ESISAR 3ème Année d'études
AC- AC324: Commande des systèmes linéaires (rep interne)
Département : AUTOMATIQUE
web : http://koenig-damien.jimdo.com
e-mail : damien.koenig@esisar.grenoble-inp.fr
E XAMEN F INAL AC324 – 2018
Commande des systèmes linéaires – représentation interne
1 feuille A4 R/V autorisée manuscrite. Toutes calculatrices autorisées. Durée : 1H30.
1 E
XERCICEOn considère le système continu
x Ax Bu Ed y Cx
= + +
= ɺ
Où
1 1
0 1
A −
=
−
,0 B 1
=
C = ( 1 0 )
et d est une perturbation constante inconnue On propose la structure de l’observateur identité suivante :( )
ˆ ˆ ˆ
x ɺ = Ax + Bu + L y − Cx
1.1 Déterminer la dynamique de l’erreur d’estimation e ɺ = − = x ɺ x ˆ ɺ f e d ( , ) 1.2 La paire (A, C) est-elle observable ?
1.3 Déterminer le gain L telle que la matrice A-LC est stable. On fixera les modes de la matrice A-LC autour de -2.
1.4 Pour C = ( 0 1 ) , la paire (A,C) est –elle au moins détectable ? Avec le calcul du noyau donner l’état non observable. On désire fixer les modes de la matrice A-LC autour de -4, est- ce toujours possible ?
1.5 Pour d ≠ 0 et C = ( 1 0 ) , montrer que x ˆ tend vers l’état réel x + un offset dépendant de l’amplitude de la perturbation constante.
1.6 Pour d ≠ 0, C = ( 1 0 ) et la commande u = − Kx ˆ , déterminer K tel que les modes de la matrice A-BK soient fixés à -2.
1.7 Donner la fonction de sensibilité entre y et d, on posera le système suivant :
( )
? ? ?
; ? ?
? ? ?
x x x
d y
e e e
= + =
ɺ ɺ
1.8 On propose maintenant un observateur Proportionnel Intégral (PI) pour estimer l’état x et la perturbation d, sa structure est donnée par le système d’état suivant :
( )
( )
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
p
I
x Ax Bu Ed L y Cx d L y Cx
= + + + −
= −
ɺ ɺ
Où
L
petL
I sont respectivement les gains proportionnel et intégral de l’observateur PI etd ˆ
l’estimé de d.Déterminer les dynamiques des erreurs d’estimation
e = − x x ˆ
etd ɶ = d − d ˆ
sachant que d est une perturbation constante, son modèle dynamique est simplementd ɺ = 0
? ?
e ɺ = et d ɺɶ =
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2 Mettre le système d’erreur sous la forme matricielle :
? ?
? ?
e e
d d
=
ɺ
ɺ ɶ
ɶ
où? ? ? ? ( ? ? )
? ? ? ?
p I
L L
= −
Déduire la condition d’observabilité d’un observateur PI. Conclure sur l’intérêt de cet observateur par rapport à l’observateur proportionnel.
2 P
ROBLEMEOn considère un système bille - rail, comme décrit sur la figure ci-dessous
Figure 1 : Système bille - rail
La bille de masse m est assujettie à glisser sans frottement sur un rail dont l’inclinaison θ par rapport à l’horizontale peut être modifiée par un moment τ. L’objectif final est de déterminer le moment τ, tel que la bille reste en équilibre sur le rail. On utilise une transformation non linéaire inversible τ → u
(
mr J)
ucos mgr r mr
2 θ+ θ+ 2+
=
τ ɺɺ (2-1)
pour obtenir le modèle non-linéaire suivant, beaucoup plus simples :
(
x, u)
f x u
1 0 0 0
0 x
x sin g x x
x
x x x x
4 3 2
4 1
2
4 3 2 1
=
⇔
+
= −
ɺ ɺ
ɺ ɺ ɺ
(2-2)
où x1 = r, x2=rɺ, x3 = θ, =θɺ
x4 et u est considérée comme une entrée indépendante du système.
2.1 Déterminer les positions d’équilibre du système. (1mn)
2.2 Montrer que le modèle linéarisé tangent au voisinage de r = 0, θ θ θ = 0 est : θ
u 1 0 0 0 x 0 0 0 0
1 0 0 0
0 g 0 0
0 0 1 0 x
+
= −
ɺ (2-3)
Preuve selon le développement de Taylor à l’ordre 1, vue en TP. (5mn)
Merci pour les échanges et votre écoute. Vivez passionnément l’Automatique c’est le métier de demain. Damien m
θ J
τ r
g
ξ1
ξ2
Repère absolu 0
