EXERCICE 2 (4 points)
Commun à tous les candidats
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Chaque réponse exacte rapporte un point. Aucune justification n’est demandée. Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse fausse.
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct! O; −→
u, −→ v "
.
On désigne parA,B,C,Dles points d’affixes respectiveszA=1,zB=i,zC =−1,zD=−i.
1. L’imageEdu pointDpar la rotation de centreAet d’angleπ
3 a pour affixe :
• zE =1+# 3 2 (1+i),
• zE =1+# 3 2 (1−i),
• zE =1−# 3 2 (1−i),
• zE =1−# 3 2 (1+i).
2. L’ensemble des points d’affixeztelle que|z+i|=|z−1|est :
• la médiatrice du segment [BC],
• le milieu du segment [BC],
• le cercle de centreOet de rayon 1,
• la médiatrice du segment [AD].
3. L’ensemble des points d’affixeztelle que z+i
z+1soit un imaginaire pur est :
• la droite (C D) privée du pointC,
• le cercle de diamètre [C D] privé du pointC,
• le cercle de diamètre [B D] privé du pointC,
• la médiatrice du segment [AB].
4. L’ensemble des points d’affixeztelle que arg(z−i)=−π
2+2kπoùk∈Zest :
• le demi-cercle de diamètre [B D] passant parA,
• la droite (B D),
• la demi-droite ]B D) d’origineB passant parDprivée deB,
• le cercle de diamètre [B D] privé deBetD.
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EXERCICE 2
1. Réponse 2 2. Réponses 1 et 4 3. Réponse 2 4. Réponse 3
Explication 1.
zE=zA+eiπ/3(zD−zA) =1+
!1
2+i
√3 2
"
(−i−1) =1−1 2i+
√3 2 −1
2 −i
√3
2 = 1+√ 3
2 − 1+√ 3 2 i
= 1+√ 3 2 (1−i).
La bonne réponse est la deuxième.
Explication 2.(Erreur d’énoncé car deux des réponses sont exactes).
SoitMun point du plan dont l’affixe est notéez.
|z+i|=|z−1|⇔|z−zD|=|z−zA|⇔MD=MA⇔M∈med[AD].
Donc l’ensemble cherché est la médiatrice du segment[AD]. Malheureusement, la médiatrice du segment[AD] est aussi la médiatrice du segment[BC] et donc les réponses 1 et 4 sont exactes (et les réponses 2 et 3 sont fausses).
1
−1
−1
A
D B
C
Explication 3.On note(E)l’ensemble des pointsMd’affixeztelle que z+i
z+1 soit un imaginaire pur.
Le pointDest élément de(E)car zD+i
zD+1 = −i+i
−i+1 =0qui est bien un imaginaire pur. Le pointCn’est pas un élément de(E)carzC+1=0 et donc zC+i
zC+1 n’existe pas.
SoitMun point du plan distinct deCetD dont l’affixe est notéez.
M∈(E)⇔ z+i
z+1 imaginaire pur⇔ z−zD
z−zC
imaginaire pur
⇔arg
#z−zD
z−zC
$
= π 2 [π]
⇔
%−−CM,→ −−DM→&
= π 2 [π]⇔
%−−MC,→ −−MD→&
= π 2 [π]
⇔Mappartient au cercle de diamètre[CD]privé des pointsCetD.
En récupérant le pointD, on a montré que(E)est le cercle de diamètre[CD]privé du pointC. La bonne réponse est la réponse 2.
Explication 4.On note(E)l’ensemble considéré. Le point Bd’affixei n’appartient pas à(E)car0 n’a pas d’argument.
SoitMun point du plan d’affixez$=i.
M∈(E)⇔il existe un entier relatifktel que arg(z−i) =−π 2 +2kπ
⇔
%−→u ,−−BM→&
=−π 2 [2π]
⇔les vecteurs−−BM→et−BD→sont colinéaires et de même sens⇔M∈]BD).
Donc(E)est la demi-droite d’origineBpassant parD et privée du pointB. La bonne réponse est la troisième.
3
