Espace_Vectoriel normé

Cours Espaces vectoriels normés PC Objectif : Il s’agit de définir et d’étudier la notion de limite de suite à valeur dans un espace vectoriel.

Il s’agit également de définir et d’étudier les notions de limite et de continuité de fonctions définies sur un espace vectoriel (fonctions de plusieurs variables) et à valeurs dans un espace vectoriel (fonctions vectorielles).

 désigne  ou . Les espaces vectoriels considérés sont des espaces vectoriels sur  différents de {0}.

|x| désigne la valeur absolue du réel x ou le module du complexe x.

I Norme et distance

I.1 Norme sur un espace vectoriel.

Définition 1 : Soit E un -espace vectoriel. Une application N de E dans + est une norme lorsqu’elle vérifie : 1.  xE, ( N(x) = 0  x = 0 ) (séparation)

2.  (,x)  E , N( x) = || N( x) (homogénéité)

3.  (x,y) E², N (x+y)  N (x) + N (y) (inégalité triangulaire) Notation : On note souvent || x || au lieu de N(x).

Exemple important : Dans un préhilbertien réel E, l’application de E dans + définie par ^{x }





Définition 2 : Un espace vectoriel normé est un couple (E, N) où E un -espace vectoriel et N une norme sur E.

On appelle distance associée à la norme N l’application d définie sur E ² par : d (x,y) = N(x  y) La distance d vérifie les trois axiomes suivants :

1.  (x,y)  E², d (x,y) = 0  x = y (séparation) 2.  (x,y)  E², d (x,y) = d (y,x) (symétrie)

3.  (x,y,z)  E³, d (x,y)  d (x,z) + d (z,y) (inégalité triangulaire) I.2 Normes de référence.

Proposition 1 : E = ⁿ. À x =





n 1 i

i 1

x x







i 1

x x







1 i n

x _  max x

 

Ces trois applications définissent des normes sur E = ⁿ I.3 Boules.

Soit (E, ||.|| ) un espace vectoriel normé et d la distance associée.

Définition 3 : Soient a  E et r  ^*_, on appelle :

 boule fermée de centre a et de rayon r l’ensemble B' (a,r) = {xE / d(a,x)  r }

 boule ouverte de centre a et de rayon r l’ensemble B (a,r) = {xE / d(a,x) < r }

 sphère fermée de centre a et de rayon r l’ensemble S (a,r) = {xE / d(a,x) = r }

B' (0,1) est appelée boule unité ou boule unité fermée. S (0,1) est appelée sphère unité.

Définition 4 (partie bornée) : Une partie A de E est bornée s’il existe M  ^*_, tel que : x  A, ||x||  M C’est-à-dire si A est incluse dans une boule centrée en 0.

Définition 5: Un vecteur x de l’espace vectoriel normé E est dit unitaire, ou normé, si ||x|| =1

Définition 6 (application bornée) : Soit A un ensemble et E un espace vectoriel normé. Une application f : A  E est bornée si f (A) est une partie bornée de E.

C’est-à-dire : il existe M  ^*_, tel que : x  A, ||f (x)||  M

Définition 7 (Partie convexe) : E un espace vectoriel normé et A une partie de E. On dit que A est convexe lorsque :

 (x,y) A²,  t[0,1], tx +(1t)y A

Proposition 2: Une boule, qu’elle soit ouverte ou fermée, est une partie convexe.

II. Suites dans un espace vectoriel normé de dimension finie.

Soit (E, ||.|| ) un espace vectoriel normé de dimension finie et d la distance associée.

II.1 Suites convergentes, suites divergentes.

Soit ^u

 

Définition 8 : On dit que u admet   E pour limite ssi la suite de réels positifs (||u_n   ||) tend vers 0 c’est-à-dire si :

  > 0 , il existe n0, n, (n  n₀  ||un   || < ).

La suite u est convergente si elle admet une limite, divergente dans le cas contraire.

On admet que la convergence d’une suite ne dépend pas du choix de la norme.

Proposition 3 :  La limite d’une suite, si elle existe, est unique. On la note lim u ou lim _n

n u

 .

 Toute suite convergente est bornée.

Proposition 4 : Soient (un) et (vn) deux suites d’un espace vectoriel normé E convergeant respectivement vers  et m. Alors pour tous scalaires  et , la suite ( un +  vn ) est convergente et converge vers  +  m.

Définition 9 : On appelle sous-suite ou suite extraite, d’une suite (un) toute suite de la forme (u (n)) où  est une application strictement croissante de  dans .

Proposition 5: Si (un) converge vers , alors toute sous-suite de (u_n) est convergente et converge aussi vers  ; II.2 Comparaison des normes classiques sur  ⁿ et  ⁿ .

 x ⁿ , x _ x ₂ x ₁n x _ Ceci montre que ces trois normes sont équivalentes sur ⁿ II.3 Suites coordonnées

Soit (E, ||.|| ) un espace vectoriel normé de dimension finie non nulle.

Si  = (e₁ ,…,en) est une base de E, on peut utiliser la norme associée à  la plus adaptée au problème posé.

On note : max

n

i i i

i 1 i

N x e x



 

 

 





 ;

n n

'

i i i

i 1 i 1

N x e x

 

 

 

 









Soit (up) une suite de E . On peut définir les suites coordonnées (up,i)p par :  p  , _p ⁿ _{p ,i i}

i 1

u u e







Proposition 6 : La suite (up) converge si, et seulement si, ses suites coordonnées convergent.

Si on note _i la limite de la suite (up,i)p , la limite de la suite (up) est

n i i i 1

e







 

III. Topologie d’un un espace vectoriel normé de dimension finie.

Définition 10:  E un espace vectoriel normé et A une partie de E. Un point a de E est un point intérieur à A lorsqu’il existe un réel r > 0 tel que B (a,r)  A.

 Une partie U est un ouvert de E ou une partie ouverte de E si, pour tout point a de U, il existe une r > 0 tel que B (a,r)  U.

C’est-à-dire : U est un ouvert de E si, et seulement si, tous les points de U sont des points intérieurs à U.

Proposition 7 1.  et E sont des ouverts. 2. Toute boule ouverte est un ouvert

Définition 11 : On dit qu’un point a  E est adhérent à une partie A de E si toute boule centrée sur a rencontre A, c’est-à-dire :

  > 0,  x A, d (x,a) 

C’est-à-dire : a  E est adhérent à une partie A si, et seulement si,   > 0, B (a, )  A  

Définition 12 : Une partie A de E est un fermé si, et seulement si, tout point adhérent à A appartient à A.

C’est-à-dire A est un fermé si, et seulement si, A contient tous ses adhérents.

Proposition 8 1.  et E sont des fermés. 2. Toute boule fermée est un fermé. 3. Toute sphère est un fermé.

Proposition 9: Soient a  E et A une partie de E. Le point a est adhérent à A si, et seulement s’il existe une suite d’éléments de A convergeant vers a.

Définition 13 : Soit A une partie de E.

 L’intérieur de A est l’ensemble des points intérieurs à A. On note cet ensemble A^o.

 L’adhérence de A est l’ensemble des points adhérents à A. On note cet ensemble A.

 La frontière de A est l’ensemble des points adhérents qui ne sont pas intérieurs à A. (_A = A\

o

A).

IV Etude locale d’une application en dimension finie

Dans tout cette partie E et F deux espaces vectoriels normés de dimension finie. A est une partie de E et f une application de A dans F. a  E est adhérent à A (toute boule centrée sur a rencontre A).

IV.1 Limite, continuité en un point.

Définition 14 : On dit f admet bF pour limite en a si :

  > 0 ,   > 0, xA, (d (x, a)   d (f (x),b)  ).

Question : réécrire cette définition en utilisant les normes.

Proposition 10 (unicité) : Si f admet une limite en a, alors cette limite est unique.

On note alors : ^lim

 

x af x b

  ou lim

a f b.

Définition 15 : On dit f est continue en a  A si f admet f (a) pour limite au point a, c’est-à-dire si :

  > 0 ,   > 0, x  A, (d (x, a)   d (f (x), f (a))  ).

Remarques :

 Si a  A . Lorsque f admet une limite en a, celle-ci ne peut être que f (a).

 Les notions de limites et de continuité ne dépendent pas des normes choisies sur E et F puisque ces normes sont équivalentes.

Définition 16 : Si la fonction f admet une limite en a  A, on dit que f est prolongeable par continuité en a.

Son prolongement par continuité en a est la fonction g continue en a et définie sur A  {a} par :

x  A, g (x) = f (x) et g (a) = lim

a f b

IV.2 Extension de la notion de limite au cas de l’infini.

Définition 17 (fonction à valeurs dans ) : f : A  . On dit que f tend vers +  en a et l’on écrit ^lim

 

x a

f x



 si :

 M  ,   > 0, x  A, (d (x, a)    f (x)  M ) .

Définition 18 (fonction d’une variable réelle) :

f : A    F. Lorsque A n’est pas majorée, on dit que f a pour limite b F en +  et l’on écrit ^lim

 

x

f x b



 si :

  > 0,  M  , x  A, (x  M  d (f (x),b)  )..

Convention : Si A est une partie de  non majorée, on dira que + est adhérent à A. Si A est une partie de  non minorée, on dira que   est adhérent à A. Nous supposons alors que a est adhérent à A avec a éventuellement infini lorsque A .

IV.3 Propriétés des limites.

Proposition 11 : bF, (^lim

 

x a f x b

   ^lim

 

x a f x b

   )

Proposition 12 (caractérisation séquentielle des limites) : f :AF et a adhérent à A.

La fonction f admet une limite b en a si, et seulement si, pour toute suite (xp) d’éléments de A admettant a pour limite, la suite (f(xp)) tend vers b.

Questions :  Ecrire la caractérisation séquentielle de la continuité.

Définition 19 : Une propriété portant sur une fonction f : A  F est dite vraie au voisinage de a adhérent à A si elle est vraie sur l’intersection de A avec :

 une boule centrée en a de rayon strictement positif lorsque a  E.

 un intervalle de la forme : [M, +[ lorsque E =  et a = + .

 un intervalle de la forme :], M ] lorsque E =  et a =  .

Proposition 13

1. Soient f : AF et g : AF et a adhérent à A. Si f et g admettent des limites finies en a, alors pour tout (, )  ², l’application f + g admet une limite en a et ^lim

 

a f g  a f  a g .

2. Soient f : A et g : AF et a adhérent à A. Si f et g admettent des limites finies en a, alors, l’application f g admet une limite en a et on a : lim

 

a fg  a f a g .

3. Soient f : A et g : A et a adhérent à A. Si f et g admettent, en a, des limites finies b et c, avec c  0

alors, g ne s’annule pas au voisinage de a et : lim

a

f b

g c .

Proposition 14 (composition de limites) : E , F et G trois espaces vectoriels normés de dimension finie.

Soient f : A  F ; g : B F G , a adhérent à A ; b adhérent à B ; f (A)  B.

Si ^lim

 

x a

f x b



 et ^lim

 

y bg y c



 alors ^lim

 

x a

g o f x c





IV.4 Fonctions coordonnées et limites

Si  = (e₁ ,…,en) est une base de F, on peut définir les fonctions coordonnées f_i d’une fonction f : A  F par :

x  A,

   

1 n

i i

i

f x f x e







Proposition 15: Soit

1 n

i i i

b b e







Remarque : La proposition 15 se généralise à la continuité.

V Continuité sur une partie

V.1 Application continues, applications lipschitziennes.

Définition 20 : Une application f : A  F est dite continue si f est continue en tout point de A.

On note  (A, F) ou  ⁰ (A, F) l’ensemble des applications continues de A dans F.

Définition 21: Une application f : A  F est lipschitzienne s’il existe un réel k  0 tel que :

 ( x, y)  A² , d( f (x), f (y) )  k d(x, y )

Proposition 16: Toute application lipschitzienne est continue.

Exemples à retenir :

1. La norme est 1-lipschitzienne et donc continue sur E.

2. L’application pi : (x1,…,xn)  x_i est lipschitzienne sur ⁿ, donc continue.

3. Si A est une partie de E, on définit la distance d’un point x  E à A par :









a A

d x A d x a





L’application x  d (x, A) est alors 1- lipschitzienne et donc continue sur E Proposition 17 (opérations sur les applications continues) :

1. Toute combinaison linéaire de fonctions continues sur A est continue sur A.

2. Soient f : A  et g : A F. Si f et g sont continues sur A, alors l’application f g est continue sur A.

3. Si f : A est continue et ne s’annule pas alors 1/f est continue sur A.

4. La composée de deux fonctions continues est une fonction continue.

Définition 20 : Une application f : ⁿ   est polynomiale si elle est combinaison linéaire de fonctions de la forme :

(x1,…,xn)  x₁^p1x_n^pn où (p1,…,pn) ⁿ

Proposition 18: toute fonction polynomiale sur ⁿ est continue..

V.2 Image d’un fermé borné.

Proposition 19 : Si f est une application à valeur réelles, continue sur un fermé borné K non vide. Alors f est bornée et atteint ses bornes sur K, c’est-à-dire admet un maximum et un minimum sur K.

Remarque : f : K F continue sur un fermé borné K non vide. Alors f est bornée et il existe x₀  K tel que

 

K

f x  f

Remarque : ce théorème est une généralisation du cas particulier où K=[a,b] est un segment de  et f : K  continue V.3 Continuité des applications linéaires et bilinéaires.

Proposition 20 : Si u est une application linéaire d’un espace vectoriel (E1, N1) normé de dimension finie dans un espace vectoriel normé (E2, N2) de dimension finie.

1. Il existe k  ₊ tel que :  x  E, N₂( u(x) )  k N₁(x).

2. L’application u est alors lipschitzienne et donc continue.

Proposition 21 : E, F et G trois espaces vectoriels normés de dimension finie (toute les normes sont notées || . ||) Si B est une application bilinéaire de E F dans G de dimension finie.

1. Il existe k  + tel que :  (x, y)  E F, || B (x, y) ||  k ||x|| ||y||.

2. L’application B est continue sur E F.

Exemple : L’application déterminant de n () dans  est continue sur _n ().