L’int´erieur de E est l’ouvert {(x, y

Universit´e Pierre et Marie Curie – Paris 6 Corrig´e seconde session

LM216 Juin 2010

1. La fonction u 7→ulnu a le mˆeme signe que u7→lnu sur ]0,+∞[ : elle est n´egative sur ]0,1[ et positive sur ]1 +∞[ et nulle en 1. De plus sa limite en +∞vaut +∞et sa limite en 0 vaut 0. Elle d´ecroˆıt strictement entre 0 et ¹_e et croˆıt strictement entre ¹_e et +∞.

2. L’int´erieur de E est l’ouvert {(x, y) ; x >0, y >0, x+y <2a}, l’adh´erence est le ferm´e {(x, y) ; x ≥ 0, y ≥ 0, x+y ≤ 2a}. L’ensemble E est un triangle de sommets (0,0), (0,2a) et (2a,0). Il est born´e puisque contenu dans la boule B(0,2a).

3. La fonction u 7→ lnu est C^∞ sur ]0,+∞[. Par produit avec u qui est aussi C^∞, et par addition, on trouve que f est C^∞ sur {(x, y) ; x > 0, y > 0} et donc en particulier sur E.

4. (a) Comme u 7→ ulnu se prolonge continˆument par la valeur 0 en u = 0, on peut prolonger f par continuit´e sur ¯E en posant f(x,0) = xlnx, f(0, y) = ylny et f(0,0) = 0.

(b) C’est un r´esultat du cours : comme ¯E est compact, son image parf est compacte, ce qui montre quef est born´ee et qu’elle admet un maximum et un minimum global sur ¯E.

5. (a) Le gradient de f est donn´e par ∇f(x, y) = (lnx+ 1,lny+ 1) et s’annule donc uniquement au point ¹_e,¹_e

. Ce point appartient `aE si et seulement sia > ¹_e, donc f admet un point critique dans E si et seulement si a > ¹_e.

(b) La hessienne de f est une matrice diagonale de valeurs propres ¹_x et ¹_y. Au point

1 e,¹_e

ces valeurs propres sont strictement postives, il s’agit donc d’un minimum local. D’apr`es l’´etude de la fonction u7→ulnu, on voit d’autre part que f(x, y)≥ f ¹_e,¹_e

quels que soientx, y ≥0, il s’agit donc d’un minimum global.

(c) Sia≤ ¹_e,f n’a pas de point critique dansE. Si le minimum global def sur ¯E ´etait atteint en un point de ˚E, ce serait un point critique. Par cons´equent, le minimum global est atteint sur la fronti`ere de E.

6. (a) Si le maximum global de f sur ¯E ´etait atteint sur ˚E, f aurait un point critique, or on a vu qu’un tel point, s’il existe, r´ealise toujours un minimum local et pas un maximum local. Par cons´equent, le maximum est atteint sur la fronti`ere deE.

(b) Si a < ¹₂, on remarque que 0 ≤ x < 1 et 0 ≤ y < 1 pour tout x, y ∈ E. Par¯ cons´equent f(x, y) ≤ 0 sur ¯E. On voit aussi que si 0 ≤ x < 1 et 0 ≤ y < 1 on ne peut avoir f(x, y) = 0 qu’aux points (0,0). Par cons´equent le seul point o`u le maximum est atteint est (0,0).

7. La fonctionf est continue sur le ferm´e ¯Eet par cons´equent elle est int´egrable. On calcule par Fubini

Z Z

E

xlnx dx dy = Z 1

0

Z 2a−x

0

xlnx dy

dx

= Z 1

0

(2axlnx−x²lnx) dx

=

ax²lnx− ax² 2 − x³

3 lnx+ x³ 9

1

0

= 1 9 − a

2.

Par sym´etrie, on obtient I = 2 9 −a.

8. (a) Sur le segment horizontal H, la quantit´e γ_y⁰(t) = 0 est nulle quel que soit le choix du param´etrage puisque γy(t) = 0 ety²logy− ^y₂² = 0. Par cons´equent

Z

H

x²lnx−x² 2

dy=

Z

H

y²lny− y² 2

dx= 0.

On a de mˆeme le r´esultat pour le segment vertical V.

(b) Si on oriente Γ =∂Edans le sens direct, la formule de Green-Riemann nous indique que

Z

Γ

x²lnx− x² 2

dy−

Z

Γ

y²lny−y² 2

dx=

Z Z

E¯

2f(x, y) dx dy= 2I.

Comme les int´egrales sont nulles surH etV, les int´egrales sur Γ sont ´egales `a celles surS orient´e de (2a,0) vers (0,2a) et on a donc

Z

S

x²lnx− x² 2

dy−

Z

S

y²lny− y² 2

dx= 2I.

9. Par Fubini, on peut ´ecrire Z Z Z

G

(xlnx+ylny) dx dy dz = Z 1

0

Z

Ez

(xlnx+ylny) dx dy

dz,

avec E_z := {(x, y) ∈ R² | x ≥ 0, y ≥ 0, x+y ≤ 1−z}. En utilisant le r´esultat de la question 7 pour 2a= 1−z, on trouve ainsi

Z Z Z

G

(xlnx+ylny) dx dy dz = Z 1

0

2

9 −(1−z)

dz =− 5 18.