Ainsi la racine 47 modulo 100 ne convient pas, et les racines modulo 100 se r´eduisent `a ce seul chiffre

Enonc´e n^oA318 (Diophante)

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Je commence par l’analyse des chiffres de droite des carr´es.

Le chiffre des unit´es est 0, 1, 4, 5, 6 ou 9.

Les restes modulo 4 devant ˆetre 0 ou 1, on a une condition de parit´e sur le chiffre des dizaines (je note ppour pair, ipour impair).

00,p1, p4, 25,i6,p9.

Pour les impairs, le reste modulo 8 donne une condition de parit´e sur le chiffre des centaines. D’autre part, les deux chiffres de droite d’un carr´e d´eterminent sa racine au signe pr`es et modulo 50, soit 4 possibilit´es pour ses deux chiffres de droite.

Premi`ere question : chiffres non d´ecroissants

Dressons une premi`ere liste de possibilit´es (modulo 100) `a explorer, pour les nombres `a chiffres non d´ecroissants dont le carr´e a la mˆeme propri´et´e.

carr´es racines

01 01, 49

04 02, 48

24 18, 68

44 12, 38, 88

p25 p5,i5

16 04, 46

36 06, 44, 56 56 16, 34, 66

09 03, 47

i29 23, 27, 77 p49 07, 57

i69 13, 37 p89 17, 33, 67

Chaque fois qu’apparaˆıt un z´ero comme chiffre des dizaines, on ne peut compl´eter par d’autres chiffres `a gauche. Ainsi la racine 47 modulo 100 ne convient pas, et les racines 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 modulo 100 se r´eduisent `a ce seul chiffre.

Quand le chiffre des dizaines est un 1, on ne peut compl´eter `a gauche que par des 1. Regardons d’abord du cˆot´e des racines.

18 et 118 au carr´e donnent 324 et 924 modulo 1000, ce qui ne convient pas.

De mˆeme 11. . .18 au carr´e donne 924 modulo 1000, quel que soit le nombre de 1.

112 au carr´e donne 524 modulo 1000, donc seul 12² = 144 convient.

16 et 116 au carr´e donnent 256 et 13456 qui conviennent, mais 1116 donne 5456 modulo 10000, ce qui ne convient pas.

113 au carr´e donne 769 modulo 1000, donc seul 13² = 169 convient.

17 et 117 au carr´e donnent 289 et 13689 qui conviennent, mais 1117 donne 7689 modulo 10000, ce qui ne convient pas.

Du cˆot´e des carr´es dont le chiffre des dizaines est un 1, nous avons 16 ; `a part 4,

– si le nombre de chiffres du carr´e est impair, les premiers chiffres de la racine se situent dans l’intervalle (√

111 = 10,53,√

116 = 10,95) et la pr´esence du z´ero en 2e position ne convient pas ;

– si le nombre de chiffres du carr´e est pair, les premiers chiffres de la racine se situent dans l’intervalle (√

1111 = 33,33,√

1116 = 33,40). La racine ne peut se terminer que par 46, mais 346 et 446 au carr´e donnent 716 et 916 modulo 1000, ce qui ne convient pas.

Le cas dei29 se traite de la mˆeme fa¸con, 29 ne pouvant ˆetre pr´ec´ed´e que de chiffres 1 :

– le nombre 129 n’est pas un carr´e ; si le nombre de chiffres du carr´e est impair > 3, les premiers chiffres de la racine se situent dans l’intervalle (√

111 = 10,53,√

111,3 = 10,55) et la pr´esence du z´ero en 2e position ne convient pas ;

– si le nombre de chiffres du carr´e est pair, les premiers chiffres de la racine se situent dans l’intervalle (√

1111 = 33,33,√

1129 = 33,44). La racine ne peut se terminer que par 77, mais pour que le carr´e se termine par 1129, il faudrait que la racine se termine par 3877 ou 8877, ce qui ne convient pas.

Avec 2 comme chiffre des dizaines, les carr´es qui se terminent par 24 ont une racine qui se termine par 68. Examinons d’abord les carr´es qui s’´ecrivent sans 1 :

– si le nombre de chiffres du carr´e est impair, les premiers chiffres de la racine se situent dans l’intervalle (√

222,2 = 14,906,√

224 = 14,966) et la pr´esence d’un chiffre 9 en 3e position est incompatible avec la terminaison 68 ;

– si le nombre de chiffres du carr´e est pair, les premiers chiffres de la racine se situent dans l’intervalle (√

2222 = 47,1,√

2224 = 47,15) et la pr´esence d’un chiffre 7 en 2e position est incompatible avec la terminaison 68.

Quant aux carr´es de la forme 1. . .24,

– si leur nombre de chiffres est impair, les premiers chiffres de la racine se situent dans l’intervalle (√

111,1 = 10,54,√

122,5 = 11,06) et la pr´esence d’un z´ero en 2e ou 3e position ne convient pas ;

– si le nombre de chiffres du carr´e est pair, les premiers chiffres de la racine se situent dans l’intervalle (√

1111 = 33,33,√

1224 = 34,98). Cela n’exclut pas que la racine puisse s’´ecrire avec des chiffres 3, 4, 5, 6 avant la terminaison 68. Cependant, comme 68² = 4624, le carr´e se termine par 224 seulement si la racine se termine par 668 (ou 168, mais ce cas est exclu par le chiffre 3 comme chiffre de gauche). Or 668² = 6224 (mod 10000), et on doit ajouter ind´efiniment des chiffres 6 `a gauche de la terminaison de la racine sans pouvoir ´eliminer le 6 qui apparaˆıt dans le carr´e.

On op`ere de mˆeme avec les carr´es se terminant par 25. Pour ceux qui s’´ecrivent sans chiffre 1, `a part 25 = 5² et 225 = 15², on a (comme pour les carr´es se terminant par 24) pour premiers chiffres de la racine soit 149 (si le nombre de chiffres du carr´e est impair), soit 47 (si le nombre de chiffres du carr´e est pair), ce qui est incompatible avec la terminaison 5.

Quant aux carr´es de la forme 1. . .25,

– si leur nombre de chiffres est impair, les premiers chiffres de la racine se situent dans l’intervalle (√

111,1 = 10,54,√

122,5 = 11,06) et la pr´esence d’un z´ero en 2e ou 3e position ne convient pas ;

– si le nombre de chiffres du carr´e est pair, les premiers chiffres de la racine se situent dans l’intervalle (√

1111 = 33,33,√

1225 = 35). Le chiffre des dizaines de la racine ne peut ˆetre 4 (le carr´e se terminerait par 025), la racine est donc 35 ou de la forme 3. . .35 : si la racine s’´ecrit aveck chiffres 3 suivis d’un 5, le carr´e s’´ecrit avec k chiffres 1 suivis dek+ 1 chiffres 2 et d’un 5. On a en effet :

10^k+1+ 5 3

!2

= 10^2k+2−10^k+2

9 +2·10^k+2−20

9 + 5

On a des ph´enom`enes analogues aveck chiffres 3 suivis d’un 4 : 10^k+1+ 2

3

!2

= 10^2k+2−10^k+1

9 +5·10^k+1−50

9 + 6

soit 34² = 1156, (3. . .34)²= 1. . .15. . .56, avec kchiffres 3 suivis d’un 7 :

10^k+1+ 11 3

!2

= 10^2k+2−10^k+2

9 + 3·10^k+1+5·10^k+1−500

9 + 69

soit 37² = 1369, 337² = 113569, (3. . .37)² = 1. . .135. . .569, et aveckchiffres 6 suivis d’un 7 :

2·10^k+1+ 1 3

!2

= 4·10^2k+2−4·10^k+1

9 +8·10^k+1−80

9 + 9

soit 67² = 4489, (6. . .67)²= 4. . .48. . .89,

et encore, avec un chiffre 1 etkchiffres 6 suivis d’un 7 :

5·10^k+1+ 1 3

!2

= 2·10^2k+2+7·10^2k+2−7·10^k+2

9 +8·10^k+2−80

9 + 9

soit 167² = 27889, (16. . .67)² = 27. . .78. . .89.

On a aussi, avec des nombres de la forme 3. . .36. . .67 = (10^m+ 10ⁿ+ 1)/3, selon le nombre respectif des 3 et des 6, des carr´es analogues `a

3367² = 11336689, 3667²= 13446889, 33367²= 1113356689.

Mais (6. . .6)² = 4. . .435. . .56, ce qui ne convient pas.

Le dernier chiffre de la racine ne peut pas ˆetre un 9, donc aucun 9 n’apparaˆıt dans la racine. Dans le carr´e, seul le chiffre des unit´es peut ˆetre un 9, car 99 n’est pas une terminaison de carr´e

Regardons les premiers chiffres de la racine : si c’est 77 ou plus, la fin sera 88 et la fin du carr´e sera 44, incompatible avec le d´ebut du carr´e qui est 59 ou plus. Le carr´e, s’il a un nombre pair de chiffres, ne peut commencer par un 5 ou plus car la racine commencerait par un 7. De mˆeme si le carr´e commence par 45 ou plus, car la racine commencerait par 67.

On a vu ci-dessus des exemples de carr´es (`a nombre pair de chiffres) com- men¸cant par 44, la racine commence par un 6 et peut se terminer par 67, mais non par 66 ou 68. Peut-elle se terminer par 88 ? Alors 44. . .44 serait un carr´e, mais de reste 12 modulo 16, ce qui est impossible.

Si la racine commence par un 5 (donc au moins 55), ce sera par 57 ou 58 pour que le carr´e commence par 33, la racine finira par 88 et le carr´e sera de la forme 3. . .34. . .4 avec une racine de la forme 57. . .78. . .8. Mais 788² et 888² donnent 944 et 544 modulo 1000, ce qui ne convient pas.

Si la racine commence par un 4, c’est au moins par 44 et comme 19. . .9 n’est pas acceptable pour le carr´e, celui-ci est 22. . .au moins, la racine commence par 471 au moins donc 477, elle finit par 88, et comme ci-dessus ni 788 ni 888 ne conviennent comme terminaison.

Si la racine commence par 3, on a vu ci-dessus les solutions “t´elescopiques”

ayant autant de chiffres que l’on veut. Il faut y ajouter 38² = 1444, mais 138 et 238 donnent 044 et 644 modulo 1000. 13. . .38 et 23. . .38 donnent 04. . .4 et 64. . .4. Quant `a 3. . .38)² = 1. . .42. . .244, il ne convient pas non plus.

Si la racine commence par un 2, c’est au moins par 222 et comme 49. . .9 n’est pas acceptable pour le carr´e, celui-ci est 55. . . au moins, il finit par 56, 69 ou 89. En confrontant les conditions “chiffres non d´ecroissants” pour le carr´e et la racine, on trouve comme plages admissibles pour les premiers chiffres, le chiffre 9 ´etant exclu :

– 55 `a 58 (carr´e), 234 `a 238 (racine), – 66 `a 68 (carr´e), 257 `a 258 (racine), – 77 `a 78 (carr´e), 277 `a 278 (racine).

Les terminaisons acceptables pour la racine sont 33, 34, 37, 66, 67, du point de vue de la terminaison du carr´e (56, 69 ou 89), ce qui laisse seulement 55

`

a 58 pour le d´ebut du carr´e.

Si 5. . .56 est un carr´e 4a², 36a² = 5·10^k+2+ 4, et 9a² = 1 + 125·10^k. aest impair, et (3a+ 1)/2) et (3a−1)/2 sont deux entiers premiers entre eux ; celui qui est impair est une puissance de 5 (exposantk+ 3), l’autre une

puissance de 2 (exposantk−2) : il est ´evident que leur diff´erence ne peut pas ˆetre 1.

La terminaison 69 correspond `a la terminaison 37 pour la racine, mais 237² = 56169, et la terminaison 37 est incompatible avec un d´ebut 234 ou plus.

Reste la terminaison 89, avec la terminaison 67 pour la racine 23. . .67 o`u les points de suspension peuvent a priori ˆetre des chiffres 4, 5 ou 6 en ordre non d´ecroissant. Cependant, on voit qu’un chiffre 4 ou 5 pr´ec´edant la s´equence 6. . .67 fera apparaˆıtre un 0 ou un 2 dans le carr´e. Et si la racine est 236. . .67, les premiers chiffres du carr´e sont 560.

Si la racine (>17) commence par 17 ou plus, c’est au moins par 177, le carr´e commence par 3 donc au moins 33, la racine commence par 18 au moins et se termine par 88, mais 888² se termine par 544 et 188²= 35344.

Si la racine (>167) commence par 167 ou 168, elle se termine par 88 et le carr´e se termine par 44 en commen¸cant par 27 ou 28. Ainsi les “bonnes”

racines commen¸cant par 16 sont 16, 167, 16. . .67 comme on l’a vu.

Il faudrait poursuivre l’analyse sur les racines dont le premier chiffre est 1. Un examen rapide n’y montre pas d’autre solution que celles d´ej`a ren- contr´ees. Pour pouvoir consacrer un peu de temps `a la seconde question, je me contente de r´ecapituler les solutions trouv´ees :

– les “isol´ees” : 1, 2, 3, 6, 12, 13, 15, 16, 38, 116, 117,

– les “familles” : 4 pr´ec´ed´e ou non par un nombre quelconque de 3 ; 5 pr´ec´ed´e ou non par un nombre quelconque de 3 ; 7 pr´ec´ed´e ou non de 3 et/ou de 6 en nombres quelconques ; 1 et 7 s´epar´es ou non par des 6 en nombre quelconque.

Seconde question : chiffres non croissants

Dressons la liste de possibilit´es (modulo 100) `a explorer, pour les nombres

`

a chiffres non croissants dont le carr´e a la mˆeme propri´et´e. Il faut y ajouter les entiers 1, 2 et 3 dont le carr´e n’a qu’un chiffre. En outre, toute solution peut ˆetre compl´et´ee par des z´eros ´ecrits `a sa droite.

carr´es racines i21 11, 61 p41 21, 71 i61 31, 81 p81 41, 91 44 62, 88 64 42, 92 84 22, 72 76 74, 76 96 64, 86

Carr´es `a chiffres non croissants se terminant par 96 : ce n’est pas le cas de 64² ni 86²; si la racine a plus de 2 chiffres, les 3 derniers ne sont ni 664, ni 764, ni 864, ni 964, ni 986, car seul 886 a un carr´e se terminant par 996, mais le chiffre des milliers est pair, ce qui exclut qu’un carr´ex886²se termine par 9996. Je dirai que la liste des terminaisons possibles est constitu´ee de 886 (pour 3 chiffres), mais aucune valeur pour plus de 3 chiffres. Ainsi n’y a-t-il pas de solution dans cette cat´egorie.

Carr´es se terminant par 76 : selon la mˆeme m´ethode de filtrage, la liste des terminaisons de la racine ne comprend que 874, car les carr´es de 8874 et 9874 se terminent par 7876 et 5876, il n’y a donc pas de solution, car 74²= 5476, 76² = 5776.

Carr´es se terminant par 84 : la racine peut se terminer par 772, 622 ; 8622 ; 98622 ; mais le carr´e de 998622 se termine par 898884 : pas de solution car 22² = 484, 72² = 5184.

Racines se terminant par 92 : le carr´e de 992 se termine par 064 : pas de solution, 92²= 8464.

Racines se terminant par 91 : le carr´e de 991 se termine par 081 : pas de solution, 91²= 8281.

Racines se terminant par 88 : la racine peut se terminer par 888 ; 8888 ; 88888 ; 888888 ; 8888888 ; le carr´e de 98888888 se termine par 69876544, celui de 88888888 par 09876544 : pas de solution autre que 88² = 7744.

Racines se terminant par 81 : les carr´es de 981 et 881 se terminent par 361 et 161 : pas de solution car 81² = 6561.

Carr´es se terminant par 81, racines se terminant par 41 : la racine peut se terminer par 641 ; 9641 ; mais le carr´e de 99641 se termine par 28881 : pas de solution autre que 9² = 81.

Racines se terminant par 71 : la racine peut se terminer par 771, 871, 971 ; 7771, 9871 ; 7771, mais 77771², 87771² et 97771² se terminent par 28441,

48441 et 68441, donc pas de solution car 71²= 5041.

Carr´es se terminant par 64, racines se terminant par 42 : la racine peut se terminer par 542, 842 ; 6542, 9542 ; 76542 ; 876542, mais 8876542² et 9876542² se terminent par 7877764 et 1877764 : pas de solution autre que 8² = 64.

Racines se terminant par 62 : terminaisons possibles 762, 962 ; 7762, 9762 ; mais 99762² se termine par 56644 ; 77762², 87762² et 97762² se terminent par 28644, 68644 et 08644, donc pas de solution car 62²= 3844.

Racines se terminant par 61 : terminaisons possibles 661, 861, 961 ; 8861, 9861 ; 88861, 98861 ; 888861 ; 8888861, mais 88888861² et 98888861² se ter- minent par 09877321 et 29877321, donc pas de solution car 61² = 3721.

Carr´es se terminant pari61 : la racine peut se terminer par 431, 531, 931 ; 6431, 7431 ; 66431, 76431, 97431 ; 966431, mais 9966431² se termine par 6877761 : pas de solution autre que 31² = 961.

Carr´es se terminant parp41, racines se terminant par 21 : la mˆeme m´ethode de filtrage donne comme terminaisons possibles pour la racine : 221, 521, 621, 721 ; 5221, 7521, 8521, 9521, 6621, 7621, 8721, 9721 ; 75221, 98521, 76621, 86621 ; 975221, 986621 ; mais aucune terminaison `a 7 chiffres : pas de solution autre que 21² = 441.

Carr´es se terminant par i21, racines se terminant par 11 : les terminaisons possibles pour la racine sont : 111, 211, 311, 411, 611, 711, 811, 911 ; 1111, 2111, 3111, 6111, 7111, 8111, 2211, 6211, 7211, 6311, 6611, 7611, 8611, 7711 ; 11111, 21111, 31111, 61111, 71111, 81111, 22111, 62111, 72111, 63111, 66111, 76111, 52211, 66211, 86311, 86611, 96611, 87611, 77711 ; 111111, 211111, 611111, 711111, 621111, 661111, 761111, 662111, 666111, 552211 ; 1111111, 2111111, 6111111, 7111111, 6661111, 8666111 ; 11111111, 61111111, 66111111 ; 111111111, 611111111 ; mais aucune terminaison `a 10 chiffres, et aucun nombre de moins de 10 chiffres ne donne de solution.

En conclusion, les nombresN r´epondant `a la seconde question sont 8, 9, 21, 31 et 88, `a compl´eter par les nombres 1, 2, 3 (`a carr´e d’un chiffre) et les nombres qui en d´erivent en ajoutant un ou des z´eros `a leur droite.