Université Paris-Diderot Outils Logiques
Licence Année 2017-2018
TD n ◦ 1
Sémantique et raisonnement par induction sur les formules
Exercice 1 Considérons les quatre formules suivantes :
p1= ((x∨y)∧z) p2 = ((¬x∨y)∧(¬y∨z)) p3= ((¬z∧ ¬y)∨(x∧y)) p4 = (¬(¬x∨y)∨y)
1. Calculer l'interprétation de chaque formule pi (i = 1,2,3,4) par rapport à chacune des aectations ci-dessous :
v1 = [x7→1, y7→1] v2 = [x7→1, z7→1] v3= [y7→1, t7→1]
2. Dire lesquelles de ces quatres formules sont satisfaisables/falsiables/valides/contradictoires.
Exercice 2 Soit V un ensemble de variables propositionnelles. On désigne par |p|( le nombre de parenthèses ouvrantes, par |p|) le nombre de parenthèses fermantes et par |p|¬ le nombre de symboles de négation gurant dans une formule p (cf. cours). On appelera également |p| la longueur de p.
1. Donner des dénitions récursives des fonctions|_|(,|_|),|_|¬ et|_|. 2. Montrer par induction la propriété suivante :
Propriété : toute formule propositionnellep∈F ormvérie|p|=|p|¬+ 2· |p|(+ 2· |p|)+ 1 Exercice 3 On dénit, pour toute formulep∈Form, les trois fonctions dénies par :
|p|()=le nombre de parenthèses dans p, |p|∧ =le nombre de symboles ∧ dans p, |p|∨ =le nombre de symboles ∨ dans p.
Par exemple, sip est la formule((x∧y)∨(¬x∧ ¬z))alors|p|()= 6,|p|∧ = 2, et|p|∨ = 1.
1. Donner des dénitions récursives des trois fonctions ci-dessus.
2. Montrer que pour toutp∈Form on a|p|() = 2(|p|∧+|p|∨).
Exercice 4 On dénit l'ensembleE comme le plus petit ensemble de chaînes de caractères qui vérie les deux propriétés suivantes :
(a) la chaîne vide appartient àE (b) si m∈E, alors (m)∈E
Par ailleurs, on dénit également l'ensemble F = {(n)n|n ∈ N}, où an est le caractère a répétén fois.
1. Montrer queF satisfait (a) et (b). En déduire queE ⊆F.
2. Montrer que F ⊆ E (pour chaque élément de F, on montrera qu'il appartient à E en le construisant explicitement à partir de (a) et de (b)).
3. Conclure.
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