I.2-Rendementdutransportélectrique PartieI-ArchitectureduréseauélectriquefrançaisI.1-Delaproductionàlaconsommation Letransportdel’électricitéenFrance PROBLÈME1

Correction proposée par : EL FILALI SAID MABCHOUR SAID CHAOUQI AZIZ LYDEX/BENGUERIR

PROBLÈME 1

Le transport de l’électricité en France

Partie I - Architecture du réseau électrique français I .1 - De la production à la consommation

Q1⊲ Les principaux moyens de production de l’électricité en France sont :

•L’énergie nucléaire (416,8 TWh).

•L’énergie hydraulique (58,7 TWh).

Q2⊲ La principale limitation technologique est le stockage de l’énergie ; la produc- tion et le transport doivent être en temps réel jusqu’aux lieux de consommation

Q3⊲ Le nom des pertes : Effet Joule.

Q4⊲ La surproduction en électricité est délivrée aux pays voisins les plus proches, selon une interconnexion entre réseaux d’électricité européens .

I .2 - Rendement du transport électrique

Q5⊲ Les courants de ligne : On rappelle que

P =UI =⇒I = P U

◮^{Le courant} I1 :

I1 = P U₁

A.N

GGGGGGGGGA I1 =250 A

◮^{Le courant} I2 :

I2= P U₂

A.N

GGGGGGGGGA I2= 1000 A

Q6⊲ Détermination des sections : En régime stationnaire on a :

I = JS =⇒ S = I J

◮Pour la tension U₁ :

S₁ = I1

J

A.N

GGGGGGGGGA S₁ = 360 mm²

◮Pour la tension U₂ :

S₂= I₂ J

A.N

GGGGGGGGGA S₂ =1440 mm²

Q7⊲ Détermination de la résistance de chaque ligne : Sachant que

R= ρℓ S Alors :

◮Pour la ligne 1 :

R1= 7,2Ω

◮Pour la ligne 2 :

R₂= 1,8Ω

Q8⊲ Les pertes par effet Joule : On rappelle que :

P_J = RI² Donc :

◮Pour la ligne 1 :

P_J1 =R₁I₁²

A.N

GGGGGGGGGA P_J1= 450kW

◮Pour la ligne 2 :

P_J2= R₂I₂² GGGGGGGGGA^A.N P_J2 =1800kW

Q9⊲ Le rendement du transport d’électricité.

SoientP la puissance transportée ,P_u la puissance utile ( puissance consommée) etP_jla puissance dissipé par effet Joule.

Production Consommation

Transport

P P_J P_u

La conservation de puissance impose :P =P_u+P_J On définit le rendement par

η= P_u

P =⇒η=1− P_j P

◮Pour la ligne 1 :

η1 = 1− P_j1 P

A.N

GGGGGGGGGA η1 =99,55%

◮Pour la ligne 2 :

η2 =1− P_j2 P

A.N

GGGGGGGGGA η2 =98,2%

Partie II - Transformateur torique

Q10⊲ Symétrie et invariance :

◮^{Le plan} (→− e_r,→−

e_z) est un plan d’antisymétrie passant par le point M donc le champ→− B y perpendiculaire, d’où :

−

→B₁(M)= B₁(M)→− e_θ

◮Le tore présente une invariance par rotation autour de l’axe Oz , donc B₁(M) = B₁(r,z)

Conclusion

Le champ magnétique :→−

B1(M) =B1(r,z)→− eθ

Erreur d’énoncé , on a pas invariance par translation le long de l’axeOz, pour élimi- ner la variablez

Remarque

Q11⊲ Puisque→−

B₁(M)ne dépend que de la variableralors le contourΓest un cercle de rayonr. Comme :

I

Γ

−

→B₁(M).−→

dℓ= B₁(r)2πr Ainsi

Ie = N1I1

D’où :

−

→B₁(M)= µ_oN₁I₁ 2πr

−

→e_θ

Q12⊲ L’expression du flux magnétique ϕ: On a :

ϕ=

S

−

→B₁.−→

dS =⇒ϕ=

Z z=a/2

z=−a/2

Z R+a

r=R

B₁dr dz

Il en résulte que :

ϕ= µoN1aI1

2π lnR+a a Q13⊲ Le flux total :

Φ = N₁ϕ=⇒Φ = µ_oN₁²aI₁

2π lnR+a a

Q14⊲ La définition de l’inductance L

Φ =LI où Em = 1 2LI² Q15⊲ L’expression de l’inductance L₁ :

L₁ = Φ

I₁ =⇒ L₁ = µ_oN₁²a

2π lnR+a a

Q16⊲ L’expression de l’inductanceL₂ : Il suffit de remplacerN₁ parN₂(les valeurs deaet Rsont les mêmes)

L₂ = Φ

I₂ =⇒ L₂ = µ_oN₂²a

2π lnR+a a

Q17⊲ La définition du cœfficient d’inductance mutuelleM: Il est définit par

Φ1→2 =MI₁

AvecΦ1→2 le flux du champ→−

B₁à travers l’autre circuit 2.

Q18⊲ On a le flux du circuitC₁ à travers le circuitC₂ est :

Φ1→2 =

S

N₂→−

B₁(M)−→

dS₂=⇒ MI₁ =N₂N₁µ_oI₁ 2π

Z _z=a/2

z=−a/2

Z _R+a

r=R

1 r dr dz

Il en résulte que :

M= µ_oN₁N₂a

2π lnR+a a Q19⊲ L’expression de la tensionu₁(t) :

i₁ i₂

M

u₁ u₂

L₁ L₂

En convention récepteur on a :

u₁ = L₁di₁

dt +Mdi₂

dt (E1) Q20⊲ L’expression de la tensionu₂ :

u₂ = L₂di₂

dt +Mdi₁

dt (E2) Q21⊲ Démontrons la relation :

(E2)=⇒ 1

Mu₂− L₂ M

di₂ dt = di₁ Dans (E1) : dt

u₁ = L₁h 1

Mu₂− L2

M di2

dt

i+Mdi2

dt =⇒ u₁ = L1

Mu₂− L1L2

M di2

dt +Mdi2

dt

=⇒ u₁ = L1

Mu₂+(M− L1L2

M )di2

dt Et par conséquent :

u1 = L₁

Mu2+(M²−L₁L₂ M )di₂

dt c’est la relation demandée Q22⊲ Si le couplage est parfait

M= p L₁L₂ alors :

u₁= L₁

Mu₂=⇒ u₂ u₁ = M

N₁

Donc :

u₂ u₁ = N₂

N₁

Le rapport du transformateur Q23⊲ Suivant les valeurs de N₁ et N₂on a :

•_SiN₂ > N₁ alorsu₂ >u₁ : élévateur de tension.

•_SiN₂ < N₁ alorsu₂ <u₁ : abaisseur de tension.

Q24⊲ Puisque les pertes sont négligeables alors le rendement est maximal , le

transfert de puissance du circuit primaire au circuit secondaire est maximal (P_primaire =P_secondaire).

Q25⊲ Un transformateur ne peut pas fonctionner en courant continu parce que il donne un flux constant donc pas de force électromotrice.

Q26⊲ Si N₁ =N₂ =⇒u₁ =u₂ : transformateur d’isolement.

Q27⊲ Type de perte : Perte par courant de Foucault (les feuillets minces en acier rendent les courants surfaciques et non volumiques donc diminuent les pertes).

PROBLÈME 2

Le stockage de l’électricité

Partie I - Définition du cahier des charges

Q28⊲ L’énergie nécessaire W _:

W =P∆t =⇒W = 20×10³W h= 72MJ

Q29⊲ Calcul de la massem₁ :

W =m₁W₁ =⇒ m₁ = W W₁

A.N

GGGGGGGGGA m₁= 1,63kg

Q30⊲ Le volumeV_H d’hydrogène dans les C.N.T.P :

PV = nRT =⇒ V_H = m_HRT PM(H₂)

A.N

GGGGGGGGGA V_H =7,4m³

Q31⊲ Pour assurer l’autonomie des voitures dans l’avenir proche :

⋆Remplacer les carburants fossiles par des batteries :

⊲Si on augmente la capacité des batteries.

⊲Diminuer l’encombrement.

⊲Diminuer la résistance de fuite des batteries

⊲Augmenter la force électromotrice des cellules formant les batteries.

⋆Remplacer les carburants fossiles par des piles à combustible :

⊲Augmenter la capacité du stockage.

⊲Diminuer l’encombrement.

⊲Sécurité maximale .

⊲Utiliser des matériaux supportant une grande pression de stockage

Partie II - Problématique du stockage

Q32⊲ Modèle de Lewis : c’est la représentation des électrons de valence autour des éléments chimiques en respectant la théorie V.S.E.P.R :

H C

O H

O

Q33⊲ Puisque−log C, pH alors l’acide formique est un acide faible.

Q34⊲ Les avantages :

◮Stocke le double de l’énergie à volume constant.

◮Liquide à température ambiante , peu inflammable.

Q35⊲ L’équation chimique :

HCO₂H−−↽−−⇀H₂+CO₂

Q36⊲ On a :

n(HCO₂H)= n(H₂)=⇒ m(H₂)= M(H₂)ρ(HCO₂H)V(HCO₂H) M(HCO₂H)

Application numérique :

m(H₂)= 53,04g

Q37⊲

•Première opération : diminuer la quantité de CO₂dans l’atmosphère ( diminuer l’effet de serre).

•Deuxième opération : produire le double d’énergie avec une méthode écologique.

Partie III - Chimie du stockage

Q38⊲ On a :

X CO₂ HCOOH HCOO^–

n.o(C) IV II II

A B C

Q39⊲ On rappelle que pour un monoacide faible : pH = pK_a+log [Base]

[Acide]

A la frontière [Base]=[Acide] donc

pK_a = pH_f Graphiquement

pK_a = pH_f = 3,8

Q40⊲ La pente à la frontière entre A et B : L’équation entre les deux espèces est

CO₂+^{2 e–} +^{2 H+} −−↽⇀−−HCOOH pente= −0,06p(H⁺)

n(e⁻)

A.N

GGGGGGGGGA pente= −0,06

Q41⊲ La réaction à pH =2,9 est :

2 H₂O+HCOOH−−↽⇀−−H₂+CO₂+4 H⁺

Partie IV - Pile à combustible

Q42⊲ Les demi-équations électroniques :

•_O2+^{4 H+}+^{4 e–} −−↽⇀−−2 H₂O

•_{2 H}⁺+^{2 e–} −−↽⇀−−H₂ Q43⊲ L’équation de la réaction :

O₂+2 H₂ −−↽⇀−−2 H₂O

Q44⊲ Le schéma de la pile à hydrogène :

R

Cation

Anion Electrolyte

I e⁻

⊖

⊕

Anode ( Oxydation) Cathode ( Réduction)

H₂ −−↽⇀−−_{2 H}⁺+2 e^– O₂+4 H⁺+4 e^– −−↽⇀−−_{2 H2O}

Q45⊲ Utilité de l’électrolyte : Assurer le transfert des ions pour fermer le circuit électrique.

Q46⊲ La quantité de matière des porteurs de charges :

n(e⁻)= 2n(H₂) GGGGGGGGGA^A.N n(e⁻)= 10³mole

Q47⊲ La charge libérée :

Q= Ne=nF GGGGGGGGGA^A.N Q=9,65×10⁷C

Q48⊲ On a :

U_T = N×0,7 GGGGGGGGGA^A.N U_T =179,2 V

Ainsi :

I = P_T U_T

A.N

GGGGGGGGGA I = 111,6 A

Donc

∆t= Q I

A.N

GGGGGGGGGA ∆t= 240,2h

Q49⊲ La valeur de la vitesse :

v= d

∆t

A.N

GGGGGGGGGA v=0,42km h⁻¹ Vitesse très faible.

PROBLÈME 3

Oscillateurs en électronique

Partie I - Réalisation d’un oscillateur quasi-sinusoidal I .1 - Généralités

Q50⊲ Identification des parties :

+

−

∞

ve R₂ vs v_e

R₁

R

C

R C

Amplificateur

Filtre

Q51⊲ Puisque l’amplificateur opérationnel est idéal alors

i₊=i_e = 0

I .2 - Étude du filtre de Wien

Q52⊲ La relation entre la dérivée de la tension v_c et le couranti: En convention récepteur on a :

i=Cdv_c

dt (E1) Q53⊲ La loi des nœuds au point A donne :

i=i1+i2 =⇒i= v_e

R +Cdv_e

dt (E2) Q54⊲ La loi des mailles :

vs= ve+vc+Ri (E3)

Q55⊲ Montrons l’expression donnée : (E1) et (E2)=⇒Cdv_c

dt = v_e R + dv_e

dt

Dérivée de (3) par rapport au temps :=⇒ dv_s dt = dv_e

dt + dv_c dt +Rdi

dt Avec (E2) :=⇒ dv_s

dt = dv_e dt +( 1

RCv_e+ dv_e

dt)+(dv_e

dt +RCd²v_e dt² Ce qui donne

dv_s

dt =RCd²v_e

dt² +3dv_e dt + 1

RCv_e Par conséquent

τ=RC

I .3 - Amplificateur

Q56⊲ La valeur de l’amplification A: L’amplificateur en régime linéaire doncV⁺=V⁻ Comme :V⁺=v_e et v⁻= R₁

R₁+R₂v_s donc A= v_s

v_e =⇒ A=1+ R₂

R₁ (> 1)

Q57⊲ L’équation différentielle suivante vérifiée par la tensionv_s On remplacev_e par v_s

A dans l’équation différentielle obtenue , on obtient : τ²d²v_s

dt² +(3−A)τdv_s

dt +v_s =0

Q58⊲ Pour obtenir une oscillation harmonique il faut que A = 3(annuler le terme d’amortissement) et donc l’équation différentielle devient :

d²v_s dt² + 1

τ²v_s=0 Dont la solution est sinusoïdale.

Q59⊲ La fréquence d’oscillation est :

f_o= ω_o

2π =⇒ f_o = 1 2πRC

Q60⊲ L’énergie nécessaire pour garantir l’oscillation provient de l’alimentation

±Vcc

I .4 - Conditions d’oscillation

Q61⊲ Le signal fourni n’est pas sinusoïdal parce que son spectre renferme deux pics :

u_e(t)=U_ocos(2πf_ot)+U₁cos(2πf₁t)

Q62⊲ Afin d’améliorer la qualité de la tensionv_e, on utilise un filtre passe bas dont de gain unité et la fréquence de coupure est de l’ordre de 4 à 5 kHZ et afin de supprimer le deuxième pic.

Partie II - Oscillateur à relaxation

Q63⊲ L’amplificateur est en régime saturé ( non linéaire ) puisque la contre réac- tion est positive ( la sortie est reliée à l’entrée non inverseuse).

Dans ce cas :

vs =±Vsat

AvecV_sat la tension de saturation.

On a basculement si ε= V⁺−V⁻= V⁺ change de signe . Le théorème de Millmann donne :

V⁺= ε= u R₁ + vs

R₂ 1 R₁ + 1

R₂

◮^Si ε >0=⇒ u R₁ + v_s

R₂ >0alors on a basculement de+V_sat à−V_sat pour u>Useuil2 = R₁

R₂V_sat

◮^Si ε <0=⇒ u R₁ + v_s

R₂ <0alors on a basculement de−V_sat à+V_sat pour u< Useuil1= −R1

R₂V_sat

Q64⊲ La tension de sortiev_s en fonction de la tensionu:

u vs

R1

R2V_sat

−^R1

R2V_sat

V_sat

−V_sat

Q65⊲ On a : du

dt = − 1

RCvet comme à t=0 on a u= 0etv= +V_sat alors u(t)=−Vsat

RCt

Droite de pente végative

Q66⊲ La fréquence du signal : At1 on a :u(t1)=Useuil1=⇒t1 = R₁

R₂RCet par conséquent : T =4t₁ =⇒ f = R₂

4R₁RC

Q67⊲ Détermination des valeurs :

◮^{On a :} V_max = R1

R₂V_sat =⇒

R1= 133Ω

◮^{On a :} f = R₂

4R₁RC =⇒C= 1 4R₁f

C =1,87µF

Q68⊲ La limite en fréquence de fonctionnement du montage est du à la limitation de vitesse de balayage de l’amplificateur opérationnel( slew-rate).

Pour les applications numériques on a utilisé la calculatrice Remarque