TS7 DS 4 16 d´ecembre 2019 Dur´ee 120 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Exercice 1 : Restitution organis´ee des connaissances (10 minutes) (2 points) On consid`ere la fonction f d´efinie surR parf(x) = ex−x.
1. Justifier que pour tout r´eelx,f(x)>0 ; 2. En d´eduire lim
x→+∞ex
Exercice 2 : Questions classiques (10 minutes) (3 points)
1. Simplifier l’expression e×e7 e2 2. D´eterminer lim
x→+∞(2 +x)ex
3. D´eriver f d´efinie surRpar f(x) = e2x2−5
Exercice 3 : Probl`eme sur la fonction exponentielle (35 minutes) (51/2 points) La vasopressine est une hormone favorisant la r´eabsorption de l’eau par l’organisme.
Le taux de vasopressine dans le sang est consid´er´e normal s’il est inf´erieur `a 2,5 µg/mL.
Cette hormone est s´ecr´et´ee d`es que le volume sanguin diminue. En particulier, il y a production de vaso- pressine suite `a une h´emorragie.
On utilisera dans la suite la mod´elisation suivante :
f(t) = 3te−14t+ 2 avec t>0,
o`u f(t) repr´esente le taux de vasopressine (en µg/mL) dans le sang en fonction du temps t (en minute)
´
ecoul´e apr`es le d´ebut d’une h´emorragie.
1. a. Quel est le taux de vasopressine dans le sang `a l’instantt= 0 ?
b. Justifier que douze secondes apr`es une h´emorragie, le taux de vasopressine dans le sang n’est pas normal.
c. D´eterminer la limite de la fonction f en +∞. Interpr´eter ce r´esultat.
2. On admet que la fonctionf est d´erivable sur [0 ; +∞[.
V´erifier que pour tout nombre r´eel tpositif,
f0(t) = 3
4(4−t)e−14t.
3. a. Etudier le sens de variation de´ f sur l’intervalle [0 ; +∞[ et dresser le tableau de variations de la fonctionf (en incluant la limite en +∞).
b. A quel instant le taux de vasopressine est-il maximal ?`
Quel est alors ce taux ? On en donnera une valeur approch´ee `a 10−2 pr`es.
4. a. D´emontrer qu’il existe une unique valeurt0 appartenant `a [0 ; 4] telle quef(t0) = 2,5.
En donner une valeur approch´ee `a 10−3 pr`es.
On admet qu’il existe une unique valeur t1 appartenant `a [4 ; +∞[ v´erifiant f(t1) = 2,5.
On donne une valeur approch´ee de t1 `a 10−3 pr`es : t1 ≈18,930.
b. D´eterminer pendant combien de temps, chez une personne victime d’une h´emorragie, le taux de vasopressine reste sup´erieur `a 2,5µg/mL dans le sang.
TS7 DS 4 Page 2 sur 2 Exercice 4 : Probl`eme variable al´eatoire (20 minutes) (3 points) Lors d’une communication ´electronique, tout ´echange d’information se fait par l’envoi d’une suite de 0 ou de 1, appel´es bits, et cela par le biais d’un canal qui est g´en´eralement un cˆable ´electrique, des ondes radio, . . .. Une suite de 8 bits est appel´e un octet. Par exemple, 10010110 est un octet.
On se place dans le cas o`u l’on envoie, sur le canal, successivement 8 bits qui forment un octet.
On envoie un octet au hasard. On suppose la transmission de chaque bit ind´ependante de la transmission des bits pr´ec´edents. On admet que la probabilit´e qu’un bit soit mal transmis est ´egale `a 0,01.
On note X la variable al´eatoire ´egale au nombre de bits mal transmis dans l’octet lors de cette communi- cation.
1. Quelle est la loi de probabilit´e suivie par la variable al´eatoire X? Justifier.
2. D´eterminer la probabilit´e qu’exactement deux bits de l’octet soient mal transmis.
3. Que peut-on penser de l’affirmation suivante : La probabilit´e que le nombre de bits mal transmis de l’octet soit au moins ´egal `a trois est n´egligeable? Argumenter.
Exercice 5 : Probl`eme de proba (35 minutes) (51/2 points) Les deux parties 1 et 2 sont ind´ependantes.
Chaque semaine, un agriculteur propose en vente directe `a chacun de ses clients un panier de produits frais qui contient une seule bouteille de jus de fruits. Dans un esprit de d´eveloppement durable, il fait le choix de bouteilles en verre incassable et demande `a ce que chaque semaine, le client rapporte sa bouteille vide.
On suppose que le nombre de clients de l’agriculteur reste constant.
Une ´etude statistique r´ealis´ee donne les r´esultats suivants :
• `a l’issue de la premi`ere semaine, la probabilit´e qu’un client rapporte la bouteille de son panier est 0,9 ;
• si le client a rapport´e la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilit´e qu’il ram`ene la bouteille du panier la semaine suivante est 0,95 ;
• si le client n’a pas rapport´e la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilit´e qu’il ram`ene la bouteille du panier la semaine suivante est 0,2.
On choisit au hasard un client parmi la client`ele de l’agriculteur. Pour tout entier naturel n non nul, on noteRn l’´ev`enementle client rapporte la bouteille de son panier de lan-i`eme semaine.
1. a. Mod´eliser la situation ´etudi´ee pour les deux premi`eres semaines `a l’aide d’un arbre pond´er´e qui fera intervenir les ´ev`enementsR1 etR2.
b. D´eterminer la probabilit´e que le client rapporte ses bouteilles des paniers de la premi`ere et de la deuxi`eme semaine.
c. Montrer que la probabilit´e que le client rapporte la bouteille du panier de la deuxi`eme semaine est ´egale `a 0,875.
d. Sachant que le client a rapport´e la bouteille de son panier de la deuxi`eme semaine, quelle est la probabilit´e qu’il n’ait pas rapport´e la bouteille de son panier de la premi`ere semaine ?
On arrondira le r´esultat `a 10−3.
2. Pour tout entier naturel n non nul, on note rn la probabilit´e que le client rapporte la bouteille du panier de lan-i`eme semaine. On a alorsrn=p(Rn).
a. Compl´eter l’arbre pond´er´e (aucune justifica- tion n’est attendue) :
b. Justifier que pour tout entier naturel n non nul,rn+1 = 0,75rn+ 0,2.
c. D´emontrer que pour tout entier naturelnnon nul,rn= 0,1×0,75n−1+ 0,8.
d. Calculer la limite de la suite (rn). Interpr´eter le r´esultat dans le contexte de l’exercice.
R¯n
Rn+1 . . .
Rn+1
. . . . . .
Rn
Rn+1 . . .
Rn+1
. . . rn
Exercice 6 : Pour r´efl´echir (10 minutes) (1 points)
D´eterminer une primitive surRde f d´efinie par f(x) =xex
