PartieI − Géométrieplane Correctiondudevoirsurveillén˚4

(1)

Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2012-2013

D. Blotti`ere Math´ematiques

Correction du devoir surveill´ e n˚4

Partie I − G´ eom´ etrie plane

Exercice 1 (In´egalit´e de Cauchy-Schwarz)

Soient−→u et −→v deux vecteurs non nuls du plan (ou de l’espace).

1. Soitλ∈R. D´evelopper, r´eduire et ordonner suivant les puissances deλle produit scalaire (−→u +λ−→v).(−→u +λ−→v).

2. En déduire les propriétés suivantes.

(a) |−→u .−→v| ≤ ||−→u|| ||−→v||

(b) |−→u .−→v|=||−→u|| ||−→v|| ⇔ −→u //−→v Correction

On renvoie à la correction de l’exercice 74 de la feuille d’exercices n˚8 ”Géométrie élémentaire dans le plan (partie 1)”, résolu en classe.

Remarques

• Il s’agit d’une question qui a été posée à l’écrit du concours PT.

• Pour résoudre la question 1, on utilise la bilinéarité et la symétrie du produit scalaire. Ces propriétés doivent apparaˆıtre dans la rédaction.

• On peut donner une preuve s’appuyant sur la définition géométrique du produit scalaire dans le plan, mais il existe une preuve plus générale s’appuyant sur le signe (négatif ou nul) du discriminant d’un polynôme

`

a coefficients réels ne prenant que des valeurs positives ou nulles. Cette dernière méthode est à privilégier.

Exercice 2 (Équation polaire d’une droite ne passant pas par l’origine) SoitR= (O;−→u ,−→v) un repère orthonormé direct du plan.

1. SoitM un point du plan différent de l’origineO du repèreR. On note (x, y) les coordonnées cartésiennes deM dansR.

(a) Que signifie l’assertion :M a comme coordonn´ees polaires (r;θ) dansR? (b) Donner une expression de (x, y) en fonction de (r;θ).

(c) Donner une expression de (r;θ) en fonction de (x, y).

2. SoitDle lieu des pointsM(r;θ) du plan tels que :

r= 1

2 cos(θ)−3 sin(θ). (a) D´emontrer queDest une droite du plan.

(b) Donner un point et un vecteur directeur de la droiteD. Preuve

1. (a) Cf. cours.

(b) Cf. cours.

(c) Cf. cours.

(2)

2. (a) Pour la correction de cette question, on renvoie à la correction de l’exercice 72 de la feuille d’exercices n˚8 ”Géométrie élémentaire dans le plan (partie 1)”, résolu en classe. On trouve ici queDest la droite d’équation cartésienne :

2x−3y−1 = 0.

Remarques

• Il est conseillé de procéder par analyse-synthèse. En effet, le nombre 2 cos(θ)−3 sin(θ) peut être nul (pour θ= arctan

2 3

par exemple) et multiplier chaque terme d’une ´equation par ce nombre donne une implication seule et non une ´equivalence.

• On montre dans un premier temps que les coordonnées cartésiennes d’un point de D vérifient l’équation

2x−3y−1 = 0

puis on vérifie dans un second temps que tout point de coordonnées cartésiennes vérifiant 2x−3y−1 = 0

a ses coordonnées polaires (r;θ) qui vérifient l’équation polaire définissantD en vérifiant au pas- sage que l’on a 2 cos(θ)−3 sin(θ)6= 0(point crucial).

(b) D’après l’équation cartésienne trouvée pour la droiteD le vecteur−→n(2,−3) est un vecteur normal deD. Par suite, le vecteur−→u(3,2) est un vecteur directeur de D. En effet on a :

−

→n .−→u = 0 et donc−→n ⊥ −→u (crit`ere d’orthogonalit´e).

Les coordonnées du pointA(−1,−1) vérifient l’équation 2x−3y−1 = 0.

Le pointAappartient donc `aD.

Exercice 3 (Lieu g´eom´etrique et nombres complexes)

Un repère orthonormé R = (O;−→u ,−→v) du plan étant fixé, on identifie le plan et l’ensemble C des nombres complexes. Déterminer le lieuE des pointsM du plan d’affixez∈Ctels que :

Im

z−1 z−2i

= 0.

Correction

On renvoie à la correction de la question 2 de l’exercice 75 de la feuille d’exercices n˚8 ”Géométrie élémentaire dans le plan (partie 1)”, résolu en classe.

Remarques

• Il faut prendre garde que l’équation n’est pas définie pour z = 2i. Le point d’affixe 2i ne peut donc pas appartenir àE.

• On peut d´ebuter l’´etude de deux fa¸cons :

– en introduisant la forme alg´ebrique dez∈C\ {2i} (i.e. en posantz=x+iy, avec (x, y)∈R²; – en utilisant le fait que pour toutz∈C\ {2i} :

Im

z−1 z−2i

= 0 ⇐⇒ z−1 z−2i ∈R

⇐⇒ −−→

AM //−−→

BM

o`u Aest le point d’affixe 1,B est le point d’affixe 2i etM est le point d’affixe z.

(3)

Problème 1 (Théorème de Brianchon-Poncelet)

SoitR= (O;−→u ,−→v) un repère orthonormédu plan. SoitHla courbe représentative de la fonction inverse, i.e. : H=

M(x, y)

x∈R^∗ ety= 1 x

.

On rappelle que dans un triangle (non aplati), les trois hauteurs sont concourantes et que le point de concours des trois hauteurs est appel´e orthocentre du triangle.

L’objectif de ce problème est de démontrer le théorème suivant.

Th´eor`eme (Brianchon-Poncelet)

SiA, B,C sont trois points deHdeux `a deux distincts, alors l’orthocentre du triangle ABC est ´egalement un point de H.

1. Etude d’un cas particulier´ Soient A

2,1

2

,B 1

3,3

et C

−6,−1 6

trois points deH.

(a) Déterminer des équations cartésiennes des trois hauteurs du triangleABC.

(b) D´eterminer les coordonn´ees de l’orthocentreH de ce triangle.

(c) V´erifier queH appartient `a la courbeH. (d) Calculer l’aire du triangleABC.

2. Etude g´´ en´erale Soient les pointsA

a,1

a

,B

b,1 b

etC

c,1

c

oùa, b, csont trois réels non nuls deux à deux distincts.

Les pointsA, B, C sont donc des points deux à deux distincts deH. (a) Montrer que^≪H est l’orthocentre deABC^≫ équivaut à

( −−→

AH.−−→

BC= 0

−−→BH.−→

AC= 0.

(b) En d´eduire une expression des coordonn´ees de l’orthocentreH du triangleABC, en fonction de a,b et c.

(c) V´erifier queH appartient `a la courbeH. Correction

1. (a) On note :

• H^A la hauteur du triangleABC issue deA;

• H^B la hauteur du triangleABC issue deB;

• H^C la hauteur du triangleABC issue deC.

La droiteH^A est l’unique droite perpendiculaire `a (BC) passant parA. On a donc pour toutM du plan :

M ∈ H^A ⇐⇒ −−→AM⊥−−→BC

⇐⇒ −−→AM .−−→BC= 0 (crit`ere d’orthogonalit´e)

On calcule les coordonn´ees du vecteur−−→BC

−19 3 ,−19

6

. Pour toutM(x, y) du plan, on a :

M ∈ H^A ⇐⇒ (x−2)×

−19 3

+

y−1

2 −19 6

= 0

⇐⇒ −19 3 x−19

6 y−57 4 = 0.

Donc

−19 3 x−19

6 y+57 4 = 0

(4)

est une équation cartésienne deHÂ. De même :

−8x−2 3y+14

3 = 0 est une ´equation cart´esienne deH^B et

−5 3x+5

2y−115 12 = 0 est une ´equation cart´esienne deH^C.

(b) Les trois hauteursHÂ,H^B etH^C deABCétant concourantes, le point commun aux trois hauteurs est donc le point commun à deux hauteurs quelconques (par exemple HÂ, H^B) du triangle ABC.

Les coordonn´ees (x, y) deH sont donc solutions du syst`eme :

(S) :









 19

3 x + 19

6y = 57

4

−8x − 2

3y = −14 3 . On r´esout (S) par la m´ethode du pivot de Gauß.

(S) ⇐⇒









 19

3 x + 19

6 y = 57 4 190

9 y = 760

9

L2← 19

3 L2+ 8L1

Le dernier système est échelonné. Sa deuxième ligne donne : y= 4.

De cette valeur dey et deL1, on d´eduit que : x=1

4. Les coordonn´ees deH sont donc :

1 4,4

. (c) CommexH6= 0 et

1 xH

= 1

1 4

= 4 =yH

le pointH appartient `a H.

(d) D’après l’interprétation géométrique du déterminant de deux vecteurs, l’aire du triangleABC est donnée par :

|det(−−→AB,−→AC)|

2 .

Comme−−→AB

−5 3,5

2

et −→AC

−8,−2 3

, on a :

det(−−→AB,−→AC) =

−5 3 −8 5 2 −2

3

=−5 3×

−2 3

−(−8)×5 2 = 190

9 .

On en d´eduit que l’aire du triangleABC est 95 9 . 2. (a) On note :

• H^A la hauteur du triangleABC issue deA;

(5)

• H^B la hauteur du triangleABC issue deB;

• H^C la hauteur du triangleABC issue deC.

H orthocentre deABC ⇐⇒ H ∈ H^A∩ H^B∩ H^C (par d´efinition)

⇐⇒ H ∈ H^A∩ H^B (les trois hauteursABC sont concourantes)

⇐⇒ H ∈ H^A et H ∈ H^B (d´efinition de l’intersection de deux ensembles).

La droiteHÂ est la droite passant parAet perpendiculaire à (BC). On a donc : H ∈ HÂ ⇐⇒ −−→AH⊥−−→BC.

De mˆeme :

H ∈ H^B ⇐⇒ −−→BH ⊥−→AC.

On a donc :

H orthocentre deABC ⇐⇒ −−→AH⊥−−→BC et −−→BH ⊥−→AC

⇐⇒ −−→AH.−−→BC= 0 et −−→BH.−→AC = 0 (crit`ere d’orthogonalit´e).

(b) On a

−−→BC

c−b,1 c −1

b

et −→AC

c−a,1 c −1

a

.

D’après la question précédente, les coordonnées (x, y) deH sont solution du système :

(S) :











(x−a)(c−b) +

y−1 a

1 c −1

b

= 0

(x−b)(c−a) +

y−1 b

1 c −1

a

= 0.

On r´esout (S) par la m´ethode du pivot de Gauß.

(S) ⇐⇒











(c−b)x + 1

c −1 b

y = ac+ 1

ac −ab− 1 ab (c−a)x +

1 c −1

a

y = bc+ 1

bc−ab− 1 ab

Comme les points B etC sont distincts, on ab6=cet doncc−b6= 0. Donc (S) est ´equivalent `a :











(c−b)x+ 1

c −1 b

y=ac+ 1

ac −ab− 1 ab (a−c)(b−c)(a−b)

abc y=bc²−b²c+ab²−ac²+a²c−a²b

| {z }

−(a−c)(b−c)(a−b)



L2←(c−b)

| {z }

6=0

L2−(c−a)L1





De la deuxième ligne et du fait que (a−c)(b−c)(a−b)6= 0 (les points A, B, C sont deux à deux distincts et Rest intègre), on déduit que :

y=−abc.

De cette expression de y et de la premi`ere ligne, on d´eduit que : (c−b)x= 1

ac− 1

ab = b−c abc

(6)

puis comme (c−b)6= 0 que :

x=− 1 abc. Les coordonn´ees deH sont donc

− 1 abc,−abc

. (c) CommexH=− 1

abc 6= 0 et

1 xH

= 1

−abc¹

=−abc=yH

le pointH appartient `a H.

Partie II − G´ eom´ etrie dans l’espace

Exercice 4 (Intersection de deux plans s´ecants)

SoitR= (O;−→i ,−→j ,−→k) un rep`ere orthonorm´e directde l’espace.

1. Soient les points A(2,0,−1),B(0,1,2),C(−1,3,4). Justifier que le plan (ABC) est bien défini et donner une équation cartésienne de ce plan.

2. Justifier que







x = −2 + t1 − t2

y = 3 + t1

z = 7 − t1 + 2t2

est une représentation paramétrique de plan, de paramètrest1, t2∈Ret donner une équation cartésienne du planP défini par cette représentation paramétrique.

3. Donner un vecteur normal−→n1à (ABC) et un vecteur normal−→n2à P. En déduire que les plans (ABC) et P sont sécants.

4. Donner une repr´esentation param´etrique de la droiteD= (ABC) ∩ P. Correction

On renvoie à la correction de l’exercice 92 de la feuille d’exercices n˚10 ”Géométrie élémentaire de l’espace (partie 1)”, résolu en classe.

Exercice 5 (D’une représentation paramétrique de droite à une équation cartésienne)

SoitR= (O;−→i ,−→j ,−→k) un repère orthonormé directde l’espace. SoitDla droite de représentation paramétrique :







x = −2 + t y = 1 − 2t

z = 3 + t

de paramètret∈R. Donner une équation cartésienne de la droiteD. Correction

D’après la représentation paramétrique deD, le pointA(−2,1,3)∈ Det le vecteur−→u(1,−2,1) dirigeD. Heuristique : Une équation cartésienne de D est donnée par les équations cartésiennes de deux plans P¹ et P2 qui sont sécants et qui contiennent la droite D. Pour construire les deux plans P1 etP2, on cherche deux vecteurs −→u1 et−→u2 tels que :

(A) −→u et−→u1 sont non colinéaires ; (B) −→u et−u→2 sont non colinéaires ; (C) −→u1 et−→u2 sont non colinéaires.

(7)

Le planP¹sera alors défini comme étant le plan passant parA et dirigé par les vecteurs−→u et−u→1. Ce plan sera bien défini d’après (A). Il contiendra DpuisqueA∈ P¹ et −→u est un vecteur deP¹.

Le planP²sera alors défini comme étant le plan passant parA et dirigé par les vecteurs−→u et−u→2. Ce plan sera bien défini d’après (B). Il contiendraDpuisque A∈ P2 et−→u est un vecteur de P2.

L’hypothèse (C) implique quant à elle que les plansP1 etP2 sont sécants.

Il restera alors à déterminer une équation cartésienne de chacun des plansP1et P2. Soient−u→1(0,1,3) et−u→2(−2,0,3). Par construction des vecteurs−u→1 et−→u2, on a :

(A) −→u et−u→1sont non colinéaires ; (B) −→u et−u→2 sont non colinéaires ; (C) −→u1 et−u→2 sont non colinéaires.

Soit P¹ le plan passant par A et dirigé par les vecteurs −→u et −→u1. Ce plan est bien défini d’après (A). Soit M(x, y, z) un point de l’espace.

M(x, y, z)∈ P¹ ⇐⇒ −−→

AM(x+ 2, y−1, z−3),−→u(1,−2,1),−→u1(0,1,3) coplanaires

⇐⇒ det(−−→AM ,−→u ,−u→1) = 0 (crit`ere de coplanarit´e)

⇐⇒

x+ 2 1 0 y−1 −2 1 z−3 1 3

= 0

⇐⇒ 0×

y−1 −2 z−3 1

−1×

x+ 2 1 z−3 1

+ 3×

x+ 2 1 y−1 −2

= 0

⇐⇒ −7x−3y+z−14 = 0.

Donc une ´equation cart´esienne deP¹est :

−7x−3y+z−14 = 0.

Un vecteur normal deP1 est donc−→n1(−7,−3,1).

CommeA∈ P1 et−→u est un vecteur deP1 par construction, la droiteDest incluse dans P1. (Pour le v´erifier, on peut calculer

−7(−2 +t)−3(1−2t) + (3 +t)−14 pour toutt∈Ret v´erifier que l’on trouve 0.)

SoitP2le plan passant parAet dirigé par les vecteurs−→u et−→u2. Ce plan est bien défini d’après (B). En suivant la même méthode que précédemment, on montre que

−6x−5y−4z+ 5 = 0 est une ´equation cart´esienne deP².

Un vecteur normal deP² est donc−→n2(−6,−5,−4).

CommeA∈ P2et −→u est un vecteur deP2 par construction, la droiteDest incluse dans P2. La droiteDest incluse dansP1et dans P2 et donc est incluse dansP1 ∩ P2.

D’autre part, d’après la construction de P1, P2 et la propriété (C), les plansP1 ∩ P2 sont sécants. (Pour le vérifier, on peut calculer

−

→n1∧ −n→2(17,−34,17).

Ce vecteur étant non nul, les vecteurs−n→1 et −→n2 ne sont pas colinéaires (critère de colinéarité).) On en déduit queP1 ∩ P2 est une droite.

Si une droite est incluse dans une autre droite, alors les deux droites sont confondues. On en d´eduit que P1 ∩ P2=D.

De cette ´etude, on d´eduit que :

−7x − 3y + z − 14 = 0

−6x − 5y − 4z + 5 = 0

(8)

est une ´equation cart´esienne deD.

Exercice 6 (Projet´e orthogonal d’un point sur un plan)

SoitR= (O;−→i ,−→j ,−→k) un repère orthonorméde l’espace. SoitP le plan d’équation cartésienne : x−2y+ 3z= 0.

Soit le pointA(2,7,11).

1. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonalH du pointAsur le planP. 2. Calculer la longueurAH à l’aide du résultat précédent.

3. Retrouver le résultat précédent à l’aide d’une formule du cours.

Correction

1. On lit sur l’équation cartésienne deP donnée que le vecteur−→n(1,−2,3) est normal àP. Par définition le pointH(xH, yH, zH) est caractérisé par :

(i) H ∈ P (ii) −−→AH //−→n D’apr`es (i), on a :

(∗) xH−2yH+ 3zH= 0.

D’apr`es (ii), et comme−→n 6=−→0 , il existek∈Rtel que−−→AH=k−→n. On en d´eduit que : (∗∗) xH = 2 +k ; yH= 7−2k ; zH= 11 + 3k.

De (∗) et (∗∗), on d´eduit que :

(2 +k)−2(7−2k) + 3(11 + 3k) = 0.

On résout cette dernière équation pour voir quek=−3

2. De ce r´esultat et de (∗∗), on d´eduit : xH= 1

2 ; yH= 10 ; zH =13

2 . 2. On a :

AH=p

(xH−xA)²+ (yH−yA)²+ (zH−xA)²= 3 2

√14.

3. D’après le cours et l’équation cartésienne deP donnée, on a : AH=d(A,P) = |xA−2yA+ 3zA|

p1²+ (−2)²+ 3² = 21

√14 =21√ 14 14 =3

2

√14.

On retrouve bien le r´esultat obtenu `a la question 2.

Problème 2 (Sphère circonscrite à un tétraèdre) SoitR= (O;−→i ,−→j ,−→k) un repère orthonorméde l’espace.

1. Plan m´ediateur d’un segment

Soient M1(x1, y1, z1) etM2(x2, y2, z2) deux points disctincts. On note :

• P l’ensemble des pointsM de l’espace tels queM1M =M2M;

• Qle plan passant par le milieu Idu segment [M1M2] dont−−−−→M1M2est un vecteur normal.

(a) Montrer queP est un plan. On donnera une ´equation cart´esienne deP.

(9)

(b) Donner une équation cartésienne deQ. (c) En déduire queP =Q.

Le plan P =Qest appel´e plan m´ediateur du segment [M1M2].

2. Autour d’un t´etra`edre

Soient les pointsA(4,0,−3), B(2,2,2),C(3,−3,−1) et D(0,0,−3).

(a) Calculer le volume du t´etra`edre de sommetsA, B, C, D.

(b) Donner une équation cartésienne du planP1 médiateur du segment [AB].

(c) Donner une équation cartésienne du planP² médiateur du segment [AC].

(d) Donner une équation cartésienne du planP3 médiateur du segment [AD].

(e) SoitS la sphère circonscrite au tétraèdreABCD, i.e. la sphère passant par les pointsA,B,C etD.

i. Démontrer que le centre Ω de la sphèreS appartient àP¹∩ P²∩ P³. ii. Déterminer les coordonnées de Ω.

iii. D´eterminer le rayon de la sph`ereS.

iv. Donner une équation cartésienne de la sphèreS. Correction

1. (a) SoitM(x, y, z) un point de l’espace.

M(x, y, z)∈ P ⇐⇒ M M1=M M2

⇐⇒ M M₁²=M M₂² (2 nombres positifs sont égaux ssi leurs carrés sont égaux)

⇐⇒ p

(x1−x)²+ (y1−y)²+ (z1−z)²2

=p

(x2−x)²+ (y2−y)²+ (z2−z)²2

⇐⇒ (x1−x)²+ (y1−y)²+ (z1−z)²= (x2−x)²+ (y2−y)²+ (z2−z)²

⇐⇒ −2x1x+x²₁−2y1y+y²₁−2z1z+z²₁=−2x2x+x²₂−2y2y+y₂²−2z2z+z₂²

⇐⇒ 2(x2−x1)x+ 2(y2−y1)y+ 2(z2−z1)z+x²₁+y₁²+z₁²−(x²₂+y²₂+z₂²) = 0.

Donc l’ensembleP est caract´eris´e par :

(EP) 2(x2−x1) x+ 2(y2−y1) y+ 2(z2−z1) z+x²₁+y₁²+z²₁−(x²₂+y²₂+z₂²) = 0.

Les pointM1et M2 ´etant distincts on a :

(x1, y1, z1)6= (x2, y2, z2)

et par suite un des coefficients encadrés dans l’équation (EP) est non nul. L’équation (EP) est donc une équation cartésienne de plan. Par suiteP est un plan.

(b) Par d´efinition deQ, le vecteur−−−−→M1M2(x2−x1, y2−y1, z2−z1) est un vecteur normal deQet le point I

x1+x2

2 ,y1+y2

2 ,z1+z2

2

appartient `aQ.

SoitM(x, y, z) un point de l’espace.

M(x, y, z)∈ Q ⇐⇒ −−→IM ⊥−−−−→M1M2

⇐⇒ −−→IM .−−−−→M1M2= 0 (crit`ere d’orthogonalit´e)

(10)

Or :

−−→IM .−−−−→

M1M2 =

x−x1+x2

2

(x2−x1) +

y−y1+y2

2

(y2−y1) +

z−z1+z2

2

(z2−z1)

= (x2−x1)x+ (y2−y1)y+ (z2−z1)z−x²₂−x²₁+y²₂−y²₁+z₂²−z²₁ 2

= (x2−x1)x+ (y2−y1)y+ (z2−z1)z+x²₁+y₁²+z²₁

2 −x²₂+y²₂+z₂²

2 .

On en déduit qu’une équation cartésienne deQ est :

(EQ) (x2−x1)x+ (y2−y1)y+ (z2−z1)z+x²₁+y²₁+z₁²

2 −x²₂+y₂²+z²₂

2 = 0.

(c) On remarque que l’équation cartésienne (EP) du planP s’obtient en multipliant chacun des membres de l’équation cartésienne de (EQ) du planQpar 2. On a doncP =Q.

2.

(a) D’après l’interprétation géométrique du déterminant, le volume V du parallélépipède engendré par les pointsA, B, C, D est donné par :

V =|det(−−→AB,−→AC,−−→AD)|.

De plus le volume du tétraèdreABCD est égal à un sixième deV, soit :

|det(−−→

AB,−→

AC,−−→

AD)|

6 .

Comme

det(−−→AB,−→AC,−−→AD) =

−2 −1 −4

2 −3 0

5 2 0

=−4×

2 −3

5 2

=−76

le volume du tétraèdreABCDest égal à 38

3 (d’unité de volume donnée par le volume du cube^≪en- gendré par^≫ le pointO et les vecteurs−→i ,−→j ,−→

k).

(b) On spécialise le résultat obtenu à la question 1.(b) au cas oùM1=Aet M2=B. On trouve qu’une

´equation cart´esienne deP¹ est :

−2x+ 2y+ 5z+13 2 = 0.

(c) On spécialise le résultat obtenu à la question 1.(b) au cas oùM1=A etM2=C. On trouve qu’une

´equation cart´esienne deP2 est :

−x−3y+ 2z+ 3 = 0.

(d) On spécialise le résultat obtenu à la question 1.(b) au cas oùM1=AetM2=D. On trouve qu’une

´equation cart´esienne deP³ est :

−4x+ 8 = 0 ou encore

−x+ 2 = 0.

(e) i. Comme la sph`ereS de centre Ω passe par les points Aet B, on a : ΩA= ΩB

et donc Ω ∈ P¹ (cf. question 1.(c)). De mˆeme, on montre que Ω ∈ P² et Ω ∈ P³. On a donc Ω∈ P¹∩ P²∩ P³.

(11)

ii. D’après les quatre questions précédentes, les coordonnées (x, y, z) de Ω sont solutions du système :

(S) :











−2x + 2y + 5z = −13 2

−x − 3y + 2z = −3

−x = −2

Résolvons le système (S) par la méthode du pivot de Gauß.

(S) ⇐⇒











2y + 5z − 2x = −13

2

−3y + 2z − x = −3

−x = −2

⇐⇒











2y + 5z − 2x = −13

2 19z − 8x = −51

2 (L2← 2

|{z}

6=0

L2+ 3L1)

−x = −2

Ce dernier système est échelonné.

DeL3, on d´eduit que :

x= 2.

Dex= 2 et deL2, on d´eduit que :

19z=−51

2 + 16 =−19 2 . On a donc :

z=−1 2. Dex= 2,z=−1

2 et deL1, on d´eduit que : 2y=−13

2 +5

2 + 4 = 0.

On a donc :

y= 0.

Les coordonn´ees de Ω sont donc : 2,0,−1

2

.

iii. Le rayon de la sphèreS est donné par ΩA(égale, par définition deS, à ΩB, ΩC, ΩD). Ce rayon vaut donc :

ΩA=p

(xA−xΩ)²+ (yA−yΩ)²+ (zA−zΩ)²=

√41 2 .

iv. D’après les deux questions précédentes, une équation cartésienne de la sphèreS est : (x−2)²+y²+

z+1

2 2

= 41 4 .