Fonctions logarithmes népérien et décimal

Fonctions logarithmes népérien et décimal

Table des matières

I Définition . . . 1

I.1 Définitions . . . 1

I.2 Sens de variation . . . 4

II Propriétés algébriques . . . 5

II.1 Relation fonctionnelle . . . 5

II.2 Logarithme d’un quotient . . . 5

II.3 Logarithme d’un produit de nombre positifs . . . 5

II.4 Logarithme d’une puissance . . . 6

II.5 Logarithme d’une racine carrée . . . 6

III Etude de la fonction logarithme . . . 8

III.1 Limites en 0 et en+∞ . . . 8

III.2 Continuité et dérivabilité de la fonction logarithme. . . 8

III.3 Tableau de variation et représentation graphique . . . 9

III.4 Croissances comparées . . . 10

IV Logarithme d’une fonction . . . 10

V Logarithme décimal (hors-programme) . . . 11

I Définition

I.1 Définitions Rappel :

Tout nombrexdeRa uneuniqueimage par la fonction exp (comme pour toute fonction).

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel yde ]0;+∞[, il existe ununiqueréelxtel que e^x=y. (voir interprétation graphique).

x −∞ x +∞

e^x 0

✟

✟✯

✟ y

✟

✟✯

✟ +∞

Chaque réel de Ra une image unique dans ]0 ; +∞[ et réciproquement, chaque réel de ]0 ; +∞[ a un antécédent unique par cette fonction exponentielle.

On dit que la fonction exp est une bijection deRsur ]0 ;+∞[.

Sie^x=y, on dit quexest le logarithme népérien dey.

La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction définie sur ]0;+∞[ qui, à tout réelx>0, associe le nombre noté ln(x) qu’on écrit souvent lnxdont l’exponentielle vautx.

ln est donc la fonction réciproque de la fonction exp.

Définition

BtextbfAttention, on ne peut calculer le logarithme (népérien) que d’un nombrestrictement positif.

Conséquences de la définition : a) Pour tout réelx>0,e^lnx=x.

b) Pour tout réelx>0 et tout réely,e^y=x⇔y=lnx.

c) Pour tout réelx, ln(e^x)=x.

Autres conséquences :

• ln1=0. En effet,e⁰=1 et d’après (c), cela équivaut à ln1=0.

• lne=1. En effet,e¹=eet on applique (c).

• Pour tout réelλ, l’équation lnx=λa pour unique solutionx=e^λ(d’après a)).

Dans un repère orthonormal, les courbesC etC^′, représentatives des fonctions exponentielle et loga- rithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d’équationy=x.

Propriété

Démonstration :

M^′(x;y)∈C^′⇔y=lnx⇔x=e^y⇔M(y;x)∈C.

M etM^′sont symétriques par rapport à la droite d’équation y=x, donc les deux courbes également. (Voir page suivante)

O 1 1

y=x

y=lnx y=e^x

I.2 Sens de variation

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0;+∞[.

Propriété

Démonstration:aetbsont deux réels tels que 0<a<b. Cela équivaut à :e^lna<e^lnb⇔lna<lnbpuisque la fonction exponentielle est croissante.

Conséquences :

Soientaetbdeux réels de ]0;+∞[.

• lna=lnb⇔a=b.

• lna<lnb⇔a<b.

• lna<0⇔a<1.

• lna>0⇔a>1.

Exercices d’application : a) Résoudre : lnx= −5

lnx= −5⇔ x=e⁻⁵

b) Résoudre l’équation ln(3x+2)=7

On commence par résoudre l’inéquation 3x+2>0 soitx> −2 3. On obtient alors : x=e⁷−2

3 . Il reste à vérifier si la solution appartient à l’intervalle de définition.

c) Résoudre l’inéquation ln(2+x)Ê100 Ensemble de définition :x+2>0⇔x> −2.

Pourx> −2, ln(2+x)Ê100⇔e^ln(2+x)Êe¹⁰⁰⇔2+xÊe¹⁰⁰(car exp est croissante).

On en déduit :xÊe¹⁰⁰−2> −2 donc S ₌^£_e¹⁰⁰_{−2 ;+∞}^£ d) Résoudre l’équation ln(x²−9)=lnx

On doit avoir :x²−9>0 etx>0 etx²−9=x x²−9>0⇔x²>9⇔x< −3 oux>3.

Finalement, l’ensemble de définition estD_{=]3 ;+∞[.}

Pourx∈D_{, ln(x}²_{−9)=lnx⇔x}²_{−9−x=0⇔x}²_−x−9=0.

∆=37>0 ; on trouvex₁=1−p 37

2 ∉D_;x2=¹⁺ p37

2 >3 doncx₂∈D_.

S ₌

(1+p 37 2

)

II Propriétés algébriques

II.1 Relation fonctionnelle

Pour tous réelsaetbde ]0;+∞[ : lnab=lna+lnb

Théorème

Démonstration :

aetbsont deux réels strictement positifs.

On poseA=lnabetB=lna+lnb.

Alors :e^A=ab;e^B=e^lna+lnb=e^lna×e^lnb=ab=A.

II.2 Logarithme d’un quotient

Poura>0, ln µ1

a

¶

= −lna.

Propriété

Démonstration : a×1

a =1 d’où ln µ

a×1 a

¶

=0⇔lna+ln µ1

a

¶

=0 d’où : ln µ1

a

¶

= −lna.

Pour tous réelsaetbde ]0;+∞[, ln³a b

´

=lna−lnb

Propriété

Démonstration : lna

b =ln µ

a×1 b

¶

=lna+ln1

b =lna−lnb.

II.3 Logarithme d’un produit de nombre positifs

Pour tous réels strictement positifsa₁,a₂, ...,an:

ln(a1a₂...an)=lna₁+lna₂+...lnan. Autre écriture(symbolique) : ln

à n

Y

i=1

a_i

!

=

n

X

i=1

lna_i

Propriété

Démonstration :par récurrence surn:

• Initialisation: pourn=1 : ln(a₁)=ln(a₁) donc la propriété est vraie au rang 1

• Hérédité: on suppose la propriété vraie à un rangnquelconque donc : ln(a1×a₂× ··· ×a_n)=ln(a1)+ln(a2)+ ··· +ln(an).

Alors, au rangn+1 :

ln(a₁×a₂× ··· ×a_n×a_n+1)=ln(a₁×a₂× ··· ×a_n)+ln(a_n+1) (d’après le théorème ln(ab)=lna+lnb)

=[l n(a1)+ln(a2)+ ··· +ln(an)]+ln(an+1) (d’aprs l’hypothèse de récurrence) ln(a1)=ln(a1)+ ··· +ln(an+1) c.q.f.d.

La propriété est héréditaire.

D’après l’axiome de récurrence, elle est vraie pour toutnÊ1.

II.4 Logarithme d’une puissance

Pour tout réela>0 et tout entier relatifn, ln¡ aⁿ¢

=nlna.

Propriété

Démonstration :Il faut distinguer les casn>0,n=0 etn<0.

• n>0 : on applique la propriété précédente, avecntermes égaux àa.

• n=0 : immédiat

• n<0 : ln¡ aⁿ¢

=ln µ 1

a⁻ⁿ

¶

= −ln¡ a⁻ⁿ¢

= −(−n)lna=nlna.

II.5 Logarithme d’une racine carrée

Pour tout réela>0 : lnp a=1

2lna.

Propriété

Démonstration :a>0 ;¡p a¢2

=adonc ln¡p a¢2

=lna, c’est-à-dire 2 lnp

a=lnad’où l’égalité annoncée.

Exemples de calculs :

• ln6=ln(2×3)=ln2+ln3

• ln µ9

5

¶

=ln9−ln5=ln¡ 3²¢

−ln5=2 ln3−ln5

• ln³p 3´

=1 2ln3

• lne²=2 lne=2×1=2

• Plus généralement: pourn∈N^∗, ln¡ eⁿ¢

=nln(e)=n×1=n

• ln(1024)=ln¡ 2¹⁰¢

=10 ln2

Valeurs approchées utiles :on a ln2≈0,69 et ln10≈2,3.

On en déduit : ln¡ 10⁹¢

=9 ln10≈20,7 donc le logarithme népérien d’un milliard vaut environ 20,7 ; c’est pour- quoi on dit souvent que la fonction logarithme népérien croît « lentement » (même si cela n’a pas vraiment de sens, car lentement par rapport à quoi. . .? ); on précisera cela plus loin avec les croissances comparées.

Exercices :Résolution d’équations ou inéquations faisant intervenir le logarithme.

1. Résoudre l’équation : ln(x+1)+ln(2x+3)=ln(x+5) 2. Résoudre l’inéquation : ln(x²−5)Éln(x+3)

Solutions :

1. On veut résoudre l’équation : ln(x+1)+ln(2x+3)=ln(x+5)

• Il faut faire attention avec la fonction ln car elle n’est définie que sur ]0 ; +∞[, donc il y a des précau- tions à prendre. On doit avoir :

a) x+1>0⇔x> −1 b) 2x+3>0⇔x> −3

c) x+5>0⇔x> −52

L’ensemble de définition est donc D_{=]−1 ;+∞[}

Résolution :Pourx∈D_{, ln(x+1)+ln(2x+3)=ln(x+5)⇔ln[(x+1)(2x+3)]=ln(x+}5) car la somme de deux logarithmes se transforme en logarithm d’une somme.

lna=lnb⇔a=bdonc on en déduit : (x+1)(2x+3)=x+5 qui est une équation du second degré.

Cela donne, en développant et en passant tout du même côté :

2x²+3x+2x+3=x+5⇔2x²+4x−2=0⇔x²+2x−1=0 (en simplifiant par 2).

∆=8>0 ; on a deux solutions réelles : x₁=−2−p

8

2 =−2−2p 2

2 = −1−p

2∉D_{carx1< −1.}

x₂=−2+p 8

2 =−2+2p 2

2 = −1+p

2∈D_{carx2> −1.}

Conclusion: l’ensemble des solutions est S ₌ⁿ₋₁₊^p₂^o 2. On veut résoudre l’inéquation ln(x²−5)Éln(x+3).

• Ensemble de définition : on doit avoir a) x²−5>0⇔x∈]− ∞; −p

5[∪]p

5 ;+∞[ b) x+3>0⇔x> −3

On en déduitrt que l’ensemble de définition estD_{=]−3 ;−}^p_5[∪]^p_{5 ;+∞[} Résolution:

On suppose quex∈D_{; alors ln}^¡_x²₋₅^¢_{Éln(x+3)⇔x}²_−5Éx+3 (croissance de la fonction ln).

Donc on doit avoirx²−5Éx+3⇔x²−x−8É0.

C’est une inéquation de second degré :

∆=33>0 ; il y deux racines.

x₁=1−p 33

2 ≈ −2,37∈D_car−^p_{5≈ −2,36} x₂=1+p

33

2 ≈3,37∈D _car^p_5≈2,36

xdoit être entre ces deux racines, tout en appartenant à l’ensemble de définition.

Conclusion: S ₌

#1−p 33 2 ; −p

5

"

∪

#p

5 ; 1+p 33 2

#

III Etude de la fonction logarithme

III.1 Limites en 0 et en+∞

• lim

x→+∞lnx= +∞

• lim

x→0⁺lnx= −∞

Propriétés

Démonstration :

• SoitAun nombre réel quelconque. La fonction ln est croissante sur ]0;+∞[.

∀x>e^A, lnx>A. Ainsi l’intervalle [A;+∞[ contient toutes les valeurs de lnxpourxassez grand.

Cela démontre que lim

x→+∞lnx= +∞.

• Pourx>0, on poseX =1

x. Alors : lnx=ln µ1

X

¶

= −lnX

xlim→0⁺lnx= lim

X→+∞(−lnX)= −∞en appliquant le théorème sur la limite d’une fonction composée.

III.2 Continuité et dérivabilité de la fonction logarithme

La fonction ln est continue et dérivable sur ]0;+∞[.

De plus, pour tout réelx>0, ln^′(x)=1 x.

La fonction ln est donc une primitive de la fonction inverse.

Propriété

Démonstration :

On admet la continuité.

Dérivabilité :

Soitaun nombre positif et soithun nombre tel quea+h>0.

On pose :b=lnaetk=ln(a+h), donca=e^beta+h=e^k. ln(a+h)−lna

h =ln(a+h)−lna

(a+h)−a = k−b e^k−e^b. La fonction ln est continue, donc lim

h→0ln(a+h)=lna, donc : lim

h→0k=b.

La fonction exponentielle est dérivable enb, de dérivéee^b; autrement dit : lim

k→b

e^k−e^b

k−b =e^b, donc

hlim→0

ln(a+h)−lna

h = 1

e^b = 1 a.

III.3 Tableau de variation et représentation graphique On rappelle que 0 est une valeur interdite.

x 0 +∞

ln^′(x)= 1

x +

ln(x)

−∞

✒+∞

Courbe :l’axe des ordonnées est une asymptote verticale.

La courbe admet deux tangentes remarquables, enx=1 etx=e.

• Tangente en 1: y=ln^′((1)(x−1)+ln(1)⇔ y =x−1+0⇔ y=x−1 car ln^′(x)= 1

x donc ln^′(1)=1. Cette tangente passe donc par le point de coordonnées (1 ; 0) et a pour coefficient directeur 1.

• Tangente ene:y=ln^′(e)(x−e)+ln(e)⇔y−1

e(x−e)+1⇔y=x

e. Cette tangente par le point de coordonnées (e ; 1) et l’origine.

La courbe est ci-dessous.

O 1

1

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

b

y=lnx

e

Remarque: la tangente à la courbe au point de coordonnées (e ; 1) passe par l’origine.

Cette fonction logarithme népérien croît « lentement » : ln¡ 10⁹¢

=9 ln10≈20,72.

(lentement, par rapport à n’importe quelle fonction puissance, voir les croissances comparées paragraphe suivant).

III.4 Croissances comparées

a) lim

x→+∞

µlnx x

¶

=0 b) lim

x→0xlnx=0

Théorème

Démonstration

a) On poseX =lnx(doncx=e^X).

Quandxtend vers+∞,X tend aussi vers+∞.

x→+∞lim µlnx

x

¶

= lim

X→+∞

µX e^x

¶ .

D’après les croissances comparées, lim

X→+∞

µe^X X

¶

= +∞donc lim

X→+∞

µX e^x

¶

=0 d’où lim

x→+∞

µlnx x

¶

=0.

b) lim

x→+∞xlnx= lim

X→−∞Xe^X=0 d’après les formules de croissances comparées avec la fonction exponentielle.

1. lim

x→+∞

µlnx xⁿ

¶

=0 piour toutn∈N^∗. 2. lim

x→0xⁿlnx=0 pour toutn∈N^∗

Théorème

Démonstration

1. AvecX =lnx, on a lnx xⁿ = X

¡e^X¢n = X e^nX = 1

n× n X e^nX. On pose alorsY =n X.

On a successivement : lim

x→+∞

µlnx xⁿ

¶

= lim

X→+∞

µ1 n×n X

e^nX

¶

= 1 n lim

Y→+∞

µY e^Y

¶

=0 (car 1

n est une constante).

2. De même : lim

x→0xⁿlnx= lim

X→+∞

¡Xe^nX¢

= 1

n× lim

Y→+∞Ye^Y =0

IV Logarithme d’une fonction

Soituune fonction définie sur un intervalleI tel que, pour toutxdeI,u(x)>0. lnudésigne la composée ln◦u, définie surI.

Siuest une fonction définie, strictement positive et dérivable sur I, la fonction lnuest dérivable surI et (lnu)^′=u^′

u .

Propriété

Démonstration :

On applique le théorème de dérivation d’une fonction composée :

∀x∈I, (ln◦u)^′(x)=u^′(x)×ln^′(u(x))=u^′(x)× 1

u(x)=u^′(x) u(x). Exemple :f(x)=ln(x²+x+7).

V Logarithme décimal (hors-programme)

La fonction logarithme décimale est la fonction notée log, définie sur ]0;+∞[ par : logx= lnx ln10.

Définition

Remarque :log1=0 ; log10=1

Pouraetbstrictement positifs, logab=loga+logb.

Propriété

Démonstration: c’est « évident », puisque la fonction logarithme décimale est égale à la fonction logarithme népérien, à un facteur près.

Remarque :toutes les propriétés algébriques de la fonction ln sont donc vérifiées par la fonction log.

Remarque :∀n∈Z, log¡ 10ⁿ¢

=n, d’où l’utilisation de cette fonction en sciences physiques.

Applications :

1. Déterminer le nombre de chiffres de l’écriture décimale d’un nombre.

Exemple :trouver le nombre de chiffres du nombreN=2¹²³⁴⁵. On a : log(N)=log¡

2¹²³⁴⁵¢

=12 345 log2.

On trouve, à la calculatrice :E(12 345 log2)=3 716.

Donc : 3 716<logN<3 717⇒10³⁷¹⁶<N<10³⁷¹⁷. Ncomprend donc3 717 chiffres.

2. Soient deux puissances sonoresP₀etP₁; leur valeur relative en décibels vaut : XdB=10 log

µP₁ P₀

¶ . Exemples numériques :

• SiP₁=100×P₀, le rapport entre les deux puissances est de 100=10²; ce qui correspond à 20 dB;

• SiP₁=2×P₀, leur rapport est de 2≈10^0,3, ce qui correspond à 3 dB : Une puissance double correspond à 3 dB.

Exemple : le bruit généré par un lave-vaisselle varie de 45 à 60 décibels. Celui dont la puissance sonore est de 60 dB fait trente-deux fois plus de bruit que celui qui a une puissance sonore de 45 dB, puisque

60−45

3 =5 et 2⁵=32