1 Transformation du plan (2)

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STE4 2014/2015 - MMI2 - Examen

Modalités. Durée: 1h 30. Documents autorisés: 1 feuille recto-verso à rendre (notée sur sa qualité) + calculette

Barème prévisionnel (aménagements possibles... à la marge)

Question Points

1.1 7

1.2 2

2.1 5

2.2 1

3.1 2

3.2 3

1 Transformation du plan (2)

1. Donner l'expression de la matrice A qui eectue une symétrie par rapport à la droite de vecteur directeurv1= [1,2]^T selon la direction du vecteurv2= [1,−2](Figure 1).

Figure 1: Symétrie oblique. Schéma de principe.

2. Sans faire aucun calcul de multiplication de matrice, montrer que

Aⁿ⁺²=Aⁿ ∀n≥1 (1)

2 Transformation du plan (1)

On donne la matrice B:

B=

−1 ¹₂

−¹₂ −¹₄

(2) 1. A quelle transformation du plan cette matrice correspond-elle ? On demande de caractériser complètement le transformation, en précisant les directions de l'espace éventuellement impliquées.

2. A partir de la réponse à la question précédente, montrer sans faire aucun calcul de multiplication de matrice que

Bⁿ=B ∀n >1 (3) 1

(2)

3 EDO d'ordre 2

On souhaite calculer la charge en tout point d'un aquifère de longueur L soumis à une recharge R en régime permanent. Cet aquifère est situé entre deux cours d'eau qui sont situés à des altitudes diérentesH_G etH_D (Figure 2) et qui agissent comme des limites à charge imposée. Pour cela, il faut résoudre l'équation de nappe suivante :

d²H dx² =−R

T (4a)

H(x= 0) =HG (4b)

H(x=L) =HD (4c)

oùH (m) est la charge dans l'aquifère et T m².s⁻¹

est la transmissivité. On supposera dans tout l'exercice que la rechargeRet la transmissivité T sont uniformes sur tout le domaine.

Figure 2: Nappe soumise à une recharge entre deux cours d'eau.

1. Donner la solution analytique de l'équation (4a) soumise aux conditions aux limites (4b, 4c).

2. On souhaite résoudre (4a-4c) numériquement. Pour cela, on discrétise le domaine[0, L] avecN points de calcul espacés de∆xentre 0 etL(doncL= (N−1) ∆x).

(a) Proposer une discrétisation de l'équation (4a) pour les pointsi= 2, . . . , N −1 et pour les deux conditions aux limitesi= 1eti=N.

(b) On a obtenu un système de N équations àN inconnues. Ecrire ce système sous la forme matricielle

Mx=b (5)

où le vecteur x contient les charges inconnues aux points de calcul. Vous préciserez la structure de la matrice M et du vecteur b (expression des coecientsM_ij etb_i).

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