PC1&2 - DM de mathématiques n°5
5/01/2022
Laprésentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de larédaction, la clarté et la préci- siondes raisonnements entreront pour unepart importantedansl'appréciation des copies.
En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
Les différentes parties du problème ne sont pas indépendantes. Mais tout résultat d'une partie peut être admis et utilisé dans les parties suivantes.
Pour tout nombre réelR >0, on noteD(0; R)le disque ouvert de centre 0 et de rayonR.
Étant donnés un entier natureln1 et une fonction hde classeC1 sur un intervalle ouvert I, on note h(n)la dérivéen-ième dehsurI. Si besoin est, on pourra noterh(0)=h.
Dans tout le problème on notef la fonction définie sur Cpar :
f(z) = 8>
>>
><
>
>>
>: ez¡1
z si z=/ 0 1 si z= 0
Partie I
SoitS =P
n>0anzn une série entière de rayon de convergenceR non nul (possiblement infini) et de sommeS telle quea0= 1.
On se propose de démontrer qu'il existe un nombre réel R0 tel que 0< R0R et T(z) = P
n=0
+1bnznsomme d'une série entière de rayon de convergence supérieur ou égal àR0 telle que : 8z2D(0; R0); S(z)T(z) = 1
Soit un nombre réel tel que0< < R.
1. Rappeler la définition précise du rayon de convergence de la série entière S. 2. En déduire que la suite (jannj)n2N est bornée, puis que la série P
n>0ann converge absolument.
Montrer, par un contre-exemple, que(janRnj)n2Nn'est pas nécessairement bornée.
3. Pour quelles valeurs deK >0a-t-on : 8n>1; K6Kn?
Déduire de la question 2. qu'il existe un nombre réel K >0 tel que, pour tout entier natureln1,
janj K
n
On considère la suite(bn)n2Ndéfinie par récurrence par : b0= 1et pourn >0; bn=¡X
j=1 n
ajbn¡j
4. Démontrer que pour tout entier natureln, jbnj
2K
n
1
5. En déduire que la série entière T =P
n>0bnzna un rayon de convergence non nul.
6. SoitR0le minimum des rayons de convergence des sériesSet T. Expliciter les coefficients de la série produit de Cauchy de S et deT, pourz dansD(0; R0).
7. Conclure.
Partie II.A
Soit f la fonction définie sur la première page.
1. Justifier précisément que la fonction f, restreinte àR, est continue surR.
2. Soitzun nombre complexe. On posez=x+i y, avecxet yréels. Exprimer la partie réelle et la partie imaginaire deez¡1en fonction dexet de y.
3. Déterminer alors l'ensemble des élémentszde Ctels que f(z) = 0.
4. Justifier que la fonction g=1f est parfaitement définie sur le disqueD(0;2).
5.
a. Rappeler le développement en série entière de la fonction exponentielle. Quel en est le rayon de convergence ?
b. En déduire que la fonction f admet un développement en série entière sur C dont on explicitera les coefficients.
6. En utilisant les résultats de la partie I, justifier qu'il existe un nombre réel R dans]0;2[ et une série entièreg=P
n>0nzn de rayon de convergence supérieur ou égal àRet telle que 8z2D(0; R); g(z) =X
n=0 +1
nzn
Dans toute la suite du problème, on note donc(n)n2Nla suite de nombres complexes définie par :
8z2D(0; R); g(z) =X
n=0 +1
nzn On admet qu'on peut prendreR= 2.
Partie II.B
1. Justifier que, pour tout entier natureln; n, est un nombre réel.
2. Expliciter 0; 1; 2à l'aide d'un développement limité deg au voisinage de0.
3. Justifier les égalités :
8n2Nn f0g;X
k=0
n k
(n¡k+ 1)!= 0 4. Justifier que, pour tout entier natureln; nest un nombre rationnel.
5.
a. Démontrer que la fonctionGdéfinie par :
8t2]¡2;2[; G(t) =t+ 2g(t) est une fonction paire.
b. Que peut-on en déduire pour les coefficients n? Justifier.
2 Partie II.B
Partie III
Pour tout entier natureln, on note hla fonction définie pour toutt2Rparh(t) = (1¡et).
1. Déterminer le plus grand intervalle ouvertI deR, centré en 0, tel que : 8t2I ;jet¡1j<1
Soit(an)nNune suite de nombre réels telle que la série entièreP
n>0anzn est de rayon de convergence au moins 1.
2. Démontrer que la série de fonctionsP
n>0anhn converge simplement surI.
3. Quel argument simple permet de dire que la somme Sh=P
n=0
+1anhn est une fonction de classeC1sur I?
On se propose alors d'écrire les dérivées successives deShà l'aide des fonctionshn. 4.
a. Soit K un segment non réduit à un point contenu dans I. Justifier que la série de fonctionsP
n>0an(hn)0converge normalement surK.
b. En déduire que, pour toutt2I : Sh0(t) =¡etX
n=0 +1
(n+ 1)an+1hn(t)
On citera précisément le théorème utilisé.
c. Justifier qu'il existe une série P
n=0
+1unzn de rayon de convergence au moins 1 telle que :
8t2I ; Sh0(t) =X
n=0 +1
unhn(t)
5. Démontrer queShest de classeC1surIet que, sikest un entier naturel, il existe une série entièreP
n>0un(k)znde rayon de convergence au moins 1 telle que que(Sh)(k), la dérivéek- ième de Sh, vérifie :
8t2I ;(Sh)(k)(t) =X
n=0 +1
un(k)hn(t)
Partie IV
On conserve les notations de la partie III, en particulier la fonctionhest la fonction définie surR parh(t) = 1¡etet Iest l'intervalle ouvert défini dans la question III.1.
1. Démontrer que pour toutt2I ; g(t) =P
k=0
+1(1¡et)k
k+ 1 . On justifiera la convergence de cette série de fonctions.
2.
a. Énoncer précisément la formule de Leibniz.
b. Démontrer par récurrence sur l'entier naturel k que pour tout entier naturel n tel quek > n,(hk)(n)(0) = 0.
c. Démontrer que pour tous entiers naturelsn; k tels quek > n, et pour toute fonction H, de classeC1surI,
(H hk)(n)(0) = 0 d. En déduire que :
g(n)(0) =X
k=0
n (hk)(n)(0) k+ 1
Partie IV 3
On pourra décomposerg(t), pourt2I, sous la formeg(t) =P
k=0 n h(t)k
k+ 1+h(t)n+1H(t), avecH fonction de classe C1surI.
3.
a. Démontrer que pour tout entier natureln, et tout entier naturelk non nul,
(hk)(n)(0) =X
j=1 k
(¡1)jk j
jn
b. Quelle expression de npeut-on en déduire, pour tout entier natureln?
4 Partie IV
