Universit´e Lyon 1 M1 EADM Automne 2010 S.P.
25 questions sur les groupes: r´eponses
En guise de r´evision du chapitre sur les groupes, je vous sugg`ere de r´epondre par Vrai ou Faux
aux assertions qui suivent en justifiant avec soin votre r´eponse par un argument (clair et d´ecisif), un r´esultat de cours (un conseil: reprenez l’argument de la preuve) ou un contre-exemple.
(1) Tout sous groupe de Z pour l’addition est monog`ene.
R´eponse: c’est vrai. Si K < Z est un sous-groupe non trivial, K = Za o`u a = min(K ∩ (N \ {0})).
La d´emo utilise l’axiome toute partie non vide de N admet un plus petit ´el´ement et le th´eor`eme de division euclidienne.
(2) Tout groupe fini d’ordre n est isomorphe au groupe (Z/nZ, +).
R´eponse: c’est faux. Le groupe additif Z/nZ ´etant cyclique, il suffit de donner un exemple de groupe fini non cyclique. Le plus petit est d’ordre 4: il s’agit du groupe produit Z/2Z × Z/2Z dont les ´el´ements sont d’ordre 1 (le neutre (0, 0)) et d’ordre 2 (les 3 autres ´el´ements).
(3) L’ensemble des automorphismes de (Z, +) (automorphisme = morphisme bijectif φ : Z → Z) est de cardinal 2.
Remarque: l’ensemble des automorphismes d’un groupe est lui-mˆeme un groupe pour la composi- tion des applications.
R´eponse: c’est vrai. Si φ(1) = n alors
φ(l) = φ(1 + 1 + . . . + 1) = φ(1) + φ(1) + . . . + φ(1) = lφ(1) = ln.
D`es lors, l’image φ(Z) = nZ. Si n 6= ±1 le morphisme φ ne sera pas surjectif. Il y a donc au plus 2 possibilit´es φ = idZ et φ = −idZ. Ces 2 applications sont bien des morphismes.
(4) Soit p un nombre premier. A isomorphisme pr`es il y a un seul groupe d’ordre p.
R´eponse: c’est vrai. Soit G un groupe d’ordre premier p ≥ 2. Par Lagrange, l’ordre de tout
´
el´ement x ∈ G \ {1G} est un diviseur de p diff´erent de 1. C’est donc p et le sous-groupe hxi est d’ordre p, i.e. G est cyclique de g´en´erateur x.
(5) A isomorphisme pr`es il y a un seul groupe d’ordre 4.
R´eponse: c’est faux. Il y en a 2: le groupe additif Z/4Z et le groupe produit Z/2Z × Z/2Z. Ces groupes ne sont pas isomorphes: Z/4Z est cyclique alors que Z/2Z × Z/2Z ne l’est pas.
(6) Tout groupe fini d’ordre n est isomorphe `a un sous-groupe du groupe sym´etrique Sn.
R´eponse: c’est vrai. Soit G un groupe fini et x ∈ G. L’application lx : G → G : g 7→ xg est une bijection de G de r´eciproque g 7→ x−1g. De plus on a lxy = lx◦ ly. D`es lors, l’application
l : G → S(G) : x 7→ lx
1
est un morphisme du groupe G dans le groupe S(G) des permutations de G. Ce morphisme est injectif car lx(g) = g pour g ∈ G implique x = 1G. G est donc isomorphe au sous-groupe image l(G) de S(G) ' Sn.
(7) Le groupe (U210, ×) des racines 210 i`emes de l’unit´e dans le plan complexe a un unique sous- groupe d’ordre 10.
R´eponse: c’est vrai. U210est cyclique de g´en´erateur e2πi210 et on a le th´eor`eme:
- soit G un groupe cyclique d’ordre n. Pour tout diviseur positif d de n il existe un unique sous- groupe (n´ecessairement cyclique) de G d’ordre d -
(8) Le groupe (U210, ×) a 16 sous-groupes.
R´eponse: c’est vrai. Il suffit de compter les diviseurs positifs de 210 = 2 · 3 · 5 · 7. En g´en´eral, l’entier n, dont la factorisation primaire est pm11· · · pml l, admet (m1+1)(m2+1) · · · (ml+1) diviseurs positifs. 210 a donc 24= 16 diviseurs positifs.
(9) Si l’entier 1 < d < n divise n alors la classe d est un diviseur de z´ero dans l’anneau (Z/nZ, +, ×).
R´eponse: c’est vrai. Ecrivons n = dd0, avec 1 < d0< n. On a d 6= 0, d0 6= 0, mais 0 = n = dd0= d · d0.
(10) Le groupe de permutations Sn a au moins n2 sous-groupes d’ordre 2.
R´eponse: c’est vrai. L’ensemble {1, 2, . . . , n} contient n2 paires {i, j}. Il y a donc n2 transpo- sitions (ij) ∈ Sn. Chacune de ces transpositions engendre un sous-groupe h(ij)i < Sn d’ordre 2.
(11) Le groupe Sn a au moins un sous-groupe isomorphe au groupe Un des racines n−i`emes de l’unit´e dans le plan complexe.
R´eponse: c’est vrai. Le cycle (123 . . . n) est d’ordre n. Le sous-groupe qu’il engendre h(123 . . . n)i est par d´efinition cyclique d’ordre n. Il est donc, comme tout groupe cyclique d’ordre n, isomorphe au groupe Un.
(12) Si tous les sous-groupes propres d’un groupe G sont cycliques alors G est cyclique.
R´eponse: c’est faux. Par exemple, les sous-groupes propres du groupe de permutations S3 sont tous cycliques d’ordre 1, 2, 3: il s’agit des sous-groupes
{id}, h(12)i, h(13)i, h(23)i, h(123)i.
En particulier, S3 n’a aucun ´el´ement d’ordre 6.
(13) Tout sous-groupe d’un groupe cyclique est cyclique.
R´eponse: c’est vrai. Cf th´eor`eme de cours.
(14) Quels que soient les entiers n et a on peut toujours trouver un entier l tel que al≡ 1[n].
R´eponse: c’est faux. al ≡ 1[n] ´equivaut `a al = 1 dans Z/nZ. Si l existe, la classe a est donc un inversible multiplicatif (d’inverse al−1) et on a pgcd (a, n) = 1.
(15) Le groupe des isom´etries affines d’un carr´e du plan euclidien est isomorphe `a S4. 2
R´eponse: c’est faux. Le groupe d’isom´etries d’un polygone r´egulier `a n cˆot´es du plan euclidien est le groupe di´edral Dnqui est d’ordre 2n. Sa restriction aux sommets du polygone est un sous-groupe de Sn. Ce sous-groupe est propre sauf pour n = 3 (car 2n = n! seulement pour n = 3).
(16) Le groupe des isom´etries affines d’un t´etra`edre r´egulier de l’espace euclidien est isomorphe `a S4.
R´eponse: c’est vrai. Notons s1, s2, s3, s4 les 4 sommets du t´etra`edre r´egulier. Le quadruplet (s1, s2, s3, s4) est une base affine de l’espace. Pour chaque permutation σ ∈ S4 il existe une unique bijection affine f telle que f (sj) = sσ(j). On v´erifie ensuite que cette bijection est une isom´etrie.
(17) Le groupe Z/19Z × Z/31Z (pour l’addition composantes par composantes) est un groupe cyclique.
R´eponse: c’est vrai. On peut le voir de 2 mani`eres au moins: (1) puisque pgcd (19, 31) = 1 (ils sont premiers), par restes chinois, ce groupe est isomorphe au groupe additif Z/(19 · 31)Z ou bien (2) en utilisant l’exercice sur l’exposant d’un groupe fini: un produit de groupes K × K0 est cyclique ssi K et K0 sont cycliques d’ordres ´etrangers.
(18) Le groupe (R, +) admet un syst`eme fini de g´en´erateurs i.e. il existe r1, r2, . . . , rl, l ∈ N, tels que
R = Zr1+ Zr2+ . . . + Zrl. R´eponse: c’est faux. Si c’´etait le cas, l’application
Zl → R : (l1, . . . , ll) 7→ l1r1+ l2r2+ . . . + llrl
serait surjective et R serait d´enombrable.
(19)? Le groupe de permutations Sn est engendr´e par 2 permutations, i.e. il existe π, τ ∈ Sn telles que
Sn = hπ, τ i = {πl1τl2πl3· · · τlm, m ∈ N, (l1, l2, . . . , lm) ∈ Zm}.
R´eponse: c’est vrai. Le groupe de permutations est engendr´e par (12) et (123 . . . n). (Je ne d´eveloppe pas.)
(20)? Soit φ l’indicatrice d’Euler et n ∈ N \ {0, 1}. L’ensemble des automorphismes du groupe (Z/nZ)?, × est de cardinal φ(n).
R´eponse: c’est faux. Voici un contre-exemple tr`es simple: le groupe (Z/3Z)? = {1, 2}. Tout automorphisme
σ : (Z/3Z)? → (Z/3Z)?
satisfait σ(1) = 1. L’identit´e est donc l’unique automorphisme de (Z/3Z)? mais φ(3) = 2.
En fait, la question que je voulais poser est la suivante: le groupe d’automorphismes du groupe additif Z/nZ est d’ordre φ(n). Cette fois, c’est vrai. Les automorphismes sont tous de la forme l 7→ la o`u a ∈ N est premier avec n.
(21) Il y a au moins 4 groupes finis d’ordre 8 non isomorphes.
R´eponse: c’est vrai. Notons Un le groupe des racines n−i`emes de l’unit´e dans C. Les groupes commutatifs U8, U4× U2, U2× U2× U2 sont d’ordre 8. U8 a φ(8) = φ(23) = 23− 22 = 4 ´el´ements d’ordre 8. L’ordre maximal d’un ´el´ement de U4× U2 vaut 4 et l’ordre maximal d’un ´el´ement de
3
U2× U2× U2 vaut 2. Ces 3 groupes ne sont donc pas isomorphes (tout isomorphisme conserve l’ordre des ´el´ements).
Le groupe di´edral D4 des isom´etries d’un carr´e du plan euclidien est aussi d’ordre 8. Voici la liste de ses ´el´ements sous forme matricielle:
- 4 rotations
1 0 0 1
, ρπ2 = 0 −1
1 0
, ρπ = −1 0
0 −1
, ρ3π
2 =
0 1
−1 0
- 4 sym´etries σ = 1 0
0 −1
, σ · ρπ2 =
0 −1
−1 0
, σ · ρπ = −1 0
0 1
, σ · ρ3π
2 = 0 1 1 0
. Etant non commutatif, D4 n’est pas isomorphe `a l’un des 3 groupes pr´ec´edents.
(22) Soit A un anneau commutatif. Tout polynˆome P ∈ A[X] de degr´e d admet au plus d racines distinctes dans A.
R´eponse: c’est faux. Le polynˆome X2− 1 ∈ Z/8Z[X] admet 4 racines distinctes: 1, 3, 5, 7.
(23) Quel que soit l’entier n ∈ N \ {0, 1} le groupe ((Z/nZ)?, ×) est cyclique.
R´eponse: c’est faux. Comme pour le contre-exemple pr´ec´edent, dans le groupe multiplicatif (Z/8Z)?= {1, 3, 5, 7},
tout ´el´ement est d’ordre 2.
(24)? Soient p1, p2, . . . , pl des nombres premiers 2 `a 2 distincts. Le sous-groupe Z +√
p1p2· · · plZ ⊂ R
pour l’addition est un ensemble discret (pour la topologie m´etrique usuelle sur R).
R´eponse: c’est faux. On a vu en cours que les sous-groupes Z + Zθ < R
sont discrets lorsque θ est rationnel et dense lorsque θ est irrationnel. On a aussi observ´e que si n ∈ N \ {0, 1} est sans facteur carr´e,√
n n’est pas rationnel: en effet, supposons
√p1p2· · · pl = a b ∈ Q.
On aurait alors dans N,
b2p1p2· · · pl= a2.
D`es lors, p1diviserait a2donc a i.e. l’exposant de p1serait pair pour a2et impair pour b2p1p2· · · pl, ce qui contredit l’unicit´e de la factorisation primaire d’un entier.
(25) Soit n ∈ N \ {0}. Si K est un sous groupe du groupe affine de Rn laissant stable une partie finie P ⊂ Rn, alors il existe p = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn tel que f (p) = p quelle que soit f ∈ K.
R´eponse: c’est vrai. Ceci r´esulte d’une propri´et´e importante de g´eom´etrie ´el´ementaire:
- Toute bijection affine f conserve les barycentres -
D`es lors si f permute les points de P , elle fixe l’isobarycentre de ces points.
4
