- ANALYSE ASYMPTOTIQUE -

(1)

Math Sup ICAM Toulouse CB06- Correction

C.B. N° 6

- ANALYSE ASYMPTOTIQUE -

Correction

1- Déterminer la limite en 0 des fonctions suivantes :

a) sin

: 1 cos

x x

f x

− x

֏

( )

₀ ²

1 2

2 f x x

x

∼ ^{d’où :}^lim_x_→₀ ^{f x}

( )

⁼²

b)

1 sin

e e

: tan

x

g x x

+ −

֏

( )

₀

e 1 2x

g x x

×

∼ d’où : ^lim₀

( )

^e

2

x g x

→ =

2- Déterminer le développement limité à l’ordre indiqué au voisinage de 0 des fonctions suivantes :

a)

( )

e cos

: ln 1

x x x

h x x x

− −

− +

֏ à l’ordre 2

( )

² ⁵₃ ¹₉ ² ⁰

( )

²

h x = + x+ x +o x

b) ^{i x}^: ֏^{ln cos}

(

^x⁺^{cos 2}

( )

^x

)

à l’ordre 4

( )

^{ln 2}

( )

⁵₄ ² ₉₆⁴¹ ⁴ ⁰

( )

⁴

i x = − x − x +o x

c) sin

: ln x

j x x

 

 

 

֏ à l’ordre 4

( )

¹₆ ² ₁₈₀¹ ⁴ ⁰

( )

⁴

j x = − x − x +o x

3- Déterminer le développement limité à l’ordre 2 au voisinage de 3

π de la fonction suivante :

( )

: Arctan 2 cos

k x֏ x

( )

³ ² ⁰ ²

4 2 3 3 3

k x _{= −}π ^x₋π ^{ }₋ x₋π ^ ₊o ^_^x₋π ^ ^_

      

      

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