Optique Physique D>>x±a

Année universitaire 2019-2020 SMP4 – M22

Optique Physique

Série 4

Exercice 1

Un dispositif de deux fentes d’Young S1 et S2 séparées de 2a = 2 mm est éclairé par une source S. La source est placée au foyer d’une lentille convergente. On observe les phénomènes d’interférence sur un écran placé à la distance D = 2 m des fentes.

A./ S est monochromatique de longueur d’onde λ0 = 0,55 mm.

A.1/ Sans lame

1./ En se plaçant dans l’approximation D >> x ± a , déterminer l’expression de la différence de marche δ(x) en un point M de l’écran.

2./ Quelle est la valeur de l’interfrange i ; en déduire la position x9 de la frange brillante d’ordre 9 ?

3./ Donner l’expression de l’intensité lumineuse I(f0) au point M en fonction de la fréquence f0. Quelle forme ont les franges d’interférence sur l’écran ?

A.2./ On place devant la fente S2 une lame de verre d'épaisseur e = 10 mm et d'indice de réfraction n(λ0) = 1,5.

1./ Calculer la position de la frange centrale. De combien d'interfranges et dans quel sens s'est- elle déplacée ?

2./ La frange centrale est-elle facile à repérer sur l’écran ? Justifier votre réponse.

S₁

S₂

D L

S O

M x

e 2a

B./ La source S émet une raie lumineuse de largeur spectrale Δλ = λ1 - λ2 > 0. On suppose que l'intensité lumineuse est uniforme sur toute la largeur de la raie.

B.1/ Sans lame

L'intensité due à un élément de fréquence f et de largeur df est : dIB = A.I(f)df, avec A = 1

f₂- f₁ = 1 Δf .

1./ Calculer l'intensité lumineuse IB ; on posera : _f0 = (f₁ + f₂) 2.

2./ En comparant IB à I(f0), montrer que le facteur de visibilité V s’écrit sous la forme V =sin(u)

u . Expliciter l’expression de u. Montrer que pourΔf = 0, on retrouve le résultat relatif à une onde monochromatique.

3./ On suppose que les franges sont visibles avec un contraste suffisant si u ≤π/ 2. Discuter cette inégalité en termes de δ(x). Calculer x si Δλ = 0,03 µm.

B.2/ La lame de verre est à nouveau placée devant S2.L'indice du verre varie avec la longueur d'onde dans le vide selon la loi de Cauchy : _n(λ) = A + B λ² avec A = 1,49 et B = 0,006 mm². Une frange achromatique est définie par la condition suivante dδ

dλ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟_λ

0

= 0. p = δ

λ est l’état (ou ordre) d’interférence en un point du champ d’interférence.

1./ Montrer que cette condition implique que dδ dλ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟_λ

0

= δ

λ₀ = p_a.

2./ Calculer la quantité pa et la position xa de la frange achromatique. Que représente pa ? Conclure quant à l'intérêt d'utiliser une source de lumière blanche.

Exercice 2

Un miroir plan M est éclairé par une source S ponctuelle monochromatique de longueur d’onde λ= 0, 6 µm. On observe les phénomènes d’interférences sur un écran E comme l’indique la figure. On considère que les deux rayons qui interfèrent ont la même intensité I0.

x

S

O P

M H

1.a./ Expliquer pourquoi ce dispositif permet d’observer des interférences sur l’écran. Faire une figure mettant en évidence les limites du champ d’interférences.

b./ En se plaçant dans l’approximation D >> x ± a , calculer la différence de marche δ(x,a) en un point P de l’écran. En déduire le déphasage. Donner l’expression de l’intensité lumineuse I(x,a) au point P.

c./ Déterminer la position xm de la frange brillante d’ordre m. Calculer x1, l’interfrange i et le contraste des franges défini par C = I_max- I_min

I_max+ I_min . Interpréter ce résultat.

2./ On remplace la source ponctuelle S par une source étendue de largeur h centrée en S (voir figure).

 

a./ Pour un point source Sy, tel que SyH = y, donner l’expression de la différence de marche δ(x, y) et celle de l’intensité I(x,y).

Sachant qu’une source élémentaire de largeur _{dy (dy}∈h) crée au point P un élément d’intensité tel que : dI(x) = I(x, y)dy. Calculer l’intensité totale I(x)de la source étendue en un point P de l’écran.

b./ On considère que la largeur de la source que l’on peut tolérer est celle qui permet d’observer au moins un interfrange entre le maximum principal et le premier 0 de la courbe de visibilité.

Quel doit être donc la largeur maximale de la source ?

c./ Discuter de manière générale le cas où le miroir est collé au point O contre l’écran.

Exercice 3

On considère un interféromètre de Michelson. La source ponctuelle, monochromatique S émet une radiation de longueur d’onde λ. M1 et M2 sont deux miroirs plans; M1 est perpendiculaire à l’axe et M2 lui est parallèle. Le miroir M2 est monté sur un chariot lui permettant un déplacement parallèle à lui-même. La position du chariot est repérée par son abscisse x. Les centres des miroirs sont notés O1 et O2. Lorsque OO1 = OO2, x est noté xo. Sp est une lame séparatrice semi- transparente inclinée à 45° par rapport aux normales aux miroirs.

A la sortie de l’interféromètre, on dispose une lentille convergente L et on enregistre l’intensité lumineuse grâce à un détecteur placé au foyer F^' de la lentille, un détecteur dont l’entrée est limitée par un diaphragme de très petite dimension.

y

S

H h

S_y

a y

1./ Montrer directement sur la figure que tout se passe comme si on avait au voisinage de M1 une lame d’air, à faces planes parallèles, d’épaisseur e, (M^'₂est l’image de M2 par rapport à Sp).

2./ Montrer que les franges d’interférences obtenues sur l’écran E sont des anneaux.

3./ Calculer l’intensité I sur cet écran en fonction de la distance r à l’axe de L.

4./ Calculer les rayons des anneaux brillants.

5./ On part de x = xo (I l'intensité en F^' est alors maximale) et on augmente progressivement x ; l’intensité lumineuse en F^' passe alors par des maximas et des minimas. La valeur x correspondant à l’épaisseur nulle est xo = 30,255 mm. En déplaçant le chariot jusqu’à x1 = 30,803 mm, on voit apparaitre successivement 2000 maximas lumineux en F^', extrémités comprises. En déduire la longueur d’onde de la source S.

M2

Sp

S

M1

O O1

O2

x

F'

L

1, 5 0,

5

0, 5

1 1

0, 5 Corrigé

Exercice 2. (Examen SMP4 2008).

a. Le faisceau réfléchi semble provenir de S’, image virtuelle de S. Les interférences s'observent dans la partie commune au faisceau réfléchi et au faisceau incident non réfléchi. S et S’ sont alors les deux sources synchrones (même source) et cohérentes interférant entre elles.

b. La réflexion en M introduit une différence de marche supplémentaire ⁰ 2

λ _{. Soit} S’

l’image virtuelle de S par rapport au miroir, alors :

0 0 0

2 1

2 ' 2 2

SM MP SP λ S P SP λ r r λ

δ = + − + = − + = − + .

Différence de marche : r1 = SM =⎡⎣

(

x a−

)

²+D²⎤⎦^{1 2}

uuur et r2 = S M' =⎡⎣

(

x a+

)

²+D²⎤⎦^{1 2} uuuuur

En factorisant D, et comme D>> ±x a

2 2

1 2 2 2

2

x ax a r D

D D D

= − +

1/2

⎛ 1⎞

⎜ + ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠ et

2 2

2 2 2 2

2

x ax a r D

D D D

= + +

1/2

⎛ 1⎞

⎜ + ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

Les développements limités au 1^er ordre conduisent à :

2

1 2 2 1

2

x ax r D

D D

⎛ ⎞

≅ ⎜ − + ⎟

⎝ ⎠ et ₂ ²_{2 2} 1

2

x ax r D

D D

⎛ ⎞

≅ ⎜ + + ⎟

⎝ ⎠

On en conclut une expression de la différence de chemin optique

δ

^:

0

2 1

2 2 r r ax

D δ = − = +λ

• On en déduit le déphasage :

0 0

2 4 a x D

π π

φ δ π

λ λ

= = + .

• Les deux vibrations étant de même intensité, on a :

( )

0

2 _o 1 cos 2 _o 1 cos 4 a x

I I I

D

φ π π

λ

⎡ ⎛ ⎞⎤

= + = ⎢ + ⎜ + ⎟⎥

⎝ ⎠

⎣ ⎦.

1

0, 5

1, 5

2 1

1 c. Franges brillantes (vibrations en phase), donc cosφ= +1 (I I= _max =4I_o).

Alors ⁰

2 m

m

δ λ

φ π

=

= , donc : 1 ⁰

m 2 2 x m D

a

⎛ ⎞λ

=⎜⎝ + ⎟⎠ ; ₁ ⁰ 0,6 10 ⁶₃ 2 4 4 10 0,3

x D mm

a

λ ⁻

−

⋅ ⋅

= = =

⋅

• Et l’interfrange :

6 0

3

0,6 10 2 2 2 10 0,6

i D mm

a

λ ⁻

−

⋅ ⋅

= = =

⋅ (à peine visibles à l’œil nu).

• Le contraste : C =1 (traduit la cohérence totale).

2.a. Il suffit de changer a par y, d’où : ^δ

( )

^{x y, =2y x}_D^{⋅ +λ}₂⁰, ce qui conduit à :

( )

^{, 2} o ^{1 cos 2}

I x y I kx y

D π

⎡ ⎛ ⎞⎤

= ⎢⎣ + ⎜⎝ + ⎟⎠⎥⎦.

• La source a maintenant une longueur h, on obtient :

( )

²

( )

²

2 2

, 2 sin 2

2

a h a h

o

a h a h

D kx

I x I x y dy I y y

kx D π

+ +

− −

⎡ ⎛ ⎞⎤

=

∫

= ⎢⎣ + ⎜⎝ + ⎟⎠⎥⎦ Il apparaît une différence de sinus :

( )

² o ₂ ^{sin 2 (} ₂⁾ ₂ ^{sin 2 (} ₂⁾

D kx h D kx h

I x I h a a

kx D π kx D π

⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤

= ⎢⎣ + ⎜⎝ + + ⎟⎠− ⎜⎝ − + ⎟⎠⎥⎦ que l’on transforme en produit : sin sin 2sin cos

2 2

p q p q

p q + −

⎛ + = ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )

_{2 1} ^sin

( )

_cos ²

o

khx D kax

I x hI

khx D D π

⎡ ⎛ ⎞⎤

= ⎢⎣ + ⎜⎝ + ⎟⎠⎥⎦, donc de la forme ^{I x}

( )

^=K

(

^1+Vcosφ

)

^,

avec

0

4 ax D

φ π π

= λ + (identique à la source ponctuelle), et

0

sin 2 hx

V c

D π λ

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ où la notation

« sinc » est le « sinus cardinal ».

Remarque : la visibilité dépend de x.

• V s’annule si l’argument du sinus cardinal vaut π, soit pour ⁰ 2 x D

h

=λ

  b. V doit s’annuler pour x = i.

Comme ⁰

2 i D

a

= λ ⇒ ^{0 0}

2 2

D D

h a

λ ₌ λ _{⇒ h a= ⇒ 1} hM = mm.

1 Exercice 3 (Examen - 2010)

1/ voir figure.

2/ En cherchant les sources secondaires S1 et S2, on trouve qu’elles sont dans un plan perpendiculaire au plan de l’écran E et par conséquent les franges d’interférences sont des anneaux.

3/ L’interféromètre de Michelson est un interféromètre à deux ondes :

( )

I 2I 1 cos =

0

+ ϕ 2 π

ϕ = λ δ

déphasage introduit par la lame d’air.

avec

δ = 2ecos(i)

, i : l’angle d’incidence ; i est faible, donc

i

2

cos(i) 1-

= 2

M2

Sp

S

M1

M'2

O O1

O2

x

F'

L f

3

1

2

tg(i) = i = r f

I = 2I

_o

1 + cos 4 πe

λ 1- r

²

2 f

²

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

4/ Anneaux brillants : δ = mλ

δ = 2e 1- r

_m²

2 f

²

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = mλ

_⇒

r

_m

= 2 f

²

1- m λ 2e

⎛ ⎝ ⎞

⎠

5/ Franges brillantes correspondent à δ = mλ.

Au départ δ = 0 (m = 0).

En déplaçant le chariot jusqu’à x1, on voit apparaitre 2000 maximas lumineux en F’, extrémités comprises. C'est-à-dire à la fin (pour x = x1) l’ordre d’interférences est m1 = 2000 – 1 = 1999

2(x1 – x0) = m1λ ⇒ λ = 0,548 µm