Analyse asymptotique.

Analyse asymptotique.

Rédaction incomplète. Version 0.1 du 28 février 2020 Plan

I. Relations de comparaison . . . . 1

1. Contexte et dénitions . . . . 1

1. Que compare-t-on ? . . . . 1

2. Dénitions . . . . 1

3. Notations. . . . 1

4. Suites de référence et relations usuelles . . . . 2

2. Propriétés . . . . 3

1. Propositions . . . . 3

2. Bonnes pratiques - Liste blanche . . . . 4

3. Erreurs usuelles - Liste noire . . . . 4

4. Contre-exemples . . . . 4

3. Utilisation. . . . 5

II. Développements limités . . . . 5

1. Introduction . . . . 5

1. Vocabulaire . . . . 5

2. Unicité . . . . 6

3. Exemples fondamendaux . . . . 6

2. Opérations . . . . 6

1. Troncature . . . . 6

2. Intégration . . . . 7

3. Addition . . . . 7

4. Multiplication . . . . 7

5. Composition . . . . 8

3. Formulaire de développements limités usuels . . . . 9

4. Autour de Taylor-Young . . . . 10

1. Théorème de Taylor avec reste de Young . . . . 10

2. Quelles sont les fonctions admettant un développement limité ? . . . . 10

3. Glaner . . . . 10

4. Extrémum local . . . . 11

5. Développement limité d'une dérivée . . . . 11

III. Exemples de développements asymptotiques . . . . 11

1. Droites asymptotes à un graphe . . . . 11

2. Formule de Stirling . . . . 12

Index

dérivabilité, 2

développement limité, 5

extrémum local et développement limité, 11 extremum : condition nécessaire, 11

extremum : condition susante, 11 fonction dominée, 1

fonction négligéable, 1 fonctions équivalentes, 1

forme normalisée d'un développement limité, 5 formule de Stirling, 12

formule de Taylor avec reste de Young, 10

glaner, 10

inégalité de convexité, 2

intégration d'un développement limité, 7 notations de Landau, 1, 2

ordre d'un développement limité, 5 ordre lexicographique, 3

partie principale d'un développement limité, 5 reste d'un développement limité, 5

suite dominée, 1

suite négligéable, 1

suites équivalentes, 1

I. Relations de comparaison

1. Contexte et dénitions

1. Que compare-t-on ?

On compare localement (en a = +∞ pour les suites, en a ∈ R pour les fonctions) des suites ou des fonctions qui ne prennent pas la valeur 0 dans un voisinage de a . Cela signie que

pour une suite (u

)

N

, il existe un entier N tel que u

6= 0 pour n ≥ N ,

Pour une fonction f dénie dans un intervalle I , il existe un voisinage J de a tel que f (x) 6= 0 pour x ∈ J . Rappelons qu'un voisinage de a est de la forme [a − α, a + α] si a ∈ R, [A, +∞[ si a = +∞ et ]−∞, a] si a = −∞ .

Les propositions et dénitions ne seront pas détaillées dans les deux situations (suites ou fonctions) car elles se déduisent facilement d'un cas à l'autre. On pourrait étendre les dénitions à des suites et des fonctions qui peuvent s'annuler au voisinage de a introduisant des ε dans les dénitions. Conformément au programme, cela ne sera pas fait ici.

Attention on se place directement dans les voisinages de a dans lesquels les suites et les fonctions ne s'annulent pas. Toutes les suites considérée dans cette section DOIVENT ÊTRE à valeurs non nulles. C'est à dire qu'elles ne prennent jamais la valeur 0 , on pourra donc toujours former des quotients.

2. Dénitions

On dénit dans des tableaux les relations de comparaison : est dominée par , est négligeable devant , est équivalente à .

Dénition. Soient (u

)

et (v

)

deux suites de nombres réels ne prenant pas la valeur 0

(u

)

N

dominée par (v

)

N

(u

)

N

négligeable devant (v

)

N

(u

)

N

équivalente à (v

)

N

n

vn

n∈N

bornée

n

vn

n∈N

→ 0

n

vn

n∈N

→ 1

Dénition. Soient f et g deux fonctions dénies au voisinage de a et ne prenant pas la valeur 0 f dominée par g f négligeable devant g f équivalente à g

f

g

bornée

− →

0

− →

1 Remarque.

f

g est bornée ⇔ |f |

|g| est majorée.

3. Notations

Les notations usuelles sont présentées dans le tableau suivant : pour les suites. Les notations sont analogues pour les fonctions en précisant éventuellement le a en lequel se font les comparaisons locales.

Propriétés Notations correctes Notations tolérées

(a

)

est dominée par (b

)

(a

)

∈ O ((b

)

) a

∈ O(b

) (a

)

est dominée par (b

)

(a

)

= O ((b

)

) a

= O(b

) (a

)

est négligeable devant (b

)

(a

)

∈ o ((b

)

) a

∈ o(b

) (a

)

est négligeable devant (b

)

(a

)

= o ((b

)

) a

= o(b

) (a

)

est négligeable devant (b

)

(a

)

<< (b

)

a

<< b

(a

)

et (b

)

sont équivalentes (a

)

∼ (b

)

a

∼ b

Les notations o ((b

)

) (prononcer petit o )et O ((b

)

) (prononcer grand o ) dites de Landau

sont très commodes mais dicles à maitriser.

1Edmund Landau mathématicien allemand 1877-1938

En fait O ((b

)

) peut désigner l'ensemble des suites dominées par (b

)

ce qui justie la notation (a

)

∈ O ((b

)

) mais il peut désigner aussi une quelconque suite dominée par (b

)

comme dans (a

)

= O ((b

)

) .

La notation << pour la négligeabilité est assez commode mais peu employée

.

La dérivabilité et la dérivée fournissent des exemples d'utilisation. Une fonction f est dérivable en a si et seulement si f (x) = f (a) + f

(a)(x − a) + o(x − a) . De plus, si f

(a) 6= 0 , on peut écrire une équivalence : f(x) − f (a) ∼ f

(a)(x − a) .

4. Suites de référence et relations usuelles

Les suites de référence sont : (a

)

, (n

)

, ((ln n)

)

, (n!)

avec a > 0 et α et β réels quelconques.

Les résulats relatifs à la convergence de ces suites et de leurs quotients résultent des propositions suivantes.

Proposition. La suite (ln n)

diverge vers +∞ .

Preuve. La suite est strictement croissante (voir la dénition du logarithme Fonctions usuelles, trigonométrie) et la suite extraite

(ln 2

)

= (p ln 2)

diverge vers +∞ . La suite complète n'est donc pas majorée. Elle diverge vers +∞ . Proposition.

∀x > −1 : ln(1 + x) ≤ x ∀x > 1 : ln x x ≤ 2

√ x

Preuve. 1. La première inégalité se démontre simplement en formant le tableau des variations de la dierence.

En fait, il s'agit d'une inégalité de convexité. Le graphe de la fonction ln (fonction concave) est au dessous de sa tangente en 1 .

2. La deuxième inégalité se démontre en remarquant que √

t ≤ t pour t ≥ 1 et en majorant ln x exprimé comme une intégrale.

ln x = Z

1

dt t ≤

Z

√ dt t = h

2 √ t i

1

= 2 √

x − 2 ≤ 2 √ x

On en déduit que

−−→

0 qui est très souvent utilisée.

Proposition. Les convergences usuelles entre ces suites sont rassemblées dans les tableaux suivants.

a (a

)

]0, 1[ 0

1 1

> 1 +∞

α (n

)

< 0 0

0 1

> 0 +∞

β ((ln n)

)

< 0 0

0 1

> 0 +∞

Les comparaisons usuelles à connaitre sont

∀a ∈ ]0, 1[ , ∀α < 0, ∀β < 0 a

<< n

<< (ln n)

∀a > 1, ∀α > 0, ∀β > 0 (ln n)

<< n

<< a

<< n!

Preuve. Les démonstrations sont toutes du même type. Il faut exprimer la suite à exprimer comme une exponen- tielle et mettre en facteur le terme prépondérant dans l'argument.

Proposition. En +∞ : pour tous α et β strictement positifs, x 7→ (ln x)

est négligeable devant x 7→ x

. Preuve.

(ln x)

x

= e

= e

→−∞

z }| {

−βx

0 B B B B

@

1−^α_β

ln ln x ln x

| {z }

→0

1 C C C C A

→ 0.

2notation de G.H. Hardy, mathématicien britannique 1877-1947

Proposition. En +∞ : pour tous α , β , α

, β

strictement positifs, x 7→ x

(ln x)

est négligeable devant x 7→

x

(ln x)

si et seulement si (α, β) est strictement plus petit que (α

, β

) pour l'ordre lexicographique.

Preuve. Rappelons que (α, β) est plus petit que (α

, β

) si et seulement si α < α

ou (α = α

et β ≤ β

) . Cette relation dénit un ordre total sur ]0, +∞[

.

Montrons que si (α, β) est plus petit que (α

, β

) pour l'ordre lexicographie (et diérent) alors x

ln

x est négli- geable devant o

x

ln

x

. Considérons pour cela le quotient

ϕ(x) = x

ln

x

x

ln

x = e

= e

(α − α

) ln x

| {z }

→−∞

0 B B B B

@ 1+^β−β_α−α⁰0

ln(ln x) ln x

| {z }

→0

1 C C C C A

→ 0

par opérations et compositions de fonctions admettant des limites.

Démontrons la contraposée de la réciproque.

Si (α, β) n'est pas strictement plus petit que (α

, β

) alors (α, β) = (α

, β

) ou (α

, β

) est strictement plus petit que (α, β) .

Dans le cas où (α, β) = (α

, β

) , la fonction ϕ est constante de valeur 1 donc ne converge pas vers 0 . Dans l'autre cas, la première partie du raisonnement montre que

→ 0 donc que ϕ → +∞ . On a bien montré l'équivalence.

2. Propriétés

1. Propositions

Proposition. Lorsque deux suites (ou deux fonctions) sont équivalentes, elles sont localement de même signe.

Preuve. Pour les fonctions :

→ 1 entraine

localement strictement positive donc f et g localement de même signe.

Proposition. Lorsque deux suites (ou deux fonctions) sont équivalentes, la convergence de l'une est équivalente à la convergence de l'autre et les deux limites sont égales.

Preuve. Pour les suites. On suppose

→ 1 . Alors

→ 1 . u

= u

v

v

v

→ v







⇒ u

→ v,

v

= v

u

u

u

→ u







⇒ v

→ u.

Proposition. La somme de deux fonctions négligeables devant une fonction f est négligeable devant f . La somme de deux fonctions dominées par une fonction f est dominée par f .

Preuve. Pour les fonctions. Soit a et b dans o(f ) . Alors

→ 0 et

→ 0 donc

→ 0 c'est à dire a + b ∈ o(f ) . De même

et

bornées entraine donc

bornée c'est à dire a + b ∈ O(f ) .

Remarque. La proposition précédente s'écrit aussi o(f ) + o(f ) = o(f ) , O(f) + O(f ) = O(f ) . Lne proposition analogue est valable pour les suites.

Proposition. Si deux fonctions f et g se dominent mutuellement alors o(f ) = o(g) et O(f ) = O(g) . L'ensemble des fonctions négligeables devant (dominées par) f est égal à l'ensemble des fonctions négligeables devant (dominées par) g .

Preuve. Par hypothèse, les deux fonctions

et

sont bornées.

ϕ ∈ o(f ) ⇒ ϕ g = ϕ

f

|{z}

f g

bornée

|{z}

→ 0 ⇒ ϕ ∈ o(g)

On en déduit o(f ) ⊂ o(g) . L'autre inclusion est analogue. La démonstration est analogue pour les fonctions

dominées.

Remarque. S'il existe λ 6= 0 tel que

→ λ , alors les deux fonctions se dominent mutuellement et o(f ) = o(g) . Proposition. L'équivalence se comporte bien avec les multiplications

f

∼ g

f

∼ g

)

⇒ f

f

∼ g

g

, f

∼ g

f

∼ g

)

⇒ f

f

∼ g

g

,

f, g > 0 α ∈ R f ∼ g



 

 

⇒ f

∼ g

.

Preuve. Résulte de la dénition avec la limite tendant vers 1 . Exercice à traiter en classe.

Montrer que

o(O(f )) = o(f ) = O(o(f )), o(g)O(h) = o(gh).

2. Bonnes pratiques - Liste blanche

1. En négligeant ce qui est négligeable, une égalité se dégrade en équivalence.

2. Soit l réel non nul, u

→ l ⇔ u

∼ l .

3. Les relations de comparaison appartiennent au monde des multiplications.

4. Un seul terme à droite d'une équivalence. Quand on commence à négliger, il faut négliger tout ce qui est négligeable.

3. Erreurs usuelles - Liste noire

1. Le symbole ' est toxique dans ce contexte. Ne jamais l'utiliser (en maths).

2. Écrire · · · ∼ 0 . Mortel ! Toute cette machinerie ne s'applique qu'aux suites qui ne prennent pas la valeur 0 . 3. Écrire a

→ b

: Mortel ! À droite d'une èche de limite ne peut se trouver qu'un élément de R.

4. Penser que a

∼ b

⇒ a

− b

→ 0 (contre-exemple 1) ou que a

− b

→ 0 ⇒ a

∼ b

(contre-exemple 2).

5. Penser que a

− b

∼ c

⇒ a

∼ b

+c

(contre-exemple 3) ou, plus généralement, que l'on peut additionner des équivalences.

6. Penser que ϕ ∼ ψ entraîne f ◦ ϕ ∼ f ◦ ψ . 7. Écrire cos x ∼ 1 −

.

4. Contre-exemples

1. En +∞ , x 7→ x

+ x et x 7→ x

+ 1 sont équivalentes mais leur diérence ne tend pas vers 0 . 2. En +∞ , la diérence entre x 7→

et x 7→

tend pas vers 0 mais elles ne sont pas équivalentes.

3. En +∞ , a(x) = 1 , b(x) = −x

, c(x) = x

+ x . Alors : a(x) − b(x) = x

+ 1 ∼ x

∼ c(x) . En revanche : b(x) + c(x) = x n'est pas équivalent à a(x) = 1 .

4. En 0 , ϕ(x) =

+

et ψ(x) =

. On a ϕ ∼ ψ mais cette équivalence ne se conserve pas par composition par la fonction exponentielle.

3. Utilisation

Il s'agit essentiellement d'un nouveau langage traduisant des limites usuelles En +∞ ,

→ 0 s'écrira ln(x) ∈ o(x) .

La dérivabilité de f en a s'écrira f (x) = f (a) + f

(a)(x − a) + o((x − a)) . Si plus f

(a) 6= 0 , on pourra aussi écrire

f (x) − f (a) ∼ f

(a)(x − a) MAIS PAS f (x) ∼ f (a) + f

(a)(x − a) Cette relation permet d'obtenir les premières relations (localement en 0 )

e

= 1 + x + o(x), e

− 1 ∼ x; sin x = x + o(x), sin x ∼ x; cos x = 1 + o(x), cos x ∼ 1;

tan x = x + o(x), tan x ∼ x; sh x = x + o(x), sh x ∼ x; ln(1 + x) = x + o(x), ln(1 + x) ∼ x; ...

Pour illustrer ces notions, examinons des suites (u

)

avec (u

)

converge vers 1 . Soit x réel non nul.

(1 + x

n )

= e

= e

(

) = e

→ e

. (1 + 1

n

)

= e

= e

(

n2)

) = e

→ 1.

(1 + 1

√ n )

= e

= e

“√1

n+o(^√1_n)”

= e

√n+o(√¹ n)

→ +∞.

II. Développements limités

1. Introduction

1. Vocabulaire

Cette section traite des développements limités qui sont un cas particulier des développements (locaux) intro- duits lors de la dénition des relations de comparaison des fonctions.

Un développement limité est un concept local autour d'un réel a . On rappelle que l'on note I l'intervalle obtenu à partir d'un intervalle I en le complétant par ses extrémités. Dans tout ce chapitre I désigne un intervalle non vide de R et a est un réel dans I .

Un développement limité est une somme de fonctions, chacune étant négligeable devant celle à sa gauche. Elles sont toutes de la forme

λ

(x − a)

avec λ

∈ R

sauf la dernière appelée reste dont on ne sait rien sinon une propriété de négligeabilité. La somme des premières fonctions (à part le reste) est appelée la partie principale de développement limité.

Pour travailler avec des développements limités, on dispose des développements usuels qui sont sont placés dans un formulaire à part et d'opérations.

On dispose aussi d'un outil théorique : la formule de Taylor-Young. Dans la pratique, il ne faut pas en général utiliser cette formule mais former les développements usuels des fonctions intervenant (à un ordre très petit) et les combiner en utilisant les opérations. C'est pourquoi le théorème de Taylor avec reste de Young est délibérément placé à la n.

Bien retenir que faire un développement à un ordre trop petit n'est ni une erreur ni une perte de temps. Les coecients calculés n'auront pas à être recalculés. Ce qui est une perte de temps et une source d'erreur c'est de faire un développement trop long.

L'ordre d'un développement limité est l'exposant qui gure dans le reste. Ainsi cos x = 1 − x

2 + o(x

) est un développement (en 0 ) à l'ordre 3 de cos .

Dénition (Forme normalisée). Soit f une fonction admettant en a un développement limité à l'ordre n . La forme normalisée de ce développement est :

f (x) = (x − a)

a

+ a

(x − a) + · · · + a

(x − a)

+ o((x − a)

avec a

6= 0 .

L'évaluation de ce premier indice pour lequel le coecient est non nul est utile dans les compositions. Il donne aussi un équivalent pour la fonction

f (x) ∼ a

(x − a)

2. Unicité

Si une fonction admet un développement limité, celui ci est unique au sens suivant.

Proposition. Soit f une fonction dénie dans un intervalle I , soit a ∈ I . On suppose que f admet deux dévelop- pements limités

f (x) = λ

+ λ

(x − a) + λ

(x − a)

+ · · · + λ

(x − a)

+ o((x − a)

)

f (x) = µ

+ µ

(x − a) + µ

(x − a)

+ · · · + µ

(x − a)

+ o((x − a)

)

Alors, λ

= µ

pour tous les k entre 0 et min(p, q) .

Preuve. Le raisonnement est algorithmique (ou par récurrence forte). On exprime chaque coecient comme la limite en a d'une certaine fonction fabriquée avec les coecients d'indices plus petits et dont l'unicité a déjà été prouvée.

λ

= µ

= lim

a

f, λ

= µ

= lim

a

x 7→ f(x) − λ

x − a , λ

= µ

= lim

a

x 7→ f (x) − λ

− λ

(x − a) (x − a)

, λ

= µ

= lim

a

x 7→ f (x) − λ

− λ

(x − a) − λ

(x − a)

(x − a)

, · · ·

3. Exemples fondamendaux

Il y a deux exemples fondamentaux de développement limité. Le premier exemple est théorique : une fonction est dérivable en a si et seulement si elle admet un développement limité à l'ordre 1 en a .

f (x) = f (a) + f

(a)(x − a) + o(x − a).

Il permet d'écrire les développements limités usuelse en 0 à l'ordre 1 .

e

= 1 + x + o(x) ln(1 + x) = x + o(x) (1 + x)

= 1 + αx + o(x) sin x = x + o(x) cos x = 1 + o(x) tan x = x + o(x)

sh x = x + o(x) ch x = 1 + o(x) th x = x + o(x) Le deuxième est pratique. En 0 , une somme de termes en progression géométrique

1

1 − x = 1 + x + x

+ · · · + x

+ x

1 − x est un développement limité à l'ordre n de x 7→

car

∈ o (x

) .

2. Opérations

Pour toute opération, le point le plus important est de bien évaluer l'ordre du développement que cette opération donnera et supprimer tous les termes avec un exposant supérieur à cet ordre. Les précisions illusoires constituent la principale source d'erreurs dans les manipulations de développements limités.

1. Troncature

On peut toujours diminuer l'ordre d'un développement limité. Pour m < n : f (x) = λ

+ λ

(x − a) + λ

(x − a)

+ · · · + λ

(x − a)

+ o((x − a)

)

⇒ f (x) = λ

+ λ

(x − a) + λ

(x − a)

+ · · · + λ

(x − a)

+ o((x − a)

) Cette opération est certainement la plus usuelle. Quand plusieurs développements se combinent il faut très souvent (pour une addition par exemple) tronquer les développements au plus petit des ordres intervenant. Ne pas faire ces troncatures est l'erreur la plus fréquente. Il faut sans hésitation abandonner les précisions illusoires.

2. Intégration

On devrait plutôt dire primitivation.

Proposition. Si f est une fonction continue qui admet en a un développement à l'ordre n , alors ses primitives admettent en a un développement à l'ordre n + 1 . En particulier pour sa primitive F nulle en a :

f (x) = λ

+ λ

(x − a) + λ

(x − a)

+ · · · + λ

(x − a)

+ o((x − a)

)

⇒ F (x) = Z

0

f (t)dt = λ

(x − a) + λ

2 (x − a)

+ · · · + λ

n + 1 (x − a)

+ o((x − a)

)

Preuve. C'est une conséquence immédiate du lemme d'intégration de négligeabilité appliqué au reste.

Exemple (développement limité de ln en 0 .). On utilise (− ln(1 − x))

=

. On connait le développement de

1

1−x

, on le primitive terme à terme 1

1 − x = 1 + x + · · · + x

+ o(x

) ⇒ − ln(1 − x) = x + 1 2 x

+ 1

3 x

+ · · · + 1

n + 1 x

+ o(x

)

⇒ ln(1 − x) = −x − 1 2 x

− 1

3 x

− · · · − 1

n + 1 x

+ o(x

)

⇒ ln(1 + x) = x − 1 2 x

+ 1

3 x

+ · · · + (−1)

1

n + 1 x

+ o(x

).

Exemple (Développement limité de arctan en 0). On forme un développement de arctan

que l'on intègre arctan

x = 1

1 + x

= 1 − x

+ x

+ o(x

) ⇒ arctan x = x − 1 3 x

+ 1

5 x

+ o(x

).

Exemple (Développement limité de arcsin en 0). On forme un développement de arcsin

que l'on intègre arcsin

x = 1

√ 1 − x

= (1 − x

)

= 1 + 1

2 x

+ o(x

) ⇒ arcsin x = x + 1

6 x

+ o(x

).

Exemple (Le développement de l'exponentielle en 0 est autoaméliorant). Cela résulte de ce que l'exponetielle est sa proprre dérivée

e

= 1 + x + o(x) ⇒ e

− 1 = x + 1

2! x

+ o(x

) ⇒ e

= 1 + x + 1

2! x

+ o(x

)

⇒ e

− 1 = x + 1 2! x

+ 1

3! x

+ o(x

) ⇒ e

= 1 + x + 1 2! x

+ 1

3! x

+ o(x

)

⇒ e

− 1 = · · · ⇒ e

= 1 + x + 1 2! x

+ 1

3! x

+ · · · + 1

n! x

+ o(x

).

3. Addition

Pour additionner deux développements limités, on tronque le plus précis à l'ordre du moins précis et on ajoute les coecients terme à terme. Donnons un exemple avec un développement limité en 1 :

d1 = (x − 1) + 2(x − 1)

− 1

2 (x − 1)

+ o((x − 1)

) d2 = 1 + 2(x − 1) − 2(x − 1)

+ o((x − 1)

) d1 + d2 = 1 + 3(x − 1) + (x − 1)

+ o((x − 1)

)

4. Multiplication

Pour multiplier deux développements limités, on commence par évaluer l'ordre du développement

obtenu en considérant les deux produits extrèmes puis on eectue la multiplication en regroupant directement les termes de même degré.

Par exemple pour deux développements abstraits en a :

d1 = c

(x − a)

+ c

(x − a)

+ · · · + c

(x − a)

+ o ((x − a)

) d2 = d

(x − a)

+ d

(x − a)

+ · · · + d

(x − a)

+ o ((x − a)

)

Les produits extrèmes sont (x − a)

o ((x − a)

) et (x − a)

o ((x − a)

) . L'ordre du développement limité produit sera donc min(p + s, r + q) (notons le m ) et le produit de la forme

d1d2 = c

d

(x − a)

+ · · · + o ((x − a)

) Exemple (Développement limité en 0 de

.).

cos x = 1 − 1

2 x

+ o(x

) 1

1 − x = 1 + x + x

+ o(x

)

3je le désigne par la butée.

L'ordre du développement se trouve en considérant 1 × o(x

) et o(x

) × 1 c'est donc o(x

) . On doit tronquer le produit à cet ordre.

cos x

1 − x = 1 + x + 1 2

|{z}

=1−¹₂

x

+ o(x

).

Exemple (développement limité de tan en 0 ). On utilise tan

= 1 + tan

. En élevant au carré, on obtient un développement au même ordre que l'on intègre ce qui augmente l'ordre et ainsi de suite.

tan x = x + o(x) tan

x = 1 + tan

x = 1 + x

+ o(x

) tan x = x + 1

3 x

+ o(x

) tan

x = 1 + tan

x = 1 + x

+ 2

3 x

+ o(x

) tan x = x + 1 3 x

+ 2

15 x

+ o(x

) · · · 5. Composition

Un point technique important est que si deux fonctions f et g se dominent mutuellement alors elles ont le même ensemble de fonctions négligeables : o(f ) = o(g) . En particulier :

f(x) ∼ λ(x − a)

avec λ 6= 0 ⇒ o(f ) = o((x − a)

) Cette remarque est importante pour préciser l'ordre d'un développement composé.

Exemple (développement limité de ln(cos) en 0 ). Cet exemple de cours est très détaillé, il est conseillé de moins écrire dans la pratique.

On part des développements usuels en 0 . Il est conseillé d'utiliser des lettres diérentes pour chaque développement ln(1 + u) = u − 1

2 u

+ 1

2 u

+ o(u

) cos x = 1 − 1 2 x

+ 1

24 x

+ o(x

) Notons

f (u) = ln(1 + u) = u − 1 2 u

+ 1

2 u

+ o(u

) g(x) = cos x − 1 = − 1 2 x

+ 1

24 x

+ o(x

) Alors

ln(cos x) = f (g(x)) = g(x) − 1

2 g

(x) + 1

3 g

(x) + o(g

(x)) Il est important est de remarquer que

g(x) ∼ − 1

2 x

⇒ g(x)

∼ − 1

8 x

⇒ o(g(x)

) = o(x

) (les deux fonctions se dominent mutuellement) Comme les développements de g et de ses puissances ne sont qu'à l'ordre 5 , le terme

g

(x) (qui est d'ordre 6 ) est une précision illusoire. Il faut absolument le faire disparaître, absorbé par o(x

) .

De plus, il faut conduire tous les développements en rassemblant immédiatement les termes de même degré sans jamais écrire les précisions illusoires (ici les termes d'ordre 6 ou plus). Il est commode d'exécuter les calculs en colonne.

g(x) = − 1

2 x

+ 1

24 x

+o(x

)

g(x) = − 1

2 x

+ 1

24 x

+o(x

) ×1

g

(x) = 1

4 x

+o(x

) × − 1

2 ln(cos x) = − 1

2 x

+ − 1

12

| {z }

=₂₄¹−¹₈

x

+o(x

)

3. Formulaire de développements limités usuels

Les développements sont tous en 0 . Toutes les fonctions présentées admettent des développements limités à tous les ordres. On peut donc remplacer le reste d'ordre n par une fonction dominée par la puissance suivante.

1

1 − x = 1 + x + x

+ x

+ · · · + x

+ O x

1

1 + x = 1 − x + x

− x

+ · · · + (−1)

x

+ O x

ln(1 + x) = x − 1

2 x

+ 1

3 x

+ · · · + (−1)

n x

+ O x

ln(1 − x) = −x − 1

2 x

− 1

3 x

− · · · − 1

n x

+ O x

e

= 1 + x + 1

2 x

+ 1

6 x

+ · · · + 1

n! x

+ O x

(1 + x)

= 1 + αx + 1

2 α (α − 1) x

+ · · · + α(α − 1) · · · (α − n + 1)

n! x

+ O x

ch x = 1 + 1

2 x

+ · · · + 1

(2n)! x

+ O x

sh x = x + 1

6 x

+ · · · + 1

(2n − 1)! x

+ O x

cos x = 1 − 1

2 x

+ · · · + (−1)

(2n)! x

+ O x

sin x = x − 1

6 x

+ · · · + (−1)

(2n − 1)! x

+ O x

√ 1 + x = 1 + 1 2 x − 1

8 x

+ 1

16 x

+ O x

√ 1

1 + x = 1 − 1 2 x + 3

8 x

− 5

16 x

+ O x

tan x = x + 1

3 x

+ 2

15 x

+ O x

arctan x = x − 1

3 x

+ O x

arcsin x = x + 1

6 x

+ O x

arccos x = π

2 − arcsin x

4. Autour de Taylor-Young

1. Théorème de Taylor avec reste de Young Voir la section Intégrales et primitives

Proposition. Soit f une fonction de classe C

dans un voisinage de a . Elle admet le développement limité à l'ordre n :

f (x) = f (a) + f

(a)(x − a) + f

(a)

2! (x − a)

+ · · · + f

(a)

n! (x − a)

+ o((x − a)

) Application au développement en 0 de (1 + x)

.

(1 + x)

= 1 + αx + α(α − 1)

2! + · · · + α(α − 1) · · · (α − n + 1)

n! x

+ o(x

) 2. Quelles sont les fonctions admettant un développement limité ?

L'existence d'un développement limité à l'ordre 1 en a est équivalente à la dérivabilité en a . Cette équivalence ne subsiste plus pour des ordres plus grands. Par exemple, considérons

f (x) = 1 + x + x

+ x

sin( 1 x

)

Cette fonction admet en 0 le développement limité à l'ordre 2 : f (x) = 1 + x + x

+ o(x

) . En eet, la fonction sin étant bornée par 1 , le reste x

sin(

) est négligeable devant x

. Ceci entraine en particulier que la fonction f est dérivable en 0 . Pourtant cette fonction n'est pas de classe C

car sa dérivée

f

(x) = 1 + 2x + 3x

sin( 1

x

) − cos( 1 x

)

n'a pas de limite nie en 0 . La fonction f

n'étant pas continue, elle n'est certainement pas dérivable donc f n'est pas deux fois dérivable en 0 .

3. Glaner

Le calcul d'un coecient d'un développement limité peut être cher en temps de calcul. Glaner c'est ramasser des précisions supplémentaires gratuites . Il faut pour cela utiliser des résultats théoriques et non calculatoires.

Passer d'un o au O suivant Lorsque f est C

, elle admet, d'après Taylor-Young, des développements limités à tous les ordres. Par exemple, aux ordres p et p + 1 en a :

f (x) = λ

+ λ

(x − a) + · · · + λ

(x − a)

+ o(x

)

| {z }

=r(x)

f (x) = λ

+ λ

(x − a) + · · · + λ

(x − a)

+ λ

(x − a)

+ o((x − a)

) On en déduit en soustrayant une expression du premier reste

r(x) = λ

(x − a)

+ o((x − a)

) = (λ

+ o(x − a)) (x − a)

∈ O((x − a)

)

On peut donc écrire sans calcul suppléméntaire O((x − a)

) au lieu de o((x − a)

) dans la première formule.

Exploiter parité et imparité On considère une fonction paire ou impaire f qui admet en 0 des développements limités à tous les ordres. Par exemple

f (x) = λ

+ λ

x + · · · + λ

x

+ o(x

)

Le calcul des coecients peut être dicile. On sait alors que, si p est impair et f impaire ou si p est pair et f est

impaire, le reste est négligeable devant x

. En eet, on peut pousser à un ordre de plus le développement et le

coecient suivant étant nul dans les cas cités à cause de l'unicité d'un développement limité à un ordre donné.

4. Extrémum local

Proposition. Soit f dénie dans un intervalle I et a ∈ I .

Si f admet un développement limité f (x) = λ

+ λ

(x − a) + o(x − a) et si a est un extrémum local qui n'est pas une extrémité de I alors λ

= 0 .

Si f admet un développement limité f (x) = λ

+ λ

(x − a) + λ

(x − a)

+ o((x − a)

) avec λ

= 0 et λ

6= 0 alors a est un extrémum local (un minimum si λ

> 0 , un maximum si λ

< 0 ).

Preuve. La première implication est une reformulation de la proposition précédant le théorème de Rolle en écrivant la dérivabilité comme l'existence d'un développement limité à l'ordre 1 .

La deuxième implication vient de ce que λ

= f (a) et f (x)−f(a) du signe de λ

localement en a car x−a)

≥ 0 . Remarque. Si on suppose f de classe C

avec f

(a) = 0 et f

(a) 6= 0 on peut démontrer le résultat précédent avec un tableau de variations car f

est localement du signe de f

(a) par continuité..

5. Développement limité d'une dérivée

Il n'existe pas vraiment de théorème permettant de dériver un développement limité. Il semble souhaitable de retenir qu'on ne peut pas dériver un développement. Par exemple

f (x) = 1 + x + x

+ x

sin( 1 x

) déjà rencontré plus haut admet un développement limité à l'ordre 2 . Sa dérivée

f

(x) = 1 + 2x + 3x

sin( 1

x

) − cos( 1 x

)

n'a pas de limite nie en 0 . Elle n'admet donc pas de développement limité même à l'ordre 0 .

On peut en revanche utiliser l'intégration d'un développement pour calculer les coecients du développement d'une dérivée lorsqu'on sait qu'il existe.

Soit f est une fonction C

alors f

est C

. Les deux fonctions admettent des développements limités respective- ment à l'ordre p et p − 1 (d'après Taylor-Young).

On peut intégrer le développement de f

. On obtiendra (avec la bonne constante) le développement de f . À cause de l'unicité du développement limité, on peut identier les deux développements. Ceci permet de déduire une expression des coecients du développement de f

en fonction de ceux de f .

III. Exemples de développements asymptotiques

Un développement asymptotique est un développement qui n'est pas un développement limité. Il peut s'eectuer en +∞ ou −∞ ou bien en un point réel a mais faire intervenir des fonctions autres que les puissances entières de x − a .

1. Droites asymptotes à un graphe

Dénition. Le graphe d'une fonction f dénie au voisinage de +∞ (ou de −∞ ) admet une droite asymptote si et seulement si il existe a et b réels tels que, en +∞ ,

f (x) = ax + b + o(1).

L'équation de l'asymptote D est :

∀(x, y) ∈ R

, (x, y) ∈ D ⇔ y = ax + b

Il peut être utile d'avoir un terme de plus dans le développementpour préciser la position du graphe par rapport à l'asymptote.

Exemple. Considérons la fonction dénie par f (x) = x

+ x + 1

x

+ x

+ 1 pour x 6= c où c est l'unique racine réelle de x

+ x

+ 1 = 0.

Par étude des variations, il vient c < −

. Avec des approximations numériques, on précise −1.6 < c < −1.3 . Le graphe admet donc une droite asymptote verticale d'équation x = c relative au comportement de la fonction localement en c . On va montrer qu'elle admet une autre droite asymptote relative au comportement de la fonction en +∞ et −∞ .

Même si x est au voisinage de l'inni, il faut se ramener à des développements et des opérations usuels.

f (x) = x 1 +

+

1 +

+

.

On veut calculer le développement avec un reste en o(

) , le terme en

nous donnera la position du graphe par rapport à l'asymptote. Tronquons au bon ordre avant de multiplier :

1

1 +

+

= 1

1 +

+ o(

) = 1 − 1

x + o( 1 x

)

+

1 x + o( 1

x

)

+ o( 1

x

) = 1 − 1 x + 1

x

+ o( 1 x

) 1 + 1

x

+ 1

x

= 1 + o( 1 x

).

On en déduit

f (x) = (x + o( 1 x )(1 − 1

x + 1 x

+ o( 1

x

)) = x − 1 + 1 x + o( 1

x ).

La droite d'équation y = x − 1 est asymtote au graphe de f en +∞ et −∞ car la diérence tens vers 0 . De plus le graphe est au dessus de la droite en +∞ et en dessous en −∞ .

Fig. 1: Asymptotes

2. Formule de Stirling

Elle peut être utile dans des problèmes. On la démontrera en exercice. Il est conseillé de la connaitre par coeur.

n! ∼ √

2π n

e

√

n.