PC1&2 - devoir en classe n
°4 - 15/1/2022
- durée 4 heures -
partie I
Un entier natureln>2étant fixé, on noteR[X]leR-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels etRn[X]le sous-espace vectoriel des polynômes de degré au plusn.
On définit alors pour tout polynômeP=P
k=0
d pkXk deR[X]: - le polynôme tronqué deP au degrén:Tn(P) =P
k=0 n pkXk; - le polynôme composé deP etX+X2: '(P) =P
k=0
d pk(X+X2)k.
On confondra tout polynôme P2R[X]avec sa fonction polynomiale réelle associée :x7!P(x).
1. (a) Établir que Tn:P7!Tn(P)définit un projecteur deR[X].
(b) Déterminer l'image deTn.
(c) Montrer qu'un polynôme P deR[X]appartient au noyau deTn si et seulement si : P(x) =
x!0o(xn):
2. (a) Déterminer, pour toutP deR[X]une relation entre le degré deP et celui de '(P).
(b) Prouver que 'définit un endomorphisme injectif deR[X]; 'est-il surjectif ?
3. On définit maintenant un endomorphisme 'n deRn[X]en posant, pour toutP2Rn[X]:
'n(P) =Tn('(P))
et on noteMn= [mi; j]06i; j6nla matrice de 'ndans la base canoniqueB= (Xj)06j6ndeRn[X].
On remarquera que l'indice ide ligne et l'indicej de colonne varient de 0 àn.
(a) Calculer les '4(Xj)pour06j64 et en déduireM4(il s'agit d'une matrice 55).
(b) Montrer que, pour tout entier naturel n>2, la matrice Mn est triangulaire inférieure, et expliciter son terme général mi; j lorsque06j6i6n.
4. (a) Inverser la matrice M4.
(b) Montrer que, pour tout entier naturel n>2, la matriceMn est inversible. Que peut-on en conclure pour l'endomorphisme 'n?
(c) Montrer que la matrice inverse de Mn, notéeQn= [qi;j]06i;j6n, est triangulaire inférieure.
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5. (a) Montrer que lesTn((X+X2)i)pour06i6nforment une baseB0 deRn[X]et que Qn= (Mn)¡1
est la matrice de B= (Xj)06j6ndans cette nouvelle base B0. (b) Montrer que, pour tout j2N; j6n,xj=P
i=0
n qi; j(x+x2)i+ o
x!0(xn).
(c) Pour tous les entiers naturels i; j tels que 16i6n et 16j6n¡1, en remarquant que Xj= (X+X2)Xj¡1¡Xj+1, établir la relation de récurrence :
qi;j=qi¡1;j¡1¡qi; j+1.
(d) Construire alors la matriceQ5= (M5)¡1à partir de sa première colonne et de sa diagonale, en indiquant l'enchaînement des calculs.
(e) Vérifier que lorsquen= 5, on a pour tout(i; j)2N2tel que16i6net06j6i:
qi;j= (¡1)i+jj i
2i¡j¡1 i¡j
où pour (m; p)2N2;06p6m;m
p
désigne le coefficient binomialpparmim.
Dans le reste du problème, ce résultat sera admis pour tout entier naturel n>2.
partie II
1. SoitIun intervalle ouvert contenant 0 etf:I!Rune application admettant un développement limité d'ordre n>2 en 0, de partie régulièreP2Rn[X]; c'est-à-dire que :
f(x) =
x!0P(x) +o(xn):
(a) En utilisant éventuellement le I.1.c, montrer que l'application x7!f(x+x2) admet en 0 un développement limité d'ordrende partie régulière 'n(P), c'est-à-dire que :
f(x+x2) =
x!0Tn(P(x+x2)) +o(xn):
(b) Si P=p0+p1X+ +pnXn, déterminer à l'aide des notations de la partie I, un calcul matriciel fournissant directement le développement limité d'ordrendex7!f(x+x2)en 0 à partir du vecteur colonne formé de p0; : : : ; pn; expliciter alors ce développement limité.
2. (a) Appliquer le II.1.b pour obtenir le développement limité d'ordre 4 en 0 de l'application :
g:x7! 1 1 +x+x2:
(b) Vérifier ce résultat par un calcul direct de développement limité que l'on détaillera.
3. Soit une application f, somme d'une série entière de rayon de convergenceR >0, fini ou non :
8x2]¡R; R[; f(x) =X
n=0 +1
nxn:
2
(a) Compter, en fonction deRle nombre de solutions de l'équationjx2+xj=R. Déterminer alors le plus grand ensemble ouvertRtel que, pour toutx2, la série numériqueP
n=0
+1n(x+x2)n converge.
(b) Pour tout x2Ret pour toutN2N, on pose :gN(x) =P
n=0
N n(x+x2)n. Montrer que :
gN(x) =X
k=0 2N 0
@ X
n=k/2 min(k;N)
n
n k¡n
1 Axk:
(Dans une telle somme, nne prend que les valeurs entières entre les bornes indiquées.) (c) Soit, pour tout k2N:k=P
n=k/2
k n
n
k¡n . Pour toutx2Ret pour toutN2N, on posehN(x) =P
k=0
N kxk. Montrer que :
jhN(x)¡gN(x)j6 X
n=N/2 N
jnj(x2+jxj)n:
(d) Déduire de ce qui précède que, sur un intervalle à préciser, on a : f(x+x2) =P
k=0 +1kxk. Retrouver alors le développement limité d'ordrenen 0 de x7!f(x+x2)obtenu en II.1.b.
4. (a) En remarquant que 1¡x3= (1¡x) (1 +x+x2), développer en série entière au voisinage de 0 l'application g:x7!1 +x1+x2 et préciser le rayon de convergence de cette série entière.
(b) Utiliser ce résultat et celui de la question II.3.d pour évaluer, selon k2N, les sommes :
Sk= X
n=k/2 k
(¡1)n n k¡n
:
partie III
1. (a) Déterminer des intervalles ouvertsI etJ, contenant 0 et aussi grands que possible, tels que a:x7!u=x+x2définisse une bijection deIversJ. Exprimer alorsa¡1(u)pouru2J.
(b) Montrer que cette fonctiona¡1:J!I est développable en série entière au voisinage de 0 , et préciser le rayon de convergence de la série entière associée que l'on noteraP
k=0 +1bkuk. (c) Montrer, à l'aide du I.5.a, que les coefficients b0; b1; : : : ; bn sont les termes de la deuxième colonne de Qn= (Mn)¡1(colonne d'indice 1).
(d) Calculer directement le développement en série entière de a¡1(u)au voisinage de 0 et com- parer les résultats obtenus à ceux résultant du I.5.e.
On considère maintenant l'application :z7!w=z+z2, définie sur le demi-plan ouvert formé desz=x+i ytels que(x; y)2R2etx >¡1/2.
On identifie CàR2, si bien que en posantw=u+i v avec(u; v)2R2, est aussi l'application (x; y)7!(u; v)
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définie sur l'ensemble des(x; y)deR2tels que x >¡1/2.
2. Établir que lorsquewdécritC, les solutions dansCde l'équationz+z2=wrestent symétriques par rapport à un point fixe, puis montrer ensuite que l'applicationdéfinit une bijection entre et le planC=R2privé d'une demi-droite à préciser.
3. On pose maintenant (w) =P
k=0
+1bkwklorsque cette série converge, lesbk étant définis au III 1b. Montrer que, sur son disque de convergence, cette série a pour somme¡1(w).
(On pourra considérer, sans le calculer, le développement en série entière au voisinage de 0 de l'applicationw7!((w))2+(w)¡w:)
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