DM de MPSI2
Devoir non surveill´ e
Hom´ eomorphismes
Les intervalles consid´er´es sont d’int´erieur non vide. On rappelle que les intervalles ferm´es (d’int´erieur non vide) sont les intervalles du type [a, b], [a,+∞[, ]− ∞, a] etR, et que les intervalles ouverts (d’int´erieur non vide) sont les intervalles du type ]a, b[, ]a,+∞[, ]− ∞, a[ etR(pour certains r´eelsaetb,a < b).
SoitX etY deux parties non vides deR. Un hom´eomorphisme deX surY est une bijection continue deX surY, de r´eciproque continue. On dit queX esthom´eomorphe`aY s’il existe un hom´eomorphisme deX surY. 1Montrer queˆetre hom´eomorphe `aest une relation r´eflexive, sym´etrique et transitive sur l’ensemble des parties non vides deR.
2Que dire d’une partie deRhom´eomorphe `a un intervalle ?
3Donner un exemple de bijection continue deX surY (parties non vides deR), mais de bijection r´eciproque non continue.
4SoitI etJ deux intervalles. Montrer que sif :I→J est une bijection continue deI surJ, alorsf est un hom´eomorphisme deI surJ.
5Montrer que deux segments (non r´eduits `a un point) deRsont hom´eomorphes. Montrer que si une partie IdeRest hom´eomorphe `a un segment, alorsI est un segment.
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a Montrer que ]0,1[,R∗+,R∗− etRsont hom´eomorphes deux `a deux.
b En d´eduire que deux intervalles ouverts (non vides) sont hom´eomorphes.
7Soitaetb deux r´eels. Montrer que les intervalles [a,+∞[ et ]− ∞, b] sont hom´eomorphes.
8Montrer qu’un intervalle ferm´e non born´e n’est pas hom´eomorphe `a un segment.
9Montrer queR+ n’est pas hom´eomorphe `a R.
