DS 4 du 19 décembre.

DS 4 du 19 décembre.

Exercice 1

On définie la suite(ωn)définie à valeur dansCpar :

( ω0= 0 ωn+1= i

2ωn+ 1 1. Déterminer les valeurs deω1,ω2 etω3.

2. Résoudre l’équationz= i 2z+ 1 3. On poseWn=ωn−4

5 −2 5i (a) Montrer queWn+1= i

2Wn

(b) Montrer par récurrence que :

∀n∈N, Wn= i

2 n

−4 5 −2

5i

(c) En déduire l’expression deωn en fonction den.

4. On noteα_n=|W_n|.

(a) Montrer queα_n =

√5 5×2ⁿ⁻¹ (b) En déduire la limite deαn.

(c) Si l’on noteMn les points d’affixesωn etM le point d’affixe 4 5+2

5i. Comment interpréter le résultat précédent.

Exercice 2

Chaque semaine, un agriculteur propose en vente directe à chacun de ses clients un panier de produits frais qui contient une seule bouteille de jus de fruits. Dans un esprit de développement durable, il fait le choix de bouteilles en verre incassable et demande à ce que chaque semaine, le client rapporte sa bouteille vide.

On suppose que le nombre de clients de l’agriculteur reste constant.

Une étude statistique réalisée donne les résultats suivants :

— à l’issue de la première semaine, la probabilité qu’un client rapporte la bouteille de son panier est 0,9;

— si le client a rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu’il ramène la bouteille du panier la semaine suivante est0,95;

— si le client n’a pas rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu’il ramène la bouteille du panier la semaine suivante est0,2.

On choisit au hasard un client parmi la clientèle de l’agriculteur. Pour tout entier naturelnnon nul, on noteRn l’évènement

« le client rapporte la bouteille de son panier de lan-ième semaine ».

1. (a) Modéliser la situation étudiée pour les deux premières semaines à l’aide d’un arbre pondéré qui fera intervenir les évènementsR1 et R2.

(b) Déterminer la probabilité que le client rapporte ses bouteilles des paniers de la première et de la deuxième semaine.

(c) Montrer que la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la deuxième semaine est égale à0,875.

(d) Sachant que le client a rapporté la bouteille de son panier de la deuxième semaine, quelle est la probabilité qu’il n’ait pas rapporté la bouteille de son panier de la première semaine ?

On arrondira le résultat à10⁻³.

2. Pour tout entier naturelnnon nul, on noter_n la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la n-ième semaine. On a alorsr_n =p(R_n).

(a) Recopier et compléter l’arbre pondéré (aucune justification n’est attendue) :

(b) Justifier que pour tout entier naturelnnon nul,rn+1= 0,75rn+ 0,2.

(c) Démontrer que pour tout entier naturelnnon nul,rn= 0,1×0,75ⁿ⁻¹+ 0,8.

(d) Calculer la limite de la suite(rn). Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

Exercice 3

Soitf la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 4] par

f(x) = 2 + 3x 4 +x . Partie A

On considère la suite(u_n)définie par :

u0= 3et pour tout entier naturel n, un+1=f(un). On admet que cette suite est bien définie.

1. Calculeru1.

2. Montrer que la fonctionf est croissante sur l’intervalle [0 ; 4].

3. Montrer que pour tout entier natureln,

16un+16un63.

4. (a) Montrer que la suite(un)est convergente.

(b) On appelle `la limite de la suite(un); montrer l’égalité :

`= 2 + 3`

4 +` .

(c) Déterminer la valeur de la limite`.

Partie B

On considère la suite(vn)définie par :

v0= 0,1et pour tout entier naturel n, vn+1=f(vn).

1. On donne enAnnexe, à rendre avec la copie, la courbe représentative,Cf, de la fonctionf et la droiteDd’équation y=x.

Placer sur l’axe des abscisses par construction géométrique les termesv1, v2 et v3 sur l’annexe, à rendre avec la copie.

Quelle conjecture peut-on formuler sur le sens de variation et le comportement de la suite (vn) quand n tend vers l’infini ?

2. (a) Montrer que pour tout entier natureln,

1−v_n+1= 2

4 +vn

(1−v_n).

(b) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 061−vn6

1 2

ⁿ . 3. La suite(v_n)converge-t-elle ? Si oui, préciser sa limite.

- 6

−2 −1 0 1 2 1

2 3 4

1 2

−1

−2

1 2 3 4

Réponse de l’exercice 1 1. ω1= 1,ω2= i

2 + 1et ω3= i 2

i 2+ 1

+ 1 = i 2 +3

4 etω4= i 2

i 2+3

4

+ 1 = 3i 8 +3

4 2. z= i

2z+ 1⇔

1− i 2

z= 1⇔z= 1 1− i

2

=1 + ₂ⁱ 1 + ¹₄ = 4

5

1 + i 2

3. (a) W_n+1=ω_n+1−4 5−2

5i= i

2ω_n+ 1−4 5−2

5i= i 2

W_n+4

5 +2 5i

+1

5 −2 5i= i

2W_n+2 5i−1

5 +1 5−2

5i= i 2W_n (b) On posePn: Wn=−

i 2

ⁿ

−4 5−2

5i

(pourn∈N. Initialisation : W0=ω0−4

5−2 5i=−4

5−2 5iet

i 2

⁰

−4 5−2

5i

=−4 5−2

5i. DoncP0 est vrai.

Hérédité : Soitn∈N. SupposonsPn vrai. Alors : W_n+1= i

2W_n= i 2

i 2

ⁿ

−4 5 −2

5i

= i

2 ⁿ⁺¹

−4 5 −2

5i

Donc on a montrer par récurrence que

∀n∈N, Wn= i

2 n

−4 5 −2

5i

(c) On a doncωn=Wn+4 5 +2

5i= i

2 n

−4 5 −2

5i

+4 5 +2

5i 4. (a) αn =|Wn|=

i 2

ⁿ

−4 5 −2

5i

=

i 2

ⁿ

−4 5−2

5i

= i 2

n

×

√20

5 = 1

2 n

×2√ 5 5 =

√5

5×2ⁿ⁻¹ (b) Puisque2>1, on a lim

n7→+∞2ⁿ⁻¹= +∞. Donc lim

n7→+∞αn= lim

n7→+∞

√5

5×2ⁿ⁻¹ = 0 (c) On aM M_n =

ω_n−4 5 −2

5i

= Wn

=α_n. Donc le résultat précédent signifie que la longueurM M_n tend vers0.

Donc les pointsM_n se "rapproche" du pointM quandntend vers+∞.

Réponse de l’exercice 2

1. (a) Modéliser la situation étudiée pour les deux premières semaines à l’aide d’un arbre pondéré qui fera intervenir les évènementsR1 et R2.

(b) Déterminer la probabilité que le client rapporte ses bouteilles des paniers de la première et de la deuxième semaine.

P(R₁∩R₂) =P(R₁)×P_R1(R₂) = 0,9×0,95 = 0,855

(c) Montrer que la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la deuxième semaine est égale à0,875.

P(R2) =P(R1∩R2) +P R1∩R2

= 0,855 +P R1

×P_R

1(R2) = 0,855 + 0,1×0,2 = 0,875

(d) Sachant que le client a rapporté la bouteille de son panier de la deuxième semaine, quelle est la probabilité qu’il n’ait pas rapporté la bouteille de son panier de la première semaine ?

On arrondira le résultat à10⁻³.

PR₂(R1) =P_R

1(R2)

P(R2) = 0,02

0,875 '0,023 à 10⁻³ près

2. Pour tout entier naturelnnon nul, on notern la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la n-ième semaine. On a alorsr_n =p(R_n).

(a) Recopier et compléter l’arbre pondéré (aucune justification n’est attendue) :

(b) Justifier que pour tout entier naturelnnon nul,r_n+1= 0,75r_n+ 0,2.

r_n+1=P(R_n+1) =P(R_n∩R_n+1) +P R_n∩R_n+1

=P(Rn)×PR_n(Rn+1) +P Rn

×P_R

n(Rn+1)

=r_n×0,95 + (1−r_n)×0,2 = 0,75r_n+ 0,2

(c) Démontrer que pour tout entier naturelnnon nul,P_n: ”r_n= 0,1×0,75ⁿ⁻¹+ 0,8 ”.

Initialisation : 0,1×0,75¹⁻¹+ 0,8 = 0,9. Or la probabilité pour que le client ramène la bouteille à l’issue de la première semaine est bienr₁= 0,9.

Hérédité : Soitn∈N^∗. Supposons que l’expression der_n soit 0,1×0,75ⁿ⁻¹+ 0,8. Alors :

r_n+1= 0,75r_n+ 0,2 = 0,75 0,1×0,75ⁿ⁻¹+ 0,8

+ 0,2 = 0,1×0,75ⁿ+ 0,75×0,8 + 0,2 = 0,1×0,75ⁿ+ 0,8 On a donc montrer par récurrence que :

∀n∈N^∗, rn = 0,1×0,75ⁿ⁻¹+ 0,8

(d) Calculer la limite de la suite(r_n). Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

On a |0,75| < 1 donc lim

n→+∞0,75ⁿ⁻¹ = 0 et par opération sur les limites on a lim

n→+∞r_n = 0,8. On en déduit qu’avec le temps, la proportion de client rendant la bouteille se stabilise à 0,8.

Réponse de l’exercice 3 f(x) = 2 + 3x

4 +x . Partie A

1. u₁=f(u₀) =2 + 9 4 + 3 = 11

7 .

2. La fonctionf est définie et dérivable sur [0 ; 4] et sur cet intervalle : f⁰(x) = 3(4 +x)−1(2 + 3x)

(4 +x)² = 12 + 3x−2−3x

(4 +x)² = 10 (4 +x)²

Quotient de nombres positifs ce nombre dérivé est positif quel que soitxdans l’intervalle [0 ; 4]. La fonctionf est donc croissante sur [0 ; 4].

3. Démonstration par récurrence : Initialisation

On a d’après la première question :16u16u063 : l’encadrement est vrai au rang0; Hérédité

Supposons que pourn∈N, 16un+16un63; par croissance de la fonctionf sur [0 ; 4], on f(1)6f(un+1)6f(un)6f(3)ou carf(1) = 5

5 = 1et f(3) = 11 7 63, 16u_n+26u_n+163: la relation est donc vraie au rang n+ 1.

Conclusion : l’encadrement est vrai au rang0et s’il est vrai à un rang quelconquenil est vrai au rang suivantn+ 1: d’après le principe de récurrence pour tout natureln, 16un+16un 63.

4. (a) D’après la question précédente la suite (un)est décroissante, minorée par 1 : elle converge donc vers une limite

`>1.

(b) On appelle `la limite de la suite(un); montrer l’égalité :

`= 2 + 3`

4 +` .

(c) De l’égalitéu_n+1=f(u_n) = 2 + 3u_n 4 +un

on en déduit par continuité de la fonctionf (puisquef est dérivable) :

`= 2 + 3`

4 +` . On en dédit que`(4 +`) = 2 + 3` ⇐⇒ `+`−2 = 0.

Or∆ = 1 + 4×2 = 9 = 3². Il y a deux solutions :

`1=−1−3

2 =−2et`2=−1 + 3 2 = 1.

Comme`∈[1 ; 3], la seule solution est`₂= 1.

Partie B

On considère la suite(vn)définie par :

v0= 0,1et pour tout entier naturel n, vn+1=f(vn). 1. Voir à la fin l’annexe. l’annexe, à rendre avec la copie.

On peut conjecturer que la suite(v_n)est croissante et qu’elle a pour limite 1.

2. (a) 1−v_n+1= 1−2 + 3v_n 4 +vn

= 4 +v_n−2−3v_n 4 +vn

= 2−2v_n 4 +vn

= 2

4 +vn

(1−v_n).

(b) Initialisation pourn= 0, 1−v₀= 0,9; or 1

2 ⁰

= 1.

On a bien061−v₀6 1

2 ⁰

.

Hérédité Supposons qu’au rangn∈Nquelconque, on ait1−vn6 1

2 ⁿ

. On a1−vn+1 = 2

4 +v_n(1−vn), donc d’après l’hypothèse de récurrence : 1−vn+16 2

4 +v_n × 1

2 ⁿ

. Or 0 6 1−vn 6

1 2

n

⇐⇒ vn > 1− 1

2 n

> 0; il suit que 4 +vn > 4, donc en prenant les inverses 06 1

4 +v_n 6 1 4.

On a donc061−v_n+162×1 4

1 2

ⁿ

, soit finalement : 061−vn+16

1 2

ⁿ⁺¹

: l’encadrement est vrai au rangn+ 1.

L’encadrement est vrai au rang0et s’il est vrai à un rangnquelconque il est vrai au rangn+ 1: d’après le principe de récurrence :

quel que soit le natureln, 061−v_n6 1

2 ⁿ

. 3. Comme0< 1

2 <1, on sait que lim

n→+∞

1 2

n

= 0, donc l’encadrement trouvé à la question précédente montre que la la limite de1−v_n= 0, donc :

n→+∞lim vn = 1.