PC1&2 - DM de mathématiques n o 2
pour le 29/09/2021
Notations
On note N l'ensemble des entiers naturels, R l'ensemble des réels et Mn l'ensemble des matrices nn à coefficients réels.
Dans tout le problème, X est un espace vectoriel de dimension n2 sur le corps des réels et T un endomorphisme non nul de X.
La trace de T sera notée trT.
Soit B une base de X, on noteTB la matrice représentant T dans cette base.
On dit que T est une homothétie si c'est un multiple scalaire de l'identité.
On appelle projecteur un endomorphisme P de X idempotent, c'est-a-dire tel que P2=P. On note I l'endomorphisme identité de X, In la matrice identité deMn etOnla matrice nulle.
1 Traces et projecteurs
Soit P un projecteur de X. On poseP0=I¡P.
1. Montrer que Im(P0) =Ker(P) et que Im(P) =Ker(P0).
2. Montrer que si l 'endomorphisme S est une somme finie de projecteurs Pi , i2[[1; m]] alors trS2N et trSrgS.
2 Projecteurs de rang 1
On suppose dans cette partie que P est un projecteur de rang 1.
1. Soit f1 un élément non nul de Im(P). Montrer qu'on peut trouver 2Rtel que : P T(f1) = f1
En déduire que P T P = P.
Soit C=ff1; f2; ; fngune base de X adaptée à la décomposition X=Im(P)Ker(P) . 2. Montrer que dans la base C la matrice représentant T s 'écrit
TC= 0 B BB BB B@
B
1 C CC CC CA
1
où est le nombre réel dont l'existence a été prouvé en question 2.1 et B2 Mn¡1.
3. Montrer que siP0T P0 n'est pas proportionnel àP0, alorsB, défini à la question 2.2, n'est pas la matrice d'une homothétie. On rappelle que P0=I¡P.
3 Endomorphismes différents d'une homothétie
On suppose dans cette partie que l'endomorphisme T n'est pas une homothétie.
1. Démontrer qu'il existe un vecteurx2X tel que x et T(x) ne soient pas colinéaires.
2. En déduire qu'il existe une baseB=fe1; e2; :::; engdans laquelle la matrice TB est de la forme suivante :
TB= 0 B BB BB BB BB B@
0 1
0 A
0
1 C CC CC CC CC CA
où A2 Mn¡1.
3. En déduire, par récurrence sur n, que si trT = 0, il existe une baseB0 de X dans laquelle la diagonale de TB0 est nulle.
Soit (t1; : : : ; tn)une suite de nnombres réels vérifiant trT=P
i=1 n ti.
4. En dimension n= 2, démontrer qu'il existe une base B00 dans laquelle TB00 a pour éléments diagonaux t1 ett2.
Soit t2R, on admettra qu'en dimension n3, il existe un projecteur L de Xde rang 1, tel que d'une part L T L=t L et d'autre partL0T L0 ne soit pas proportionnel à L0=I¡L.
5. En dimension n3, à l'aide des questions 2.2 et 2.3 démontrer qu'il existe une base C dans laquelle la matrice représentant T s'écrit
TC= 0 B BB BB B@
t1
B
1 C CC CC CA
où Bn'est pas une homothétie.
6. En dimension n3, démontrer par récurrence qu'il existe une base B00 dans laquelle la dia- gonale de TB00ait pour éléments diagonaux les ti où i2[[1; n]].
4 Décomposition en somme de projecteurs (facultatif)
On suppose désormais que T est un endomorphisme de Xvérifiant trT2N et trT rgT. On pose =rgT et=trT.
2 Section 4
1. Montrer qu'il existe une base B dans laquelle TB est de la forme suivante :
T1 O T2 O
!
où T1 est une matrice de taille .
Supposons tout d'abord que T1 ne soit pas la matrice d'une homothétie.
2. A l'aide de la question 3.6 montrer qu'il existe une base B0 dans laquelle TB0=
T10 O T20 O
où T10 admet comme termes diagonaux des entiers non nuls ti avec i2[[1; ]] . 3. En déduire queT est la somme d'un nombre fini de projecteurs.
On suppose maintenant que T1 est la matrice d'une homothétie.
4. Démontrer que là encore, T est la somme d'un nombre fini de projecteurs.
Décomposition en somme de projecteurs (facultatif) 3
