Q une

portion

^{de ce}

cylindre ayant l’unité

^de

longueur.

^Une

ligne

de

longueur égale

^{à L fournira une somme de termes}

égale

^à

y L,

^à

condition _que cette

ligne

^{ait une} constitution uniforme dans toute sa

longueur.

^Le bord d’une

goutte

^{d’huile flottant sur}

l’eau,

^c’est-

à-dire la

ligne

^suivant

laquelle

^se

coupent

les surfaces

air-eau,

- air-huile et

huile-eau,

^{est un}

exemple

^d’une

pareille ligne. S’il y

^a

plusieurs lignes

^{de ce} genre dans le

système,

chacune donnera un

terme de la forme

y.

^{On a donc}

Les surfaces du

système

^{ne sont} pas ^en

général planes;

^mais

leurs rayons de courbure

peuvent

^être

regardés

^{comme infiniment}

grands

par

rapport

^à

l’épaisseur

^{des couches}

superficielles

^consi-

dérées

plus ^{haut ;}

leur courbure

peut

^{donc être}

négligée.

Toutefois concevons

qu’en

^certains

points

il y ait ^{à en} tenir

III

compte;

que, par

exemple,

^l’arête

qui

^{termine une lame de verre}

mouillée doive être

regardée

^{comme une arête}

aiguë.

^Les

points

de cette sorte devront être considérés à

part

^et fourniront des termes

de la forme

y’ Lr, 03B3’

^{étant la somme des termes}

rapportés

^{à l’unité}

de

longueur,

^{et 17 étant la}

longueur

^{de l’arête.}

On a donc

enfin, pour l’expression complète

^de

^n,

II. Il reste à différentier

Q,

^{en tenant}

_compte

des liaisons du

système.

^{On a}

déjà

^tenu

compte

^{de ce} que les corps du

système sonthomogènes jusqu’àleur

surface. Nous admettrons encore

quatre

autres conditions :

I° Les

parties

^{solides du}

système

^sont absolument

rigides. Un

corps

rigide

^{est celui où les}

déplacements

^{relatifs sont}

supposés

nuls. Il suffit, donc de faire abstraction dans la différentiation de

tous les termes, tels que

a,lv,l, qui

^{auraient été} introduits _par les corps solides du

système

^dans

l’expression

^{de Si .}

2° Les

parties

^{fluides du}

système

^sont

parfaitement

^fluides.

Cette liaison introduit une

simplification.

^La différentielle com-

plète

^{d’un terme tel} que 03B1V est

03B1dV + Vd03B1;

^{mais le ternle V da}

doit

disparaître.

^En

effet,

^un corps fluide ^{est un} corps

qu’on peut

déformer à volume constant sans

dépense

de travail. Il faut donc

qu’à

^{volume constant}

(pour dV = 0) l’expression 03B1dV + Vd03B1, qui

^{est en même}

temps

^{celle du}

travail, s’annule,

^ou que d03B1 ^{= o.}

De

même,

^les surfaces S et les

lignes

^{L étant}

flexibles,

^{leurs dif-}

férentielles sont

simplement

^{de la}

forme 03B2dS

^et

03B3dL.

^{On a donc}

3° La masse de

chaque liquide

est constante. Ainsi les couches

superficielles

^ne

pourraient augmenter qu’aux dépens

^{de la masse}

intériemre.

Soit 03BB la masse de l’unité de volume à l’intérieur du li-

quide; 03BC

^{la masse de la}

portion

^{de la couche}

superficielle

^com-

prise

^{sous l’unité de surface. Soit v la masse dé la}

portion

^de

liquide

comprise

^le

long

de l’unité de

longueur

^{de la}

ligne

^{L dans le}

petit

cylindre liquide

^défini

plus ^haut; soient 03BB, 03BC,

^{... les}

quantités

^ana-

II2

logues

^{relatives à}

V, S, ....

^{On devra avoir} pour les

n liquides

^du

système

^les

équations

40

^Les

liquides

^du

système

^sont

incompressibles;

^{donc les coef-}

ficients a., 03BB1,

03BC, 03BC1, ··· sont constants. On a

donc,

^en différentiant les

équations précédentes,

Afin de tenir

compte

^{de ces dernières}

liaisons,

tirons-en les va-

leurs de

dV, dV1, ..., dVn,

^et substituons-les dans

l’expression

^de

d03A9 : nous obtenons ainsi

Ai A1, ..., B, B1 représentant,

pour

abréger,

les coefficients

qui

résultent de la substitution. Ces coefficients sont des constantes,

et ils sont

respectivement

^{la somme de trois ou de}

quatre

termes, suivant

qu’ils

^se

rapportent

^{à une surface ou à une}

ligne.

^Leurs

valeurs

numériques

^ne

peuvent

pas actuellement ^être calculées il

priori;

^{mais ils ont une}

signification physique déterminée,

^{et l’on}

peut

^{les mesurer}

expérimentalement.

III.

L’équation (2),

^{réduite aux termes de la}

première ligne,

^ne

diffère en rien de

l’équation

^de Gauss. On se

rappelle

^la

significa-

tion

physique

^{de ces termes.} Le coefficient A

représente

^{à la fois :}

10 lue travail

qu’il

^faut

dépenser

pour accroître Faire de la surface S d’une

unité ;

²⁰ la tension

superficielle

par unité de

longueur;

^{30 le}

coefficient de

Laplace,

c’est-à-dire le nombre par

lequel

il suffit de

multiplier

la courbure pour obtenir la

pression

normale. Chacun des coefficients de la

première ligne

^{a une}

signification analogue.

Ces

propriétés

résultent d’une déduction connue.

Les termes de la seconde

ligne

^dans

l’équation (2)

^{sont, au con-}

traire,

introduits ici pour la

première

fois. Mais on voit que ^leur

II3 forme est la même que celle des

précédents ;

aussi ont-ils une si-

gnification analogue.

Le coefficient

B,

par

exemple, représente

le travail

qu’il

^{faut dé-}

penser pour accroître la

ligne

L de l’unité de

longueur.

^{Ce coeffi-}

cient ^{mesure en} même

temps

^{la tension}

qu’on peut

^{attribuer à cette}

ligne,

^{le mot tension étant}

pris

^{dans le sens où on}

l’applique

^{à la}

théorie des cordons flexibles et la

ligne

^{L étant assimilée à un cor-}

don flexible et

élastique.

^{Enfin le} coefficient B est le nombre par

lequel

^{il suffit de}

multiplier

la courbure en un

point

pour obtenir la

pression ^normale,

c’est-à-dire la résultante

prise

^{suivant la nor-}

male

principale

^{de toutes} les forces

qui agissent

^{sur ce}

point.

^Cette

dernière

propriété s’exprime

par ^une

équation analogue

^{à celle de}

Laplace

Enfin on

peut

démontrer que la forme

d’équilibre

^d’une

ligne liquide correspond

^{à une}

longueur rjzinilnccm;

_par ^{suite cette}

forme,

pour des

liquides

soustraits à l’action de la

pesanteur,

^{est celle d’un arc}

de cercle.

Ces diverses

propriétés

constituent ce

qu’on peut appeler

^{la ca-}

pillarité

^des

lignes liquides ;

leur démonstration résulte de la forme linéaire de

l’équation (2),

^{comme cela a} lieu pour les surfaces dans la

capillarité

ordinaire. Leur vérification

expérimentale paraît

^de-

voir être

difficile,

parce que les

variations,

^à

peine signalées jus- qu’ici,

^{de la tension}

superficielle peuvent

^{suffire à} masquer ^les effets de la tension linéaire. Des

gouttes

^{d’huile flottant sur l’eau affectent} la forme

circulaire ;

^{ce fait est d’accord avec une des}

propriétés

^in-

diquées plus

^haut.

Les résultats de notre

analyse proviennent

^{d’une double}

approxi- mation ; si,

^dans

l’expression

^de

fly

^{on s’arréte aux termes}

qui

^dé-

pendent

^des

^volurnes,

^on obtient les lois de

l’Hydrostatique

^ordi-

naire ;

le lecteur s’en assurera facilement. Si l’on tient

compte

^de

l’hétérogénéité

^{du volume au}

voisinage

^{de sa}

surface,

^{on obtient les}

termes

qui

fournissent les lois de la

capillarité ordinaire; enfin,

^en

tenant

compte

^de

l’hétérogénéité

^{de la surface au}

voisinage

^{de son}

bord,

^{on trouve les théorèmes de la}

capillarité

^linéaire.

IV. Ceux des termes de

l’équation (2) qui

^se

rapportent

^{à des}

II4

parties

^solides

(surfaces

^ou

arêtes)

^{doivent être} considérés à

part.

Dieux cas sont à

distinguer :

1 ° Ces surfaces ou arêtes rencontrent une des surfaces mobiles

ou

liquides

^du

système.

^{Dans ce cas, leur influence se fait}

sentir;

^il

est

clair,

^au

point

^{de vue}

analytique,

que les variations de surface

dS, dS1

^en

dépendent;

^{et, au}

point

^{de vue}

physique, l’angle

^{de raccor-}

dement

dépend

^{de la nature de la surface et varie}

brusquement

^au

voisinage

de l’arête.

20 Les surfaces ou

lignes rigides

^ne rencontrent pas les surfaces

liquides

^du

système.

^{Dans ce cas, il}

n’y

^a pas ^{à en} tenir

compte.

En

effet,

^{ces éléments étant}

rigides

^{et leurs} frontières

invariables,

leur

grandeur

^ne

peut

^{varier ni} par

déformation,

ni par

empiète-

ment. La variation

correspondante

^{est donc}

^nulle,

^{et ces termes}

disparaissent

d’eux-mêmes de

l’équation (2).

Cette conclusion

toute

négative

^est

très-importante

^au

point

^{de vue}

physique.

La

position

^{et la forme des surfaces}

liquides

^est

indépendante

^de

la forme des

parties

^solides

qui

^{n’en sont} pas infiniment voisines.

C’est

ainsi,

par

exemple,

que la hauteur d’ascension de l’eau dans

un tube de verre est

indépendante

^{de la forme de la}

partie

^inférieure

du

tube ;

^on

_peut

^{encore échauffer ou}

graisser

^cette

partie inférieure ;

tant que l’altération reste à une distance finie de la surface

liquide,

aucun effet n’est

produit. L’expérience

^{confirme ces} conclusions.

Il est donc inexact d’attribuer l’ascension de l’eau dans un tube de verre à une action soulevante

provenant

d’attraction moléculaire

s’exerçant

^le

long

^{du contour inférieur du tube. La théorie nous a}

montré

plus

haut que la forme de la

partie

inférieure du tube n’in- tervient pas, ^et

l’expérience ^vérifie,

^en

^effet,

que ^la hauteur d’as- cension est la

même,

soit que la base du tube

plonge

dans l’eau d’un

vase

large

soit que la

paroi

^{du tube se raccorde} par soudure ^avec la

paroi

^{du vase}

large ;

^{or, dans ce dernier cas,} l’arête inférieure du tube n’existe

plus.

^{Comme le théorème dont nous}

parlons

^{est fré-}

quemment reproduit,

^{il est}

peut-être

^{utile de}

signaler

ici l’erreur de raisonnement que contient la démonstration. On se

rappelle

que, dans ce

raisonnement,

^on considère les actions moléculaires

qui

s’exercent le

long

^{de la}

paroi

intérieure OV du tube

(fig. I),

^{entre les}

molécules du verre et celles de

l’eau ;

^{on montre} que ^{ces actions ne}

sontpas

contre-balancées par les actions exercées sur l’eau

par le

pro-

longement

fictif de la

paroi

^{du verre,} attendu que ^ce

prolongement

II5

est formé par de l’eau ^{et non} par du ^verre, et l’on en conclut

que l’en-

semble des actions ainsi considérées a une résultante

parallèle

^{à OV}

et

qui

pousse ^vers l’intérieur du tube la

portion

^de

liquide qui baigne

la

paroi. 3Iais ( c’est

^ici

l’erreur) l’analyse

^ne doit pas s’arrêter

là,

car la masse de verre est terminée par ^la face

OV’, laquelle jouit

Fig. ^I.

exactement des mêmes

propriétés

que ^la face

OV. En appliquant

^à

cette face le même raisonnement

qu’à

^la

première,

^{on conclut}

qu’elle

donne naissance à une résultante

égale

^{à celle}

précédemment

^trou-

vée,

^mais

qui

^{tend cette fois à} pousser le

liquide

^{de dedans en de-}

hors. L’ensemble des deux résultantes a donc une action nulle. On arrive à la même conclusion

plus

brièvement en

remarquant

que le

plan XY,

bissecteur du dièdre

VOV’,

^{est un}

plan

^de

symétrie

^tant

pour la ^masse de verre que pour la ^masse de

liquide

^au

voisinage

^de

F arête : il

s’ensuit que

^{les actions}

qui

s’exercent entre les différentes molécules du

système

^ne

peuvent

^{avoir de}

composante

^{efficace en} dehors de ce

plan

^de

symétrie,

et notamment que ^ces actions ne

peuvent

^{avoir de}

composante

^efficace

parallèle

^{à la face OV.}

NOUVELLE LAMPE

ÉLECTRIQUE;

PAR M. JABLOSCHKOFF.

1. J’ai

imaginé

^{une nouvelle}

lampe

^ou

bougie électrique

^d’une

construction extrêmement

simple.

^{Au lieu de}

placer

^{les deux}