DM de MPSI2
Devoir non surveill´ e
Exercice 1 : Id´ eaux et sous-anneaux de Z
2SoitA un anneau commutatif,I une partie de A. On dit queI est un id´eal de AsiI est un sous-groupe de (A,+), stable par multiplication par un ´el´ement quelconque deA, i.e.:
∀(a, i)∈ A × I, ai∈ I.
1Soitx∈ A. On posexA={xa, a∈ A}. Montrer quexAest un id´eal deA.
SoitI un id´eal deA. On dit queI est principal s’il existex∈ Atel queI=xA.
2Montrer que tout id´eal deZest principal.
On travaille maintenant dans l’anneau produitZ2. 3SoitI un id´eal deZ2. On pose
I1={x∈Z,(x,0)∈ I} et I2={y∈Z,(0, y)∈ I}.
a Montrer queI =I1× I2. b En d´eduire queI est principal.
4Pour toutd∈N, on pose
Ad={(x, y)∈Z2, d|y−x}.
a Pr´eciserA0 etA1.
b Montrer que pour tout entier natureld,Ad est un sous-anneau deZ2. SoitAun sous-anneau deZ2, distinct deA0.
c Montrer que{n∈N∗,(0, n)∈A}est non vide. On note dson plus petit ´el´ement.
d Montrer queA=Ad.
