PC1&2 - DM de mathématiques n°3

PC1&2 - DM de mathématiques n°3

pour le 10/11/2021

Dans tout le problème, on se donnen2 un entier et on note :

- E=Mn(R) l'ensemble des matrices carrées de taille nà coefficients réels - Onla matrice nulle deE etIn la matrice identité

- ^tA la transposée d'un élément deE

- Ei;j2 E la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf celui de la ligneiet de la colonne j - Sn(R) l'ensemble des matrices symétriques deE

- N l'ensemble des matricesnilpotentes deE, c'est à dire desA2 E telles qu'il existe un entier p avecA^p=On.

On admettra dans ce qui suit le résultat suivant :

Théorème. Toute matrice réelle symétrique réelle est diagonalisable.

1 Propriétés élémentaires

SoitA un élément de N.

1. La matrice A peut-elle être inversible ? Justifier votre réponse.

2. On note Sp(A) le spectre de A, c'est à dire l'ensemble des valeurs propres complexes de la matriceA. Déterminer Sp(A) et donner le polynôme caractéristique de A.

3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que Asoit diagonalisable.

4. Montrer que le sous-espace vectoriel de E engendré parA, noté Vect(A), est inclus dansN. 5. Vérifier que^tA2 N.

6. Montrer que si un élément M de E est semblable àA, alorsM2 N.

7. Montrer que, pour toute matrice M2 E et tout entier p>0, KerM^pKerM^p+1et, qu'en cas d'égalité, pour tout q>0, KerM^p=KerM^p+q.

Exemple : déterminer le plus petit entier pvérifiant cette égalité pourM= 0

@ 0 1 1 0 2 0 0 3 0

1 A.

8. En déduire qu'une condition nécessaire et suffisante pour que M2 E soit nilpotente est que Mⁿ=On.

1

9. Montrer queA est trigonalisable dans Mn(R). Quel est le rang maximal deA ? 10. Soient B ; C2 E.

a. On suppose queB C2 N. Prouver alors queC B2 N.

b. Ici, on suppose de plus queB2 N etA B=B A. Montrer queA B2 N et queA+B2 N. 11. Déterminer l'ensemble de toutes les matrices symétriques réelles appartenant à N.

12. Dans cette questionon suppose que la matrice nilpotente A est antisymétrique.

a. Prouver queA²=On.

b. En déduire l'ensemble de toutes les matrices antisymétriques appartenant àN (on pourra utiliser la trace).

2 Exemples

Dans cette partie,M est une matrice deE.

1. Dans cette question uniquement, on prendM= (mi;j)2 E définie par : 8(i; j)2J1; nK²; mi;j=

0 siij 1 sinon

a. Déterminer les éléments propres (valeurs propres et sous-espaces propres) de la matrice M.

b. On poseS=M+^tM. A-t-onS2 N ?

Montrer queS²peut s'écrire S+ Inoù; 2Ret que si2Sp(S), alors²= +. Déterminer alors les éléments propres de la matriceS.

c. N est-il un sous-espace vectoriel deE ? 2. Dans cette question on prend n= 2.

a. On suppose queM est de rang 1.

Montrer queM²=tr(M)M. En déduire queM est diagonalisable ou nilpotente.

b. Déterminer une matrice nilpotente deM2(R)dont la diagonale n'est pas identiquement nulle.

c. En déduire l'ensemble de toutes les matrices nilpotentes de M2(R).

3 Sous-espace engendré par N

Soient

T0 le sous-espace vectoriel deE constitué des matrices de trace nulle 2

V le sous-espace de E engendré parN :V =Vect(N).

1. Déterminer la dimension de T0.

2. Prouver que N etV sont inclus dans T0. 3. Pour tout j2J2; nK, on note

Fj=E1;1+E1;j¡Ej ;1¡Ej ;j et Gj=Fj¡E1;j+Ej ;1

a. CalculerFj2. b. Montrer que Gj2V

c. SoitF la famille deE constituée desEi;javeci=/jeti; j2J1; nKet de toutes les matrices Gkpour k2J2; nK.

Montrer que la familleF est libre dansV. d. En déduire queV =T0.

4 Sous-espaces de dimension maximale contenus dans N

On note T1 le sous-espace vectoriel deE constitué des matrices triangulaires supérieures dont la dia- gonale est composée uniquement de0.

1. Déterminer la dimension de T1.

2. Montrer que toute matrice nilpotente est semblable à une matrice deT1. On pourra utiliser les résultats de la partie1.

3. Démontrer que E=Sn(R) T1.

4. Soit F un sous-espace vectoriel deE contenu dansN dont la dimension est notéed.

a. On suppose qued >ⁿ⁽ⁿ₂^¡1). Démontrer que dim(Sn(R)\F)>0. Conclure.

b. Quelle est la dimension maximale d'un sous-espace deE contenu dans N ? Donner un exemple de tel sous-espace.

5 Un peu de topologie

E est muni de sa structure d'espace vectoriel normé de dimension finie.

1. Montrer queN est une partie fermée deE. 2. Soient A2 N,2RetM=In+ A.

Montrer que det(M) = 1. En déduire que toute boule ouverte de centreAcontient au moins une matrice de rangnpuis que l'intérieur deN est vide.

3. Soit F un sous-espace de E. Montrer que si l'intérieur de F est non vide, alorsF=E. Retrouver alors le résultat de la question précédente.

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