UNIVERSIT´E PARIS 6 LM260. 2012-2013 Corrig´e du partiel de Math´ematiques du 15 Novembre 2012 Exercice 1
1) Siun = (1 +π/n)n, lnun=nln(1 +π/n)∼πquand n→+∞, doncun−−−−−→
n→+∞ eπ.
2) ´Etant donn´ea >0 les suitesun =a√n etvn = (ln(n+ 1)−lnn)/((n+ 1)a−na), d´efinies pourn≥1, sont positives.
Sia≥1 la suiteun ne tends pas vers 0 donc la s´erieP+∞
n=1un diverge.
Si 0< a <1, la suite ln(n2un) = 2 lnn+√
nlnav´erifie ln(n2un)∼√
nlna quandn→+∞, donc tend vers−∞. La suite n2un tend donc vers 0. Par comparaison avec la s´erie de RiemannP+∞
n=11/n2 on en d´eduit que la s´erieP+∞
n=1un converge.
En r´esum´e, sia >0, la s´erieP+∞
n=1un converge si et seulement si 0< a <1.
On a :
vn= ln(1 +n1) na (1 + n1)a−1,
doncvn ∼n−a/a. Par comparaison avec une s´erie de Riemann, la s´erieP+∞
n=1vnconverge si et seulement sia >1.
3) Soita >−1. Pourn≥1, on poseun= ln(1 + (−1)n/√
n+a/n). On remarque queun∼(−1)n/√ n, o`u le second membre est le terme g´en´eral d’une s´erie altern´ee convergente car la suite 1/√
nest positive d´ecroissante de limite 0.
Toutefois le«crit`ere» des ´equivalents n’est pas valable en g´en´eral pour les s´eries dont le terme g´en´eral n’est pas de signe constant. On utilise donc le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 de x7→ln(1 +x) en 0.
On obtient :
un= (−1)n
√n + (a−1 2)1
n+O( 1 n3/2).
On ´ecrit un = an +bn+cn, o`u an = (−1)n/√
n est le terme g´en´eral d’une s´erie convergente et, par comparaison,cn=O(n−3/2) le terme g´en´eral d’une s´erie absolument convergente donc convergente.
Comme la s´erie de terme g´en´eralbn= (a−1/2)/nconverge si et seulement sia= 1/2, on obtient que la s´erie de terme g´en´eralun converge si et seulement sia= 1/2.
Exercice 2.Pourx≥0 etn≥0, on poseSn(x) =Pn
k=1(−1)k/(x+k).
1) Pour x ≥ 0 fix´e, on reconnaˆıt la suite des sommes partielles de la s´erie altern´ee de terme g´en´eral (−1)n/(x+n). Comme la suite 1/(x+n) est positive, d´ecroissante et de limite 0, on peut appliquer le th´eor`eme des s´eries altern´ees. On obtient que cette s´erie converge. On note S(x) sa somme. La suite (Sn)n≥1converge simplement vers la fonctionS sur [0,+∞[.
De plus, le th´eor`eme des s´eries altern´ees nous donne la majoration suivante des restes : x≥0, |S(x)−Sn(x)| ≤ 1
x+n+ 1. 2) Il r´esulte de l’in´egalit´e pr´ec´edente qu’on a :
sup
x∈[0,+∞[|S(x)−Sn(x)| ≤ 1 n+ 1.
La suite supx∈[0,+∞[|S(x)−Sn(x)| tend donc vers 0 quand n tend vers +∞. Autrement dit la suite (Sn)n≥1converge uniform´ement vers la fonctionS sur [0,+∞[.
Comme les fonctions Sn sont continues sur [0,+∞[ et par th´eor`eme, on obtient que la fonction S est continue sur [0,+∞[.
3) Les fonctionsSn sont de classeC1 sur [0,+∞[ avec Sn0(x) =
n
X
k=1
(−1)k+1 (x+k)2.
Pourxfix´e, on reconnaˆıt la suite des sommes partielles de la s´erie de terme g´en´eral (−1)n+1/(x+n)2.
1
2
On pourrait appliquer encore le th´eor`eme des s´eries altern´ees. On peut aussi faire comme suit. Comme
(−1)k+1 (x+k)2 ≤ 1
k2, et par comparaison avec la s´erie de Riemann P+∞
n=11/n2, cette s´erie est absolument convergente donc convergente. NotonsT la limite simple de la suite (Sn0)n≥1. On a :
sup
x∈[0,+∞[|Sn0(x)−T(x)| ≤
+∞
X
k=n+1
1 k2 o`u le second membre est une suite qui tend vers 0.
Ainsi, les suites de fonctions de classeC1 Sn et Sn0 convergent uniform´ement sur l’intervalle [0,+∞[.
Par th´eor`eme, on en d´eduit que la fonction S est de classeC1, de d´eriv´ee la fonction T. Exercice 3. Soitf : [1,+∞[→C une fonction de classeC1.
1) Sin≥1, une int´egration par parties donne : Z n+1
n
f(t)dt= [f(t)(t−(n+ 1))]t=n+1t=n − Z n+1
n
f0(t)(t−(n+ 1))dt et donc
Z n+1
n
f(t)dt=f(n)− Z n+1
n
f0(t)(t−(n+ 1))dt.
Comme 0≤ |t−(n+ 1)| ≤1 pour toutt∈[n, n+ 1], on en d´eduit
Z n+1
n
f(t)dt−f(n) ≤
Z n+1
n |f0(t)|dt.
2) On suppose que l’int´egrale R+∞
1 |f0(t)|dt est convergente.
Pour toutn∈IN?, posons
un=f(n), vn = Z n+1
n
f(t)dt, wn= Z n+1
n |f0(t)|dt.
Quandntend vers +∞, la suitePn
k=1wn converge versR+∞
1 |f0(t)|dt, donc la s´erie de terme g´en´eralwn
converge.
D’autre part, on a montr´e qu’on a|un−vn| ≤wn. Par comparaison, la s´erie de terme g´en´eralun−vn
converge absolument donc converge.
Les s´eries de termes g´en´erauxun etvn sont donc de mˆeme nature.
3) ´Etant donn´ea >1/2, on consid`ere la fonctionfa: [1,+∞[→C d´efinie parfa(x) = (ei√x)/xa. a) La fonctionfa est de classeC∞ sur ]0,+∞[ et
f0(x) =−a(ei√x)/xa+1+iei√x/(2xa+1/2).
On a donc
∀x≥1, |f0(t)| ≤(a+ 1/2)/xa+1/2. Si a > 1/2, par comparaison avec l’int´egrale convergente R+∞
1 t−(a+1/2)dt, on obtient que l’int´egrale R+∞
0 |f0(t)|dtconverge.
b) Six≥1, le changement de variablet=s2 donne Z x
1
ei√t ta dt= 2
Z √x 1
eis s2a−1ds.
Le second membre a une limite finie quandxtend vers +∞, donc aussi le premier, si 2a−1>0, ce qu’on a suppos´e.
4) Si a > 1/2, il r´esulte de la question pr´ec´edente, d’une part qu’on peut appliquer le r´esultat de la deuxi`eme question `a la fonctionfa, d’autre part que la s´erie de terme g´en´eralRn+1
n fa(t)dt converge.
On conclut que la s´erieP+∞
n=1ei√n/na est convergente sia >1/2.
