Exercice 1
Chaque semaine, un agriculteur propose en vente directe à chacun de ses clients un panier de produits frais qui contient une seule bouteille de jus de fruits. Dans un esprit de développement durable, il fait le choix de bouteilles en verre incassable et demande à ce que chaque semaine, le client rapporte sa bouteille vide.
On suppose que le nombre de clients de l’agriculteur reste constant.
Une étude statistique réalisée donne les résultats suivants :
• à l’issue de la première semaine, la probabilité qu’un client rapporte la bouteille de son panier est0,8;
• si le client a rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu’il ramène la bouteille du panier la semaine suivante est0,9;
• si le client n’a pas rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu’il ramène la bouteille du panier la semaine suivante est0,3.
On choisit au hasard un client parmi la clientèle de l’agriculteur. Pour tout entier naturelnnon nul, on noteRn l’évènement
« le client rapporte la bouteille de son panier de lan-ième semaine ».
1. (a) Modéliser la situation étudiée pour les deux premières semaines à l’aide d’un arbre pondéré qui fera intervenir les évènementsR1 et R2.
(b) Déterminer la probabilité que le client rapporte ses bouteilles des paniers de la première et de la deuxième semaine.
(c) Déterminer la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la deuxième semaine.
(d) Sachant que le client a rapporté la bouteille de son panier de la deuxième semaine, quelle est la probabilité qu’il n’ait pas rapporté la bouteille de son panier de la première semaine ?
On arrondira le résultat à10−3.
2. Pour tout entier naturelnnon nul, on notern la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la n-ième semaine. On a alorsrn =p(Rn).
(a) Recopier et compléter l’arbre pondéré ci contre (au- cune justification n’est attendue) :
(b) Montrer que pour tout entier natureln>1, on a : rn+1= 0,6rn+ 0,3
(c) Justifier que pour tout entier naturel n non nul, rn+1= 0,6rn+ 0,3.
(d) Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, rn= 0,05×0,6n−1+ 0,75.
(e) Calculer la limite de la suite(rn). Interpréter le résul- tat dans le contexte de l’exercice.
Rn
Rn+1
Rn+1
Rn
Rn+1
Rn+1
rn
. . . . . .
. . .
. . . . . .
Exercice 2
La figure ci-contre représente un cube ABCDEFGH.
Les trois points I, J, K sont définis par les conditions suivantes :
• I est le milieu du segment [AD] ;
• J est tel que−→
AJ = 3 4
−→AE ;
• K est le milieu du segment [FG].
1. Sur la figure donnée en annexe, construire sans justifier le point d’intersection P du plan (IJK) et de la droite (EH). On laissera les traits de construction sur la figure.
2. En déduire, en justifiant, l’intersection du plan (IJK) et du plan (EFG).
A B
D C
E F
H G
I J
K
b
b b
Exercice 3
Soit la fonction f définie et dérivable sur ]0 ; +∞[telle que, pour tout nombre réelxsupérieur ou égal à 1, f(x) = 1
xln(x).
On noteC la courbe représentative def dans un repère orthonormé.
1. Étudier les limites def aux bornes de son ensemble de définition.
2. Déterminer la fonction dérivéef′ de la fonctionf sur]0 ; +∞[.
3. Dresser le tableau de variation de la fonctionf sur]0 ; +∞[.
Exercice 4
On considère la suite (un)définie paru0= 1, et pour tout entier natureln, un+1=e×√
un.
1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln, 16un 6e2. 2. (a) Démontrer que la suite(un)est croissante.
(b) En déduire la convergence de la suite (un).
3. Pour tout entier natureln, on pose
vn= ln (un)−2.
(a) Démontrer que la suite(vn)est géométrique de raison 1 2. (b) Démontrer que, pour tout entier natureln,
vn=− 1 2n−1. (c) En déduire une expression deun en fonction de l’entier natureln.
(d) Calculer la limite de la suite(un).
4. Dans cette question, on s’interroge sur le comportement de la suite(un)si l’on choisit d’autres valeurs que 1 pouru0. Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant.
Affirmation 1: « Siu0= 2 018, alors la suite(un)est croissante. »
Affirmation 2: « Siu0= 2, alors pour tout entier natureln, 16un6e2. » Affirmation 3: « La suite(un)est constante si et seulement siu0= 0. »
A B D C
E F
H G
I J
K
b
b b
Réponse de l’exercice 1
1. (a) Modéliser la situation étudiée pour les deux premières semaines à l’aide d’un arbre pondéré qui fera intervenir les évènementsR1 et R2.2 points
R1
R2
R2
R1
R2
R2
0,8
0,9 0,1
0,2
0,3 0,7
(b) Déterminer la probabilité que le client rapporte ses bouteilles des paniers de la première et de la deuxième semaine.
2 points
P(R1∩R2) =P(R1)×PR1(R2) = 0,8×0,9 = 0,72
(c) Montrer que la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la deuxième semaine est égale à0,78.
2 points
P(R2) =P(R1∩R2) +P R1∩R2
= 0,72 +P R1
×PR
1(R2) = 0,72 + 0,2×0,3 = 0,78
(d) Sachant que le client a rapporté la bouteille de son panier de la deuxième semaine, quelle est la probabilité qu’il n’ait pas rapporté la bouteille de son panier de la première semaine ?3 points
On arrondira le résultat à10−3.
PR2(R1) = P R1∩R2
P(R2) = 0,2×0,3
0,78 = 0,06
0,78 ≃0,077 à10−3près
2. Pour tout entier naturelnnon nul, on notern la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la n-ième semaine. On a alorsrn =p(Rn).
(a) Recopier et compléter l’arbre pondéré (aucune justification n’est attendue) :2 points
Rn
Rn+1
Rn+1
Rn
Rn+1
Rn+1
rn
0,9 0,1
1−rn
0,3 0,7
(b) Justifier que pour tout entier naturelnnon nul, rn+1= 0,6rn+ 0,3.3 points
rn+1=P(Rn+1) =P(Rn∩Rn+1) +P Rn∩Rn+1
=P(Rn)×PRn(Rn+1) +P Rn
×PR
n(Rn+1)
=rn×0,9 + (1−rn)×0,3 = 0,6rn+ 0,3 (c) Démontrer que pour tout entier naturelnnon nul,Pn: ”rn = 0,05×0,6n−1+ 0,75 ”.
Initialisation : 0,05×0,61−1+ 0,75 = 0,8. Or la probabilité pour que le client ramène la bouteille à l’issue de la première semaine est bienr1= 0,8.1 point
Hérédité : 3 pointsSoitn∈N∗. Supposons que l’expression dern soit0,05×0,6n−1+ 0,75. Alors :
∀n∈N∗, rn = 0,05×0,6n−1+ 0,75
(d) Calculer la limite de la suite(rn). Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
On a|0,6|<11 point donc lim
n→+∞0,6n−1= 0 et par opération sur les limites on a lim
n→+∞rn= 0,751 point. On en déduit qu’avec le temps, la proportion de client rendant la bouteille se stabilise à 0,75.1 point
Réponse de l’exercice 2 .
1. Construction du point P, intersection du plan (IJK) et de la droite (EH) : voir figure.
2. • 1 pointLe point P est le point d’intersection du plan (IJK) et de la droite (EH) ; le point H appartient au plan (EFG) donc la droite (EH) est contenue dans le plan (EFG).
On en déduit queP∈(IJK)∩(EFG).
• Le point K appartient au plan (IJK) et à la droite (FG) qui est contenue dans le plan (EFG).2 points On en déduit queK∈(IJK)∩(EFG).
• Les plans (IJK) et (EFG) ne sont pas parallèles donc leur intersection est une droite. Les deux points P et K appartiennent à l’intersection des deux plans donc l’intersection des deux plans (IJK) et (EFG) est la droite (PK).
A B
E F
G H
D C I J
K
P
N
Réponse de l’exercice 3 Soit
la fonction f définie et dérivable sur]0; +∞[parf(x) = 1 xln(x).
On noteC la courbe représentative def dans un repère orthonormé.
1. 1 pointD’après le cours, lim
x→+∞
ln(x)
x = 0donc lim
x→+∞f(x) = 0
Remarque :La courbe représentative admet la droite d’équationy= 0(l’axe des abscisses) comme asymptote horizontale en+∞.
On a : lim
x7→0lnx=−∞et lim
x7→0+
1
x = +∞. Par produit sur les limites lim
x7→0
lnx
x =−∞.2 points
Remarque :La courbe représentative admet la droite d’équationx= 0(l’axe des ordonnées) comme asymptote verticale en0.
2. La fonctionf est dérivable sur]0 ; +∞[comme quotient de fonctions dérivables sur]0 ; +∞[ :
f′(x) = 1
x×x−ln(x)×1
x2 = 1−ln(x)
x2 2 points 3. Orx2>01 pointsur]0 ; +∞[. Doncf′(x)est du signe de1−lnx:
1−lnx >0↔1>lnx↔e> x 1 point 1 point
x 0 e +∞
f′(x) + 0 -
−∞
1 e
0 f(x)
Réponse de l’exercice 4 On
considère la suite (un)définie paru0= 1, et pour tout entier natureln, un+1=e×√
un. 1. 4 points
• Initialisation :u0= 1, donc16u06e2. L’encadrement est vrai au rang0.
• Hérédité : supposons que pour n∈N, on ait :
16un6e2, on a donc par croissance de la fonction√ , √ 16√
un 6e ou encore16√
un6e, puis par produit par e :
e6e×√
un 6e×e eta fortiori 16un+16e2. L’encadrement est héréditaire.
On a montré que l’encadrement est vrai au rang0et que s’il est vrai au rangnquelconque il est vrai au rang n+ 1; d’après le principe de la récurrence on a montré que pour tout natureln, 16un6e2.
2. (a) 3 pointsQuel que soit le natureln, un+1−un=e√
un−un=√
un(e−√ un).
Or on a d’une part √
un > 0, et on a vu dans la question précédente que √
un < e ⇐⇒ e−√
un > 0 donc finalement√
un(e−√
un)>0ou encoreun+1−un>0 ⇐⇒ un+1>un : la suite(un)est croissante.
(b) 2 pointsLa suite(un)est croissante et majorée par e2elle est donc convergente vers une limite ℓ6e2. 3. Pour tout entier natureln, on pose
vn= ln (un)−2.
(a) Pour tout entier naturel n, vn+1 = ln (un+1)−2 = ln (e×√un)−2 = lne+ ln√un−2 = 1−2 + 1
2lnun = 1
2lnun−1 = 1
2(lnun−2) = 1
2vn. 3 points L’égalitévn+1 = 1
2vn montre que la suite (vn) est géométrique de raison 1
2 de premier termev0 = lnu0−2 = 0−2 =−2.1 point
(b) 2 pointsOn sait que pour tout natureln, vn=v0×
1
2 n
=−2
1
2 n
.
(c) Orvn = ln (un)−2 ⇐⇒ ln (un) =vn+ 2 = 2−2 1
2 n
⇐⇒ un =e
2−2 1 2
!n
.2 points (d) Comme −1< 1
2 <11 point, on sait que lim
n→+∞
1
2 n
= 0, donc lim
n→+∞2−2
1
2 n
= 2 et enfin lim
n→+∞un=e2. 1 point
justifiant.
Affirmation 11 point: « Siu0= 2 018, alors la suite(un)est croissante. » On au1=e×√
2 018≈122; u2=e×√
u1≈30; u3=e×√
u2≈15L’affirmation n’est pas vraie.
Affirmation 22 points: « Siu0= 2, alors pour tout entier natureln, 16un6e2. »
L’affirmation est vraie car l’initialisation de la récurrence est encore valable : 1 6 u0 6 e2, donc l’encadrement est encore vrai.
Affirmation 32 points: « La suite(un)est constante si et seulement siu0= 0. » La suite(un) est constante si et seulement si quel que soit n, un+1 = un ⇐⇒ e×√
un = un ⇐⇒ e×√ un =
√un×√
un ⇐⇒ e=√
un ⇐⇒ un=e2. L’affirmation est fausse.
