ANALYSE ASYMPTOTIQUE

(1)

Math Sup ICAM Toulouse CB10

C.B. N° 10

ANALYSE ASYMPTOTIQUE

^Correction

1- Pour les fonctions suivantes, montrer que l’on peut effectuer un prolongement par

continuité en a, que la fonction ainsi prolongée est dérivable en a, et déterminer l’équation de la tangente à la courbe de la fonction prolongée au point d’abscisse a, ainsi que la position relative de la tangente et de la courbe au voisinage de ce point.

i)

( ) ( ( ) )

2

sin 1 cos

: x x

f x x

−

֏ en a = 0. ^{f x}

( )

^{= −}₂^x ^x₈³ ⁺^o⁰

( )

^x³

donc la fonction f est prolongeable par continuité en 0 avec f(0) = 0, la fonction ainsi prolongée est dérivable en 0 (et ^{' 0}

( )

¹

f = 2) ;

La courbe de la fonction prolongée admet au point d’abscisse 0 une tangente d’équation 2

y= x ; au voisinage du point O, la courbe est au-dessus de la tangente à gauche , et en- dessous à droite.

ii)

( )

2

ln 1

: 1

x x

g x x

+ −

֏ − en a = 1. ^{g x}

( )

^{= − +}¹ ³₄

(

^x^{− −}¹

)

¹³₂₄

(

^x⁻¹

)

²⁺^o¹

( (

^x⁻¹

)

²

)

donc la fonction g est prolongeable par continuité en 1 avec g(1) = -1, la fonction ainsi prolongée est dérivable en 1 (et ^{' 1}

( )

³

g = 4^{) ;}

La courbe de la fonction prolongée admet au point d’abscisse 1 une tangente d’équation

3 7

4 4

y= x− qui se situe au-dessus de la courbe au voisinage du point.

2- Montrer que les courbes des fonctions suivantes admettent une asymptote en ±∞^{, et} donner au voisinage des infinis la position relative de la courbe et de l’asymptote.

i) 1

: Arc tan 1 f x x

x

 

 + 

 

֏ _;

( )

¹ ¹ ^o ¹

4 2 4

f x x

x ^∞ x

π  

= + − +  

 

La courbe de f admet pour asymptote en ±∞ la droite d’équation 1

4 2

y= πx+ En+∞ la courbe est en-dessous de l’asymptote ;

en −∞la courbe est au-dessus de l’asymptote.

ii) 1

: 1

x x

g x x x

+

 

 

−

 

֏ _;

( )

^e² ^2e² ^o ¹

g x x 3

x ^∞ x

= + +   

 

La courbe de g admet pour asymptote en ±∞ la droite d’équation y=e²x En+∞ la courbe est au-dessus de l’asymptote ;

en −∞la courbe est en-dessous de l’asymptote.

(2)

Math Sup ICAM Toulouse CB10

C.B. N° 10

ANALYSE ASYMPTOTIQUE

^Correction

1- Pour les fonctions suivantes, montrer que l’on peut effectuer un prolongement par continuité en a, que la fonction ainsi prolongée est dérivable en a, et déterminer

l’équation de la tangente à la courbe de la fonction prolongée au point d’abscisse a, ainsi que la position relative de la tangente et de la courbe au voisinage de ce point.

i)

( )

: sin

ln 1 f x x

−x

֏ en a = 0. ^{f x}

( )

^{= − + +}¹ ₂^x ^x₄² ⁺^o⁰

( )

^x²

donc la fonction f est prolongeable par continuité en 0 avec f(0) = -1, la fonction ainsi prolongée est dérivable en 0 (et ^{' 0}

( )

¹

f = 2^{) ;}

La courbe de la fonction prolongée admet au point d’abscisse 0 une tangente d’équation 1 2

y= − + x ; au voisinage du point, la courbe est au-dessus de la tangente.

ii) ^{1 cos}

( )

: 1

g x x

x

+ π

֏ − en a = 1. ^{g x}

( )

^{= −} ^π₂ ⁺_{24 2}^π³

(

^x⁻¹

)

²⁺^o¹

( (

^x⁻¹

)

²

)

donc la fonction g est prolongeable par continuité en 1 avec

( )

¹

g = − π2 , la fonction ainsi prolongée est dérivable en 1 (et ^g^{' 1}

( )

⁼⁰^{) ;}

La courbe de la fonction prolongée admet au point d’abscisse 1 une tangente (horizontale) d’équation

y= − π2 qui se situe en-dessous de la courbe au voisinage du point.

2- Montrer que les courbes des fonctions suivantes admettent des asymptotes en ±∞^{, et} donner au voisinage des infinis la position relative de la courbe et de l’asymptote.

i) 1

: 1

x

f x x x

 

 + 

 

֏ _;

( )

ê ê ^11e ô ¹

2 24 f x x

x ^∞ x

= − + +   

 

La courbe de f admet pour asymptote en ±∞ la droite d’équation e e 2 y= −x En+∞ la courbe est au-dessus de l’asymptote ;

iii) ² 1

: sin

g x x 1

x

 

 

+

 

֏ _;

( )

¹ ⁵ ^o ¹

g x x 6

x ^∞ x

= − + +   

 

La courbe de g admet pour asymptote en ±∞ la droite d’équation y= −x 1 En+∞ la courbe est au-dessus de l’asymptote ;