Groupes de permutations et groupes d’isom´ etries 2016-2017

Universit´ e Pierre et Marie Curie - UPMC 2M175

Groupes de permutations et groupes d’isom´ etries 2016-2017

Contrˆ ole continu 2

Les exercices peuvent ˆ etre trait´ es ind´ ependamment. La qualit´ e de la r´ edaction et la pr´ ecision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´ eciation des copies. Aucun mat´ eriel (calculatrice, t´ el´ ephone portable, etc.) ou document n’est autoris´ e. Le bar` eme est donn´ e ` a titre indicatif et pourra ˆ etre l´ eg` erement modifi´ e. Les questions plus longues ou difficiles sont marqu´ ee d’une (?).

Dur´ ee : 45 minutes

Exercice 1. 1. D´ eterminer la liste des sous-groupes de Z /4 Z . 2. Parmi les ´ el´ ements de Z /4 Z , lesquels engendrent Z /4 Z ?

3. Soit (G, ?) un groupe et g un ´ el´ ement de G. Justifier que (hgi, ?) est un groupe ab´ elien.

4. Existe-t-il σ ∈ S 3 tel que S 3 = hσi ?

5. Donner un exemple de groupe de mˆ eme cardinal (not´ e n) que S 3 engendr´ e par l’un de ses ´ el´ ements.

Tous ses ´ el´ ements diff´ erent du neutre sont-ils d’ordre n ?

6. Supposons que S ₈ admette un ´ el´ ement d’ordre 10. Que peut-on dire de la longueur et du nombre des cycles de sa d´ ecomposition en cycles ` a supports disjoints? Donner un exemple de tel ´ el´ ement.

Exercice 2. 0. Rappeler la d´ efinition d’un morphisme de groupes φ : (G, ? G ) → (H, ? H ), de son noyau Ker(φ) et de son image Im(φ).

Dans chacun des cas suivants, montrer que φ est un morphisme de groupes, d´ eterminer son noyau, son image, et pr´ eciser s’il est injectif, surjectif, bijectif.

1. φ : ( Z , +) → ( R ^∗ + , ×) , o` u α est un r´ eel strictement positif diff´ erent de 1 donn´ e.

k 7→ α ^k

2. φ : ( R ^∗ , ×) → ( R ^∗ , ×) .

x 7→ x ²

3. φ : ( Z , +) → (S _R

, ◦) , o` u R θ d´ esigne la rotation d’angle θ autour de l’origine pour tout θ ∈ R . k 7→ R _kπ/2

Exercice 3. Dans chacun des cas suivants, d´ eterminer si le sous-ensemble H de G est un sous-groupe de (G, ?) (on pourra ´ eventuellement se servir de l’exercice pr´ ec´ edent).

1. H = R ^∗ + , (G, ?) = ( R ^∗ , ×) ; 2. H = S n \ A n , (G, ?) = (S n , ◦) ; 3. H = {2 ^k , k ∈ Z }, (G, ?) = ( R ^∗ + , ×) ; 4. H = {2 ^k , k ∈ N }, (G, ?) = ( R ^∗ + , ×) ; 5. H = 3 Z ∪ 7 Z , (G, ?) = ( Z , +).

Exercice 4. Soit (G, ·) un groupe et g un ´ el´ ement de G. On note Z(g) le sous-ensemble {h ∈ G, h· g = g ·h}.

1. Montrer que Z (g) est un sous-groupe de G.

2. Dans le cas particulier (G, ·) = (S 3 , ◦), d´ eterminer Z(τ) pour τ = (12).