Universit´e Paris 6
Ann´ee universitaire 2011-2012
Cours deG´eom´etrie affine et euclidienne(LM 323)
Examen de rattrapage, le mardi 19 juin 2012. Dur´ee : 2 heures. Les documents et calculatrices sont interdits.
Bar`eme indicatif: 3 points pour l’exercice 1 ; 4 points pour l’exercice 2 ; 4 points pour l’exercice 3 ; 5 points pour l’exercice 4 ; 4 points pour l’exercice 5.
Dans ce sujet, les ´el´ements remarquables d’une isom´etrie seront, selon la nature de l’isom´etrie, `a choisir dans la liste suivante : centre, axe, droite, plan, angle, vecteur de glissement.
Exercice 1. Questions de cours.
a) Soitkun corps et soitEunk-espace vectoriel. Donnez la d´efinition d’un espace affine sur kd’espace directeurE.
b) Donner la classification des isom´etries affines d’un plan affine euclidien.
Exercice 2. Soit f : (Z/7Z)3 → (Z/7Z)2 l’application affine donn´ee par la formule
(x, y, z)7→(x−2y+ 3,3x+y+ 2z+ 1).
a) Donnez un syst`eme d’´equations cart´esiennes de l’image def.
b) SiP = (α, β) est un point de l’image def, donnez un point et une base de l’espace directeur def−1(P) (la r´eponse est bien entendu `a exprimer en fonction deαetβ).
c) On fixe un nombre premierp 6= 7 et on consid`ere l’application affine g de (Z/pZ)3vers (Z/pZ)2 donn´ee par la mˆeme formule quef. Montrez quegest surjective.
Exercice 3.On munitR2de sa structure euclidienne usuelle. Soitf :R2→R2 l’application affine donn´ee par la formule
(x, y)7→(x−2y+ 1,2x+ 3y−2).
SoitRle rep`ere affine deR2 d’origine (1;−2) et de base ((1,1); (−2,1)). Expri- mezf par une formule en coordonn´ees dansR.
Exercice 4. Soient a et b deux nombres r´eels et soit fa,b l’application de R2 dansR2 donn´ee par la formule
(x, y)7→ 1
2x+ay+ 1,
√3
2 x+by−1
! .
1) Trouvezaet b pour que fa,b soit une isom´etrie directe. Donnez alors sa nature et ses ´el´ements remarquables.
2) Trouvezaetbpour quefa,bsoit une isom´etrie indirecte. Donnez alors sa nature et ses ´el´ements remarquables.
Exercice 5. SoientP etP0 deux plans parall`eles d’un espace affine euclidien E de dimension 3 ; soitP leur direction commune.
1) Montrez qu’il existe un uniqueu∈P⊥ tel queP0 =P+u(o`u P+u d´esigne l’ensemble{x+u}x∈P).
2) SoientsP etsP0 les r´eflexions par rapport `aP etP0; donner la nature et les ´el´ements remarquables de la compos´ee s0P◦sP.
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