Si

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MINESEC République du Cameroun DRES/NORD Paix –Travail –Patrie

CORRIGE HARMONISE REGIONAL

EXAMEN : BEPC SESSION : 2019 EPREUVE : Mathématiques DUREE : 2h COEF : 4

REFERENCES SOLUTIONS

BAREM ES

COMMENTAIRES

PARTIE A : EVALUATION DES RESSOURCESACTIVITES NUMERIQUES Exercice 1 : 2points 1

Montrons que 𝑴 est un entier relatif 𝑀 = (3

2)

2

−5 4×5

2−9 8 =9

4−25 8 −9

8 =18

8 −34 8 =−16 = −2 ∈ ℤ 8

Donc M est un entier relatif

1pt Apprécier le raisonnement 0.25pt pour (^𝟑

𝟐)^𝟐=^𝟗

𝟒

0.25pt pour ^𝟓_𝟒×^𝟓

𝟐=^𝟐𝟓

𝟖

0.25pt pour ^𝟏𝟖_𝟖−^𝟑𝟒_𝟖 =^−𝟏𝟔_𝟖

0.25pt pour la simplification

2

Ecrivons N sous la forme 𝒂√5 + 𝑏

𝑵 = 𝟐

𝟐√5 − 4+ √5 − 4 N = ^2(2√5+4)

(2√5−4)(2√5+4)+ √5 − 4 N =^4√5+8

20−16+ √5 − 4 N=^4(√5+2)

4 + √5 − 4 N= √5 + 2 + √5 − 4 N= 2√5 − 2

onc 𝑵 = 𝟐√𝟓 − 𝟐 avec 𝑎 = 2 𝑒𝑡 𝑏 = −2.

1pt 0.25pt pour ^{𝟐(𝟐√𝟓+𝟒)}

(𝟐√𝟓−𝟒)(𝟐√𝟓+𝟒)

0.25pt pour ^{𝟒√𝟓+𝟖}_{𝟐𝟎−𝟏𝟔} 0.25pt pour ^{𝟒(√𝟓+𝟐)}

𝟒

0.25pt pour le résultat

Page 2 sur 7 1.a) Factorisons P

𝑃 = 64 − (5 − 2𝑥)²

= 8²− (5 − 2𝑥)²

= [8 − (5 − 2𝑥)][8 + (5 − 2𝑥)]

D’où 𝑷 = (𝟑 + 𝟐𝒙)(𝟏𝟑 − 𝟐𝒙)

0,5pt 0.25pt pour l’utilisation correcte de l’identité remarquable

0.25pt pour le résultat exact

Exercice 2 : 3 points Exercice 2 : 3points 1.b)

Déterminons la condition d’existence de Q et simplifions Q sous cette condition.

Q existe ssi 2𝑥 + 3 ≠ 0 ssi ≠^−𝟑

𝟐 .

Si 𝑥 ≠⁻³₂, 𝑸 =(𝟐𝒙+𝟑)(𝟏𝟑−𝟐𝒙)

𝟐𝒙+𝟑 = 𝟏𝟑 − 𝟐𝒙

0,5pt

0,25pt pour la condition d’existence

0,25pt pour la simplification exacte

1.c) Calculons la valeur numérique de Q pour 𝒙 =^𝟏𝟑

𝟐

Pour 𝑥 =¹³

2 , 𝑄 = 13 − 2 ×^𝟏𝟑

𝟐 = 13 − 13 = 0 Donc 𝑸 = 𝟎.

0,5pt Apprécier le raisonnement

2) Montrons que 𝒙 𝒆𝒕 𝒚 vérifient le système {𝑥 + 𝑦 = 7 𝑥 + 2𝑦 = 8

 L’effectif total étant 40, on a : 8 + 𝑥 + 15 + 7 + 3 + 𝑦 = 40 ⇔ 𝑥 + 𝑦 + 33 = 40 D’où 𝑥 + 𝑦 = 7 (𝟏)

 La moyenne des notes étant 8, on a : 48+7𝑥+120+63+33+14𝑦

40 = 8 ⇔ 7𝑥 + 14𝑦 + 264 = 320 ⇔ 𝑥 + 2𝑦 = 8 (𝟐)

Ainsi les équations (1) et (2) conduisent au système d’équations : {𝑥 + 𝑦 = 7 𝑥 + 2𝑦 = 8 Déterminons 𝒙 𝒆𝒕 𝒚.

Après résolution du système précédent, on trouve comme ensemble solution 𝑺 = {(𝟔 , 𝟏)}

D’où 𝒙 = 𝟔 𝒆𝒕 𝒚 = 𝟏.

1,5pt

0,5pt pour l’obtention de chaque équation du système

0,5pt pour la résolution du système et la conclusion ( on ne prendra pas en compte l’écriture : S = {(𝟔 , 𝟏)}

Exercice 1 : 3 points

1)

Plaçons les points dans le repère

1pt

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0,25pt pour le repère 0,25pt pour chaque point

2 Calculons les coordonnées des vecteurs 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒆𝒕 𝑩𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗ puis montrons ces vecteurs sont orthogonaux.

On a 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (1-(-2) ;-2-1) d’où 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (3 ; -3) et 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (4 − 1; 1 − (−2)) d’où 𝑩𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (3 ; 3)

De plus, 3 × 3 + (−3) × 3 = 9 − 9 = 0 donc les 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒆𝒕 𝑩𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vecteurs sont orthogonaux.

0,75 pt

0,25pt pour chaque coordonnée de vecteur 0,25pt pour la

démonstration

3.a)

Calculons les coordonnées du point K puis plaçons-le.

On a 𝐾(^{𝑥𝐴+𝑥𝐶}

2 ;^{𝑦𝐴+𝑦𝐶}

2 ) ⇔ 𝐾(⁻²⁺⁴

2 ; ¹⁺¹

2 ) d’où 𝑲(𝟏; 𝟏).

0,75pt

0,25pt pour chaque coordonnée de K 0,25pt pour la construction 3.b) Construisons le point N puis justifions que l’angle 𝑨𝑵𝑪̂ est un angle droit.

0,5pt

0,25pt pour construction 0,25pt pour la justification

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K est le centre du parallélogramme ABCN et 𝑚𝑒𝑠(𝑨𝑩𝑪̂ ) = 𝟗𝟎° car 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒆𝒕 𝑩𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sont orthogonaux et de plus on sait que 𝑚𝑒𝑠(𝑨𝑩𝑪̂ ) = 𝑚𝑒𝑠(𝑨𝑵𝑪̂ ) donc 𝑚𝑒𝑠(𝑨𝑵𝑪̂ ) = 𝟗𝟎°. D' où l’angle 𝑨𝑵𝑪̂ est un angle droit.

NB : on appréciera le raisonnement

1) Montrons que 𝑽 = 𝟏𝟏𝟑, 𝟎𝟒 𝒄𝒎^𝟑. On a

𝑽 =^𝟏

𝟑 × 𝝅 × 𝒓^𝟐× 𝒉 ⇔ 𝑉 = ^𝟏

𝟑 × 𝟑, 𝟏𝟒 × 3²× 12 d’où 𝑽 = 𝟏𝟏𝟑, 𝟎𝟒 𝒄𝒎^𝟑

0,75pt

0,25pt pour la formule 0,5pt pour le calcul 2) Ecrivons sous forme de fraction irréductible le quotient _𝑯^𝒉

Effectuer une section à mi-hauteur signifie que 𝐻 = 2ℎ donc ^𝒉

𝑯= ^𝒉

𝟐𝒉=^𝟏

𝟐.

0,5pt Apprécier le raisonnement

3) Déduisons-en le volume v du cône réduit.

D’après ce qui précède, le coefficient de réduction est 𝑘 =¹

2 . On a donc ^𝑣

𝑉= (¹

2)³=¹

8 ⇔ 𝑣 =^𝑉

8 ⇔ 𝑣 =^113,04

8 = 14,13𝑐𝑚³. D’où 𝒗 = 𝟏𝟒, 𝟏𝟑 𝒄𝒎^𝟑.

0,75pt 0,25pt pour 𝒌 =^𝟏

𝟐

0,25pt pour la formule 0,25pt pour le résultat exact

NB : on appréciera la méthode

EVALUATION DES COMPETENCES Problème :10 points

1

Calculons le coût du gazon nécessaire:

 Calculons la distance AE

D’après la propriété de Pythagore, on a 𝐴𝐸²= 𝐵𝐸²− 𝐴𝐵²= 100²− 80²= 3600 Ainsi 𝐴𝐸 = √3600 = 60 𝑚. Donc 𝑨𝑬 = 𝟔𝟎𝒎.

 Calculons l’aire 𝐴₁ du triangle ABE On a 𝐴₁=^{𝐴𝐵×𝐴𝐸}

2 =^80×60

2 = 2400 𝑚² . Donc 𝑨_𝟏= 𝟐𝟒𝟎𝟎 𝒎²

 Déterminons le coût 𝑪_𝟏 du gazon necessaire On a 𝑪_𝟏 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 × 𝟐𝟒𝟎𝟎 = 𝟒. 𝟖𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝑭.

Donc le coût du gazon nécessaire pour couvrir l’espace ayant la formes d’un triangle rectangle est de 𝟒. 𝟖𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝑭.

3pts

C1 : 1 point

Le candidat a l’initiative de : (0,25pt*4)

- L’ identification de la bonne figure géométrique (ABE) - L’utilisation de la

propriété de Pythagore - L’aire du triangle - La proportionnalité C2 : 1 point (0,25pt*4)

- Propriété de Pythagore.

- Racine carrée

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TACHES ^- Formule de l’aire du

triangle

- Formule du coût (opérations justes) C3 : 1 point

Le candidat a l’initiative de calculer dans un ordre logique: (0,25pt*3)

- La distance AE - L’aire du triangle

ABE

- Le coût du gazon Et il respecte les unités (0,25pt)

2

Calculons le coût des pavés nécessaires pour couvrir l’espace voulu:

 Calculons la distance HT

HBCT étant un trapèze, les droites (HT) et (BC) sont parallèles et d’après la propriété de Thalès, on a ^𝐴𝐻

𝐴𝐵=^𝐻𝑇

𝐵𝐶 ⇔ 𝐻𝑇 =^{𝐴𝐻×𝐵𝐶}

𝐴𝐵 =^53×68

80

Donc 𝑯𝑻 ≅ 𝟒𝟓, 𝟎𝟓 𝒎^𝟐.

 Calculons l’aire 𝐴₂ du trapèze HBCT On a 𝐴₂ =^{(𝐻𝑇+𝐵𝐶)×𝑀𝑁}

2 =(45.05+68)×22

2 .

Donc 𝑨_𝟐 ≅ 𝟏𝟐𝟒𝟑, 𝟓𝟓 𝒎².

 Calculons le coût 𝑪𝟐 des pavés necessaire On a 𝑪_𝟐= 𝟏𝟐𝟒𝟑, 𝟓𝟓 × 𝟑𝟎𝟎𝟎 = 𝟑. 𝟕𝟑𝟎. 𝟔𝟓𝟎 𝑭

Donc le coût des pavés nécessaire pour couvrir l’espace ayant la formes d’un trapèze est de 𝟑. 𝟕𝟑𝟎. 𝟔𝟓𝟎 𝑭.

AH C1 : 1 point

Le candidat a l’initiative de : (0,25pt*4)

- L’identification de la bonne figure géométrique (HTCB) - L’utilisation de la

propriété de Thales - L’aire du trapèze - La proportionnalité C2 : 1 point (0,25pt*4)

- Propriété de Pythagore.

- Racine carrée - Formule de l’aire du

triangle

- Formule du coût (opérations justes) C3 : 1 point

Le candidat a l’initiative de calculer dans un ordre logique: (0,25pt*3)

- La distance HT

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- L’aire du trapèze HTCB

- Le coût des pavés Et il respecte les unités (0,25pt)

3

Calculons le nombre de plants de poivre blanc dont M ATANGANA aura besoin :

 Calculons la longueur DG (rayon du demi-cercle) On a sin 45° =^𝐷𝐺

𝐶𝐺 ⇔𝐷𝐺 = 𝐶𝐺 × sin 45° = 65 ×^√2

2 = 45,96 𝑚.

Donc 𝑫𝑮 = 𝟒𝟓, 𝟗𝟔 𝒎.

 Calculons l’aire 𝑨_𝟑 du demi-disque de centre D et de rayon 𝐷𝐺 𝑨_𝟑=𝜋 × 𝐷𝐺²

2 =3,14 × (45,96)²

2 = 3316,63 𝑚². Donc 𝑨_𝟑= 𝟑𝟑𝟏𝟔, 𝟔𝟑 𝒎^𝟐.

 Calculons le coût 𝑪_𝟑 du béton nécessaire On a : 𝑪_𝟑= 𝟑𝟑𝟏𝟔, 𝟔𝟑 × 𝟑𝟓𝟎𝟎 = 𝟏𝟏. 𝟔𝟎𝟖. 𝟏𝟖𝟕, 𝟓 𝑭

Donc le coût du béton nécessaire pour couvrir l’espace ayant la forme d’un demi-disque est de 𝟏𝟏. 𝟔𝟎𝟖. 𝟏𝟖𝟕, 𝟓 𝑭

3pts

C1 : 1 point

Le candidat a l’initiative de : (0,25pt*4)

- L’identification de la bonne figure géométrique (demi- cercle de centre D et de rayon DG) - L’utilisation de la

formule du sinus dans un triangle rectangle - L’aire d’un demi-

disque

- La proportionnalité C2 : 1 point (0,25pt*4)

- Formule correcte du sinus.

- Distance DG.

- Formule de l’aire du demi-disque - Formule du coût (opérations justes) C3 : 1 point

Le candidat a l’initiative de calculer dans un ordre logique: (0,25pt*3)

- La distance AE - L’aire du triangle

ABE

- Le coût du gazon

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Et il respecte les unités (0,25pt)

Présentation : 1 point( toute la copie :

- Ratures -0.25pt - Trop de fautes -

0.25pt

- Figures au stylo - 0.25pt

- Ecriture a la marge - 0.25pt)

Fait à Garoua, le 10 Juin 2019

Le responsable de l’harmonisation

KOUAKEP

IPR MATHEMATIQUES / NORD Tél : 679 970 611/ 691 054 008

Membres

M. MAKAINI Ferdinand, Maths L. GAROUA Djamboutou TEL : 699 227 652

M. DONTSA MANFO CEDRIC MOREL Enseignant Maths au L.BIL PITOA TEL : 697 903 253