Deux polynˆomes de C[X] n’ayant aucune racine complexe commune sont premiers entre eux

UNIVERSIT´E JOSEPH FOURIER 2016-2017 Unit´e d’Enseignement MAT 301

Examen du mercredi 28 juin 2017 - Session 2

Dur´ee : 2h. Documents, calculatrices, t´el´ephones portables interdits.

Toute r´eponse doit ˆetre justifi´ee.

Questions de cours On rappelle que toutes les r´eponses doivent ˆetre justifi´ees.

1. Rappeler la d´efinition du p.g.c.d. de deux ´el´ements d’un anneau principal. En d´eduire (´enonc´e et preuve) le th´eor`eme de Bezout.

2. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

a. Deux polynˆomes de C[X] n’ayant aucune racine complexe commune sont premiers entre eux.

b.Deux polynˆomes de_R[X] n’ayant aucune racine r´eelle commune sont premiers entre eux.

3. Soit E un_C-espace vectoriel de dimension finie,u un endomorphisme deE etP_u(X) le polynˆome caract´eristique de u. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

a. SiP_u n’a que des racines simples, alorsu est diagonalisable.

b. Si u est diagonalisable, alorsP_u n’a que des racines simples.

Exercice 1

Soit n≥2 un entier, t un r´eel. On consid`ere la matrice A∈Mn(R) suivante :

A=















1 +t t t . . . t t 1 +t t . . . t ... t . .. . .. ... t . . . t 1 +t t

t . . . t 1 +t















1. Montrer que detA = 1 +nt.

2. Montrer que 1 est valeur propre deA de multiplicit´e g´eom´etrique sup´erieure ou ´egale

`

an−1.

3. Montrer que A est diagonalisable et d´eterminer une matrice inversible P ∈ GL_n(_R) telle queP⁻¹AP est diagonale.

4. D´eterminer le polynˆome minimal de A.

5. En d´eduire que :









3

4 −¹₄ −¹₄ −¹₄

−¹₄ ³₄ −¹₄ −¹₄

−¹₄ −¹₄ ³₄ −¹₄

−¹₄ −¹₄ −¹₄ ³₄









2017

=









3

4 −¹₄ −¹₄ −¹₄

−¹₄ ³₄ −¹₄ −¹₄

−¹₄ −¹₄ ³₄ −¹₄

−¹₄ −¹₄ −¹₄ ³₄









Exercice 2

Plusieurs questions de cet exercice peuvent ˆetre trait´ees en admettant les r´esultats des questions pr´ec´edentes.

Soit n≥1 un entier et a1, . . . , andes nombres complexes deux `a deux distincts. On pose E = {P(X) ∈<sub>C</sub>[X]| degP ≤ n−1}. On note B<sub>1</sub> = (1, X, . . . , X<sup>n−1</sup>) la base canonique de E et B<sub>2</sub> la base canonique deC<sup>n</sup>. On consid`ere l’application :

u : E →Cⁿ

P(X)7→(P(a₁), . . . , P(a_n)

1. Montrer que u est injective. En d´eduire que c’est un isomorphisme lin´eaire.

2. D´eterminer la matrice M = mat^B_B¹

2u deu dans les bases B₁ etB₂. Pour 1 ≤i≤n, on consid`ere le polynˆome :

L_i(X) =

n

Y

k=1k6=i

X−a_k a_i−a_k

.

Par exemple pour n= 3 on a :

L₁(X) = (X−a₂)(X−a₃)

(a₁−a₂)(a₁−a₃), L₂(X) = (X−a₁)(X−a₃)

(a₂−a₁)(a₂−a₃), L₃(X) = (X−a₁)(X−a₂) (a₃−a₁)(a₃−a₂). 3. Pour 1≤i, j ≤n, calculer Li(aj).

4. En d´eduire que (L₁, . . . , L_n) est une base de E.

5. Pour (b₁, . . . , b_n)∈Cⁿ, exprimer u⁻¹(b₁, . . . , b_n) en fonction de L₁, . . . , L_n.

6. Effectuer la division euclidienne deP(X) = X⁵+X³+X²−3X−2 parQ(X) = X³−1.

7. Donner la d´ecomposition deQ(X) en produit d’irr´eductibles dans_R[X] et dans _C[X].

8. On pose α = e^2iπ/3 = −1 2 +i

√3

2 . Donner, sans calcul suppl´ementaire, un polynˆome R(X)∈R[X] de degr´e 2 tel que R(1) = P(1), R(α) = P(α) et R(α) = P(α).