Analyse asymptotique

Stanislas

Exercices

Analyse asymptotique

Chapitre XII MPSI 1

2015/2016

I - Relations de comparaison

Exercice 1.Pour tout x∈R^?+, on posef(x) =x^x, g(x) = (x^x)^x eth(x) =x^(xx). 1. Étudier les limites en0 des fonctionsf, g eth.

2. Déterminer un équivalent simple au voisinage de0de f(x)−1, g(x)−1eth(x)−x.

Exercice 2.SoitI un intervalle deR,a∈I etf, g∈F(I,R^?+). On suppose qu'il existek >1tel que, au voisinage de a,g soit minorée park.

1. Montrer quef(x)∼_ag(x) ⇒ lnf(x)∼_alng(x).

2. Cette propriété est-elle encore vraie sans hypothèse surg? II - Calculs

Exercice 3. (-)Soientn∈N^?, a₁, . . . , a_n∈R^?+ etp, q∈R^?+. Déterminer les limites suivantes.

1. lim

x→0

√ x

x²+1−1. 2. lim

x→+∞

√

x²+x+ 1−√

x²−x+ 1. 3. lim

x→+∞

√

x²+x+ 1−√

x²+x−1. 4. lim

x→0 x^xxlnx

x^x−1 . 5. lim

x→0

ln(1+sin(x))√ cosx−1 . 6. lim

x→0

tan(px)−sin(qx) tan(qx)−sin(px). 7. lim

x→0(2e^sinx−cosx)^cotanx. 8. lim

x→+∞

xsinx 1+x². 9. lim

x→+∞

lnx x

¹_x . 10. lim

x→0 1

x −_ex¹−1.

11. lim

x→0

5 sin(3x)−3 sin(5x)

x³ .

12. lim

x→0 1 x²

1

1+x² −cosx . 13. lim

x→0

e^x−cosx−sinx

x² .

14. lim

x→+∞

a^1/x₁ +···+a^1/x_n n

x

. 15. lim

x→1 sin(πx)

lnx . 16. lim

x→1

x^x−x^1/x (x−1)² . 17. lim

x→+∞(^x₂² +x⁴ln cos¹_x). 18. lim

x→+∞x²

e^1x −e^x+11 . 19. lim

x→^π₂ 2

cos²x+_ln(sin¹ _x).

Exercice 4. (-)Déterminer les développements limités suivants : 1. e^x−cosx, à l'ordre2 en0.

2. √

1−x², à l'ordre4en 0. 3. ^sin_1+x^x, à l'ordre3 en0. 4. tanx à l'odre3 en0.

5. ln(cosx)à l'ordre4 en 0. 6. √

x à l'ordre2 en2.

7. sinx à l'ordre2en ^π₆. 8. lnxà l'ordre2 en ¹₂. 9. ln(sinx) à l'ordre2 en ^π₆.

10. (x−ln(1 +x))(e^x−cosx)à l'ordre 4en0. 11. _ex^x−1 à l'odre 4en 0.

Exercice 5. (-)

1. Identier les réelsλtels que lim

x→−∞

√x²−x+ 1 +√³

x³+λx²+ 1 = 0. 2. Identier les réelsa, btels que lim

x→0

cosh(x)

ln(1+x)−^a_x +b

= 0.

Stanislas A. Camanes

Exercices. Analyse asymptotique MPSI 1

Exercice 6. (Développement limité d’une fonction réciproque)

1. Montrer que la fonctionarcsinadmet un développement limité d'ordre 1 en0.

2. Soitϕ : R→R, t7→t−sint. Déterminer un développement limité deϕà l'ordre 3en 0. 3.Montrer que la fonctionϕ◦arcsinadmet un développement limité à l'ordre3en0; en déduire que la fonctionarcsinadmet un développement limité d'ordre 3 en0 que l'on déterminera.

III - Étude de courbes

Exercice 7.Soitf :R −→Rdénie parf(x) = _1+x^2x2.Donner l'équation de la tangente ainsi que la position relative de celle-ci par rapport à la courbe représentative def aux points d'abscisse x0 = 1,2,0 et√

3.

Exercice 8.On considère la fonction f : ]0,+∞[→Rdénie par f(x) = (x−1)e^1/x. 1. Montrer quef(x) =x− 1

2x + 1 xε

1

x

, lorsquex tend vers +∞.

2. En déduire que la courbeCf représentative def admet une asymptote D en +∞.

3. Quelle est la position relative deCf par rapport àD? Exercice 9.Soitf : R→R, x7→ ^x√2−8x+2

1+x² . 1. Dresser son tableau de variations.

2. Calculer le développement limité def en 0 à l'ordre 3. En déduire l'équation de sa tangente en0 et la position de la courbe représentative def par rapport à cette tangente au voisinage de 0.

3. Montrer que f admet une asymptote en +∞ dont on déterminera l'équation. Quelle est la position relative de la courbe représentative def par rapport à cette asymptote au voisinage de +∞?

4. Étudier le comportement asymptotique def en −∞.

Stanislas A. Camanes