ESPACES VECTORIELS NORMÉS, APPLICATIONS LINÉAIRES CONTINUES. EXEMPLES.

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�� ESPACES VECTORIELS NORMÉS, APPLICATIONS LINÉAIRES CONTINUES. EXEMPLES.

SoitK=RouC. SoitEunK-espace vectoriel.

I. Généralités sur les espaces vectoriels normés

[Gou��, §�.�, p��–��]

D��. [��]

On appelle norme surEune applicationÎ.Î:E≠æR⁺telle que :

• pour toutxœE,ÎxÎ= 0≈∆x= 0,

• pour tout⁄œKetxœE,Î⁄.xÎ=|⁄|ÎxÎ,

• pour toutx, yœE,Îx+yÎ Æ ÎxÎ+ÎyÎ.

LorsqueEest muni d’une norme, on parle d’espace vectoriel normé.

E��.

�. [��Kⁿ]pourp œ [1,+Œ],Î(x1, . . . , xn)Îp = (qn

i=1|xi|^p)^1/petÎ(x1, . . . , xn)Î_Œ = max1ÆiÆn|xi|.

�. [��K[X]]Généralisation àK[X]ƒK⁽^N⁾.

�. [��F([a, b],K)]ÎfÎ_Œ= sup_[a,b]|f| [��C([a, b],K)]ÎfÎp=1sb

a|f(x)|^pdx21/p

.

On suppose dans la suiteEmuni d’une normeÎ.ÎE.

P��. Eest métrique pour la distanced: (x, y)‘≠æ Îy≠xÎE. D��. [�� ]

SoitN1, N2deux normes surE. On dit queN1est plus fine queN2s’il existeC >0tel que N2ÆCN1surE. On dit queN1etN2sont équivalentes si chacune est plus fine que l’autre.

R��. N1etN2définissent alors la même topologie, et leurs distances induites sont équivalentes.

E��. SurKⁿ, la famille{Î.Îp}1ÆpÆŒest une famille de normes équivalentes.

II. Continuité des applications linéaires

[Gou��, §�.�, p��–��]

Soient(E,Î.ÎE),(F,Î.ÎF)et(G,Î.ÎG)des espaces vectoriels normés. On noteL(E, F)les applications linéaires deEdansFetL^c(E, F)son sous-ensemble d’applications continues.

On noteL(E◊F, G)les applications bilinéaires deE◊FdansG.

T��. Soitf œL(E, F). Alors on a équivalence : (i) fest continue surE,

(ii) fest continue en0,

(iii) fest bornée sur la boule ou la sphère unité deE, (iv) il existeM >0tel que’xœE,Îf(x)ÎF ÆMÎxÎE,

(v) fest lipschitzienne surE.

E��. L’application E=C¹([a, b],K) ≠æ F=C⁰([a, b],K)

f ‘≠æ f^Õ est linéaire.

SiÎfÎF =ÎfÎ_Œ, elle est continue pourÎfÎE =ÎfÎ_Œ+Îf^ÕÎ_Œmais pas pourÎfÎE=ÎfÎ_Œ.

D��. [�� ]

On définit|||f||| = sup

xœE\{0}

Îu(x)ÎF

ÎxÎE

= sup

ÎxÎEÆ1

Îu(x)ÎF

ÎxÎE

= sup

ÎxÎE=1Îu(x)ÎF pourf œ L^c(E, F). On l’appelle la norme subordonnée àÎ.ÎEetÎ.ÎF.

P��. |||.|||est une norme surL^c(E, F).

De plus, pourf œL^c(E, F)etgœL^c(F, G), on a|||g¶f|||E,GÆ|||f|||E,F |||g|||F,G.

E��. PourE=F =Kⁿ, on définit des normes surMⁿ(K): [AK��, §�.�, p��]

• |||A|||Œ= max1ÆiÆnqn

j=1|ai,j|est la norme subordonnée associée àÎ.ÎE=Î.ÎŒ.

• |||A|||1= max1ÆjÆnqn

i=1|ai,j|est la norme subordonnée associée àÎ.ÎE=Î.Î1. On a|||Tr|||=npourE=F = (Mⁿ(K),|||.|||Œ).

P��. Soitf œL2(E◊F, G)^a. Alors on a équivalence :

• fest continue surE◊F,

• fest continue en(0,0),

• il existeM >0tel que’(x, y)œE◊F,Îf(x, y)ÎGÆMÎxÎEÎyÎF.

a. ensemble des applicationsE◊F≠æGbilinéaires

E��. Un produit scalaire est une forme bilinéaire continue.

SoitE= (R^N,Î.Î_Œ). L’application :

E◊E ≠æ E

((xn)nœN,(yn)nœN) ‘≠æ (nxnyn)nœN

n’est pas continue.

ÉNS Paris-Saclay –��/�� AntoineB��–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur��

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Agrégation – Leçons ��– Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

III. Espaces vectoriels normés de dimension finie

[Gou��, §�.�, p��/��] [Hau��, §��.�-�, p��–��]

Soit(E,Î.Î)un espace vectoriel normé réel ou complexe de dimension quelconque (on suppose la notion de norme connue).

P��. La sphère unité de(Rⁿ,Î.Î_Œ)est compacte.

T��. SiEest de dimension finie, alors toutes les normes surEsont équivalentes.

E��. Contre-exemple en dimension infinie :Î.Î1etÎ.ÎŒsurC([0,1],R).

Contre-exemple surQnon complet :Q[Ô2],N1(a+bÔ2) =|a|+|b|etN2=|.|.

C��. SiEest de dimension finie, les compacts deEsont les fermés bornés.

E��. C’est faux en dimension infinie : prendre(C⁰([0,1]),Î.Î_Œ)et considérer(fn = 1_[0,1/n])œB(0,1)^N.

C��. SiEest de dimension finie,Eest complet.

C��. Un sous-espace vectoriel d’un espace de dimension finie est fermé.

C��. SiEet de dimension finie, alorsL(E, F) =L^c(E, F).

E��. Contre-exemple en dimension infinie :f ‘≠æ f(0)sur(C([0,1],K),Î.Î1), ou P‘≠æP^Õsur(K[X],Î.Î_Œ).

T��. [�� R��]

Eest de dimension finie si et seulement si BE(0,1)est compacte.

IV. Propriétés des espaces de B��

IV. A. Généralités

[Gou��, §�.�, p��]

D��. [�� B��]

Un espace deB��est un espace vectoriel normé complet. Une algèbreAest une al- gèbre deB��si elle est munie d’une norme sous-multiplicative (c’est-à-dire’x, y œ A,Îx.yÎ Æ ÎxÎ ÎyÎ).

E��.

• KⁿetF([a, b],K)sont des espaces deB��,

• SiFest un espace deB��,L^c(E, F)est une algèbre deB��.

• K[X]n’est complet pour aucune norme (considérerPn(x) =qn

k=0 X^k ÎX^kÎ(1+k²)).

P��. Un espace vectoriel normé est un espace deB��si et seulement si toute série absolument convergente est convergente.

C��. SoitAune algèbre deB��.

• SiÎxÎ Æ1,q

nœNxⁿest inversible, d’inverse1≠x.

• L’ensemble des inversibles deAest un ouvert.

T��. [�� ’�� ]

Il existe un espace métrique complet( ˆX,d)ˆ et une isométriei : (X, d) ≠æ ( ˆX,d)ˆ d’image dense. De plus, si( ˆX^Õ,dˆ^Õ)eti^Õconvient également, alors il existe une isométrie bijectiveÏ : Xˆ ≠æXˆ^Õtelle que„¶i=i^Õ.

E��.

• Qˆ =Rpour la distance usuelle (on construit en faitRcomme étant le complété deQ),

• P‚ = C([0,1])pour la norme uniforme, oùP est l’ensemble des fonctions polynomiales sur[0,1][�� W��].

• Pour la normep <+Œ:C([0,\1],K) =L^p([0,1]),C([0,\1],K) =C([0,1],K).

IV. B. Théorème de B�� et conséquences

[Gou��, An.A, p��–��] [Rud��, Ch�, p��] [Bre��, Ch�, p��–��]

T��. [�� B��]

Si(Un)nœNest une suite d’ouverts denses d’un espace completE, alorsﬂⁿœNUnl’est aussi.

A��. Un espace deB��est de dimension finie ou non dénombrable.

T��. [�� B��-S��]

SoitEun espace deB��etFun espace vectoriel normé. Soit(ui)iœIune famille d’applications deL^c(E, F)simplement bornée (c’est-à-dire’xœE,sup_iœIÎui(x)Î Æ+Œ).

Alorssup_iœI|||ui|||<+Œ.

A��. Existence d’une fonction continue2ﬁ-périodique telle que sa série de F��diverge en�.

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A��. SoientE, E1des espaces deB��etE2, Fdes espaces vectoriels normés.

• Soitf : E ≠æ F limite simple d’une famille d’applications deL^c(E, F). Alorsf œ L^c(E, F).

• SoitB : E1◊E2 ≠æ F une application bilinéaire telle que les applications partielles soient continues. AlorsBœL^c(E1◊E2, F).

T��. [�� ’�� ]

Une application linéaire continue surjective entre espaces deB��est ouverte.

C��. Une application linéaire continue bijective entre espaces deB��est d’inverse continue.

A��. (GL(E),¶)est un groupe. C’est un ouvert deL^c(E,¶).

A��. Si un espace deB��est muni de�normes dont l’une est plus fine que l’autre, alors elles sont équivalentes.

C��. [�� ]

Une application linéaire T : E ≠æ F entre deux espaces de B�� est continue si et seulement si son graphe ({(x, T(x))|xœE}) est fermé pour la norme produit.

A��. (admis) SiTetUsont des applications linéaires (pas forcément continues) deH satisfaisant’x, y œ H,ÈT(x) | yÍ = Èx | U(y)Í, alorsT etU sont continues (donc T, UœL(H)).

V. Le cas des espaces de H��

[Gou��, An.B, p��–��] [Bre��, Ch�, p��–��] [BMP��, §�.�.�, p��–��]

D��. [�� H��]

H est un espace préhilbertien si c’est un espace vectoriel muni d’un produit scalaire. C’est un espace deH��s’il est complet pour la norme issue du produit scalaire.

R��. Toute norme vérifiant l’identité du parallélogramme dérive d’un produit scalaire et est donc une norme hilbertienne. C’est un critère pratique :(C([a, b],K),Î.Î_Œ) n’est pas un espace deH��par exemple.

E��.

• SiÓ (Hn)nœN est une suite d’espaces de H��, alors H = (xn)nœNœr

nœNHn|q

nœNÎxnÎ²<+ŒÔ

est un espace deH��pour le produit scalaireÈ(xn)_nœN|(yn)_nœNÍ^H =q

nœNÈxn |ynÍ^Hⁿ.

• L²(X,A, µ)est un espace deH��pour tout espace mesuré(X,A, µ).

T��. [�� ]

SoitCun convexe fermé d’un espace deH��H. Alors :

’xœH,÷!pœC| Îx≠pÎ=d(x, C)

De plus,pest l’unique élément deCsatisfaisant’cœC,Ÿ(Èx≠p|c≠pÍ)Æ0.

R��. On a en fait juste besoin deCcomplet etHpréhilbertien.

C��. SoitFun sous-espace vectoriel fermé deH. AlorsH =FüF^‹. T��. [�� R��-F��]

SoitH un espace deH��. Alors pour toute application„ œ H^Õ, il existe un unique f œHtel que’vœH,„(v) =Èf |vÍ.

De plus„‘≠æfest une isométrie (ÎfÎH =Î„ÎH^Õ).

E��. Contre-exemples :

• lorsqueCn’est pas convexe : soitH =RetC =R\]≠1,1[. Alors1et≠1minimisent la distance de0àC.

• lorsqueF n’est pas fermé : prendreH =¸²(N)etFl’ensemble des suites deHnulles à partir d’un certain rang.F^‹ ={0}maisE”=F,

• lorsque H est seulement un espace de B�� : E = (R²,Î.Î_Œ). Les points {(x,0)|≠1ÆxÆ1}minimisent la distance de(0,1)àVect((1,0)).

A��. Existence de l’espérance conditionnelle d’une variable aléatoireL².

A��. Existence et unicité de l’adjoint d’un opérateurTœH^Õ.

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��

L’objectif de la leçon est de généraliser les notions d’analyse (continuité, ...) dans le cadre d’espaces vectoriels.

Dans la première partie, on rappelle des généralités et exemples usuels sur les espaces vectoriels normés. La notion de distance permet de faire de la topologie. On a de nombreuses carac- térisations de la continuité des applications linéaires, notamment par la norme subordonnée.

Ensuite, on regarde le cas particulier des espaces vectoriels normés de dimension finie. On se ramène en fait à l’étude deKⁿ. Notion de complétude Le théorème deR��o�re une forte ca- ractérisation de la dimension finie.

Puis une troisième partie se consacre aux espaces deB��, plus restrictifs mais qui o�rent en général un cadre de travail appréciable (et accessible par le théorème de complétude). On s’at- tarde notamment sur les théorèmes deB��, deB��-S��, de l’application ouverte, du graphe fermé.

Enfin on regarde le cas des espaces deH��, encore plus restrictifs que lesB��, mais qui sont un cadre également très important.

��

Beaucoup de choses à mettre dans cette leçon : en profiter pour ne mettre que des choses que l’on maîtrise et partir dans les directions que l’on souhaite.

Le [QZ��] contient tout ce qu’il faut pour cette leçon.

��

Q Soitf :E◊F ≠æGbilinéaire dans unB��, continue par rapport aux deux variables séparément. Montrer quefest continue.

R C’est un corollaire du théorème deB��-S��.

Q Existe-t-il des applications linéaires non continues?

R Oui, par exemplefdéfinie parf(p/q) = 1/qsip·q= 1etf(x) = 0six /œQ.

��

[AK��] G.A��et S.-M.K��:Algèbre linéaire numérique. Ellipses,��.

[BMP��] V.B��, J.M��et G.P��:Objectif Agrégation. H&K,�^èmeédition,��.

[Bre��] H.B��:Analyse fonctionnelle : théorie et applications. Dunod,��.

[Gou��] X.G��:Les maths en tête - Analyse. Ellipses,�^èmeédition,��.

[Hau��] D.H��:Les contre-exemples en Mathématiques. Ellipses,�^èmeédition,��.

[QZ��] H.Q��et C.Z��:Analyse pour l’agrégation. Dunod,�^èmeédition,��.

[Rud��] W.R��:Analyse réelle et complexe. Dunod,�^èmeédition,��.

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