PC1&2 - devoir maison n ° 6 - 25/01/2022
Etude d'une série de fonctions
Le sujet est consacré à l'étude de quelques propriétés de dérivabilité de la fonctionR:R!Cdéfinie, pour toutx2R, par :
R(x) =X
n=1
1 sin(n2x) n2 :
Notations
On note bxcla partie entière d'un réelx.
Soit(un)n2Zune famille de nombres complexes indexée par l'ensembleZdes entiers relatifs.
Dans le cas où les sériesP
n0unetP
n1u¡nsont toutes deux convergentes, on pose : X
n2Z
un=X
n=0 1
un+X
n=1 1
u¡n:
I. Préliminaires
On établit dans cette partie quelques résultats utiles dans la suite du problème.
1. Montrer que la fonctionR est bien définie et qu'elle est continue surR.
2. Montrer que l'intégraleZ
0
+1sin(x2)
x2 dxest convergente.
Dans la suite du problème, onadmetque Z
0
+1sin(x2)
x2 dx= 2 r
:
Soit f:R!C une fonction continue par morceaux et intégrable. On pose
f^(x) =Z
¡1 +1
f(t)e¡ixtdtpour toutx2R:
3. Montrer que la fonction f^est bien définie, et continue surR.
II. Etude de la dérivabilité de R en 0
Dans cette partie, on considère une fonction f:R!C, continue et telle qu'il existe un réel C >0tel que
jf(t)j C
1 +t2 pour toutt2R.
1
On pose :
S(h) =hX
n=0 1
f(n h) pour touth >0.
4. Justifier l'existence deS(h)pour touth >0.
On fixeh >0, et on considère la fonction
h: R+ ! C t 7! fjt
h kh:
5. En l'étudiant au voisinage de ses points de discontinuité, montrer que h est continue par morceaux sur R+, puis qu'elle est intégrable surR+et que
S(h) = Z
0 +1
h(t) dt:
6. Montrer que, pour toush2]0; 1]ett2[1; +1[, on a
jh(t)j C 1 + (t¡1)2:
7. Montrer que si (hn) est une suite de réels strictement positifs de limite 0, la suite (hn) converge simplement vers f surR+puis queZ
0 +1
hn(t) dt! Z
0 +1
f(t)dtlorsquen!+1. En déduire que
S(h)! Z
0 +1
f(t) dt quandh!0.
8. Montrer que les hypothèses de la section II s'appliquent à f:t7!
( sin
(t2)
t2 sit=/ 0 1 sit= 0. En déduire un équivalent deR(x)quandxtend vers 0 par valeurs strictement positives. La fonctionR est-elle dérivable en 0 ?
III. Formule sommatoire de Poisson
Dans cette partie, on note C2 l'espace vectoriel des fonctions continues et2-périodiques deRversC. Si uest un élément deC2, on pose
cp(u) = 1 2
Z
0 2
u(t)e¡iptdt pour tout p2Z.
Onadmetle résultat suivant, que l'on pourra utiliser sans démonstration dans toute cette partie : siuetv sont deux éléments deC2qui vérifientcp(u) =cp(v)pour toutp2Z, alors u=v.
On considère une fonction f:R!C, continue et telle qu'il existe des réels strictement positifsC1et C2tels que
jf(t)j C1
1 +t2 pour toutt2Retjf^(x)j C2
1 +x2 pour toutx2R, 2
où la fonction f^a été définie à partir de f à la question 3. On pose également F(x) =X
n2Z
f(x+ 2n ) et G(x) =X
n2Z
f^(n)einx pour toutx2R.
9. Montrer que la fonctionF est bien définie, 2-périodique et continue surR.
10. Montrer que la fonctionGest bien définie,2-périodique et continue surR.
11. Montrer queG= 2 F.
En particulier, on aG(0) = 2 F(0), soit : X
n2Z
f^(n) = 2X
n2Z
f(2n ):
12. Montrer que, pour tout réel strictement positif a, on a X
n2Z
f(n a) =1 a
X
n2Z
f^ 2n
a
:
Cette égalité constitue la formule sommatoire de Poisson.
IV. Etude de la dérivabilité de R en
On considère la fonction f:R!Cdéfinie par
f(t) = 8>
>>
><
>>
>
>:
eit2¡1
t2 sit=/ 0 i sit= 0:
13. Montrer quef est de classeC1surR. On pourra utiliser un développement en série entière.
14. Etablir quef0(t)!0 quandt! 1, et quef00(t) =¡4eit2+O(t¡2)quand t! 1. 15. Montrer, à l'aide du changement de variable t=x2 et d'une intégration par parties, que
l'intégraleI= Z
1 +1
eix2dxest convergente. En déduire queI= Z
¡1 +1
eix2dxconverge.
16. Montrer que f^(x) =O(x¡2)quandx! 1. On pose à présent
F(x) =X
n=1 1 ein2x
n2 pourx2R.
17. En utilisant la formule sommatoire de Poisson, montrer qu'il existe des nombres complexes aet btels que
F(x) =F(0) +a xp +b x+O(x3/2) quandx!0 par valeurs strictement positives.
Préciser la valeur deb, et exprimeraen fonction deI(l'intégraleIa été définie à la question 15).
18. Exprimer, pourx2R,F(+x)en fonction deF(4x)et deF(x).
19. Déduire de ce qui précède que la fonctionRest dérivable en, et préciser la valeur deR0().
3
