D10300. L’anse de panier
L’anse de panier est une courbeABA0 analogue à la demi-ellipse ayantAA0 comme grand axe etOB comme demi-petit axe. On donneO, A, A0, B. Je trace l’anse de panier avec trois arcs de cercle, AM (centré en P sur OA), M M0 (centré en Q sur le prolongement de BO),M0A0 (centré en P0 surOA0), se raccordant tangentiellement enM etM0.
a) Quel est le lieu deM?
b) Construire le point de ce lieu qui appartient aussi au quart d’ellipseAB ayantOA etOB comme demi-axes.
Solution
a) Dans les triangles isocèles P AM etQM B, on a
(M P, M A) =π/2−(P A, P M)/2 et (M B, M Q) =π/2−(QM, QB)/2. Par la condition de contact enM les pointsM P Qsont alignés, d’où par addition (M B, M A) =π−(P A, QB)/2 = 3π/4. Le lieu deM est l’arc capable d’où l’on voit le segmentAB sous l’angle 3π/4.
L’arc capable appartient au cercle (C) circonscrit à un carré de côté AB. On le construit à partir du cercle de diamètreAB, le milieu du demi-cercle contenantO est le centre de l’arc capable. Une foisM choisi sur cet arc, P etQse construisent par les médiatrices deM A etM B.
b) Le faisceau de coniques défini par l’ellipse et (C), d’équation
x2 +y2 −(a−b)(x−y)−ab = 0, comporte une conique dégénérée en la droite AB et la droite d’équation x/a−y/b= (a−b)/(a+b). Celle-ci est parallèle àOK, siKest le 4e sommet du rectangleAOBK; son intersection avec AB est sur la bissectrice intérieure de l’angleAKB. Le point cherché commun à l’arc capable et à l’ellipse est sur cette droite, ce qui fournit la construction demandée.
Remarque.
Patrick Gordon note que l’extrémité de l’arc capable côté B s’éloigne de OA, d’où une inversion de courbure de l’anse de panier quandM est proche de B.
Cette observation est parfaitement exacte. AvecOA > OB, l’angle OBA >
45°, et la tangente enB à l’arc capable fait un angle de 45° avec BA, d’où un angle obtus avec BO.
Quand P A = OB, l’arc M BM0 est alors un segment de droite parallèle à AOA0.Qest envoyé à l’infini, et quandP A > OB,Qréapparaît surOB au- delà deB; l’arc M BM0 est alors au-dessus de B. En effet, Qest centre du cercle passant parP,P0, et le point deBOsitué à la distanceP Aau-dessous de B. QuandP A=P B, alors QetM viennent enB.
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