Analyse d’algorithmes – Notation asymptotique et Récurrences

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Analyse d’algorithmes – Notation asymptotique et Récurrences

I. Déterminer le temps d’exécution pour chacun des fragments de programmes suivants:

a. for (int i=0; i <n; ++i) ++k;

b. for (int i =1; i < n; i+=2) ++k;

c. for (int i =n-1; i != 0; i /= 2 ) ++k ;

d. for (int i = 0; i < n; ++i) for ( i % 2 = = 0) ++k;

e. e. for (int i = 0; i < n; ++i) for ( j = 0; j < n; ++j) ++k;

f. f. for (int i = 0; i < n; ++i) for ( j = I; j < n; ++j) ++k;

II. Prouver par induction les formules suivantes:

1.

2.

3.

4.

III. Évaluer les séries suivantes:

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1. sol)

2. = ¹ ⁽¹₁^/²_/⁾₂ 2*(1 (1/2) ¹)

1 +

− = −

= n

N

=

3.

4.

IV. Résoudre chacune des récurrences suivantes par substitution:

1.

2.

(3)

3.

4.

5.

(4)

6.

7.

V. Considérer la fonction . En utilisant la définition de O, montrer que .

VI. Considérer la fonction . En utilisant la définition Ω, montrer .

VII. Considérer les fonctions et . Montrer que

.

(5)

VIII. Considérons les fonctions et . Montrer que .

IX. Prouver chacune des formules suivantes:

a.

b.

X. Résoudre chacune des équations suivantes:

c.

d.

e.

f.