Université Grenoble Alpes
INSPE - UFR IM2AG M1 Master MEEF SD Parcours “Mathématiques”
Exercice 19 - Triplets Pythagoriciens
Soientx,y,zdes entiers naturels, premiers entre eux dans leur ensemble, tels quex2+y2 =z2. (1) Soit d = pgcd(x, y). Montrer que d divise z. En déduire que x, y, z sont premiers entre
eux deux à deux.
Puisque d = pgcd(x, y), on a d|x et d|y. Ceci implique que d2|x2 et d2|y2, donc d2|x2 +y2 = z2. Il suit que d|z (pour voir cette dernière implication, considérer les décompositions en facteurs premiers de d2 et z2, qui ont necessairement des exposants tous pairs).
On vient de montrer qued divise x,y etz. Mais ces trois nombres sont premiers entre eux dans leur ensemble, ce qui implique qued= 1. Donc x ety sont premiers entre eux.
Les mêmes arguments montrent que pgcd(y, z) = pgcd(x, z) = 1 : part exemple, soit d0 =pgcd(y, z), alors on a de la même manière que d0 divise x, et donc vaut necessaire- ment1.
(2) Montrer que dex ety, l’un des deux est pair et l’autre est impair. On supposera dans la suite quex est pair.
Déja, xet y ne sont pas tous les deux pairs, cars ils sont premiers entre eux.
Supposons maintenant que x et y sont tous les deux impairs : il existe des entiers k, k0 tels que x= 2k+ 1 ety = 2k0+ 1. Mais alors
x2+y2 =z2 = 4(k2+ (k0)2+k+k0) + 2,
ce qui dit quez2, et doncz est impair. Mais siz est pair, alors4divise z2, ce qui combiné avec l’égalité ci–dessus donne 4|2, une contradiction.
(3) Montrer que pgcd(z −y, z +y) = 2. En utilisant que x2 = z2 −y2 = (z −y)(z +y), montrer qu’il existe des entiers u etv tels que x= 2uv , z+y= 2u2 et z−y= 2v2.
On commence par noter que, si x est pair et y est impair, alors z est impair (car son carré est impair).
Ceci nous dit que z−y et z+y sont deux nombres pairs, soit pgcd(z −y, z+y) = 2p, avecp un entier à détermminer.
Mais on a2p|(z+y) + (z−y) = 2z, donc p|z,
et2p|(z+y)−(z−y) = 2y, doncp|y. Ceci impliquep= 1caryetz sont premeirs entre eux.
1
2
Pour montrer l’existence des entiers u et v, on commence par noter que x, z +y) et (z−y)sont trois nombres pairs, donc il existe des entiers a, b, c tels que
x= 2a , z+y= 2gb , z−y= 2c.
D’une part, on a pgcd(z+y, z−y) =pgcd(2b,2c) = 2, soit pgcd(b, c) = 1.
D’autre part,
4a2 =x2 =z2−y2 = (z−y)(z+y) = 4bc, soit a2 =bc.
Maintenant, l’idée est de considérer la fraction a
c. On peut réduire cette fraction, et xce de façon unique : autrement dit, il existe une unique couple d’entiers naturels(p, q), premiers entre eux et tels que a
c = p q. En élevant cette égalité au carré :
p2 q2 = a2
c2 = bc c2 = b
c,
ce qui par unicité de la forme irreductible d’une fraction nous donneb =p2 etc=q2. Ce couple(u, v) = (p, q) est donc le couple recherché.
(4) Inversement, montrer que si u et v sont premiers entre eux, et de parité différente, le triplet(x, y, z) =(2uv, u2−v2, u2+v2)vérifie l’égalité x2 +y2 =z2 avec y impair.
D’abord, on vérifie facilement qu’on a un triplet Pythagoricien :
x2+y2 = (2uv)2+ (u2−v2)2 =u4+v4+ 2u2v2 = (u2+v2)2 =z2. Maintenant, supposonsy pair.
Alors 2 divise u2−v2 = (u+v)(u−v), autrement dit (puique 2 est premier), 2 divise (u+v)ou(u−v). Dans les deux cas, cela est en contradiction avec le fait queu etv ont des parités différentes.
A titre de remarque, si on ne suppose pas que u et v sont de parité différente, le ré- sultat n’est pas vrai, car on ne génère pas necessairement des triplets réduits, premiers dans leur ensemble : si on prend, par exemple, u = 3 et v = 1, on génère ainsi le triplet Pythagoricien (6,8,10)...
