Université Paris Dauphine Année universitaire 2013-2014
Première année DEGEAD Cours-TD de MR. BEY
Analyse Réelle, Optimisation libre et sous contrainte Groupes 12 & 17
Cours 17 : 25/11/2013
Chapitre 22 : Généralités sur les extrema
1. Extrema globaux et locaux sur un sous-ensemble.
2. Simplification d’un problème d’extremum.
Chapitre 23 : Extrema libres pour deux variables
1. Conditions nécessaires ou conditions du premier ordre.
2. Nature des points critiques.
3. Quelques conseils pour résoudre un système non linéaire.
Solutions TD 17
Extrema libres des fonctions de deux variables Exercice 1.64
D´terminer les extrema locaux des fonctions suivantes sur R2. Montrer que les extrema locaux trouv´es ne sont pas des extrema globaux.
a) f(x, y) = x3+ 3xy2−15x−12y La fonctionf est de classeC2 sur R2. La fonction f n’est pas major´ee globalement (on le voit en fixantxet en faisant tendre y vers l’infini).
D´eterminons les points critique de f afin de d´eterminer ses extremis locaux. Pour tout R2,
∇f(x, y) = (3x2+ 3y2−15,6xy−12)
donc (
3x2+ 3y2−15 = 0
6xy−12 = 0
implique (
3(2/y)2+ 3y2−15 = 0 x= 2/y la premi`ere equation est r´esolue pour
(y2)1,2 = 5±√
25−16
2 ={4; 1} c’est-`a dir pour
y1,2,3,4 ={−2;−1; 1; 2}
Il y a quatre points critiques: A = (−1,−2), B = (−2,−1), C = (2,1) et D = (1,2). D´eterminons la hessienne de f, pour tout (x, y)∈R2
D2f(x, y) =
6x 6y 6y 6x
= 6
x y y x
son determinant est det (D2f(x, y)) = 6(x2 − y2), qui calcul´e dans les points critiques est det (D2f(A)) = 6(1−4) =−18 = det (D2f(D)) donc A, D donnent points cols et det (D2f(B)) = 6(4 − 1) = 18 = det (D2f(C)) et B donne un point de maximum local (r = t = −2) et D donne un point de minimum local (r =t= 2).
b) g(x, y) = x3 +y3 −3ax o`u a ∈ R2. La fonction g est de classe C2 sur R2: la fonction g n’est pas major´ee globalement (on le voit en fixant x et en faisant tendre y vers l’infini).
D´eterminons les points critique deg afin de d´eterminer ses extremis locaux. Pour tout R2,
∇g(x, y) = (3x2−3ay,3y2−3ay) 1
donc (
3x2−3ay = 0 3y2−3ax = 0
On obtient les deux points critiques A = (0,0) et B = (a, a). D´eterminons la hessienne de g, pour tout (x, y) ∈R2
D2g(x, y) =
6x −3a
−3a 6y
son determinant est det (D2g(x, y)) = 9(4xy−a2), qui calcul´e en A est negatif det (D2g(A)) = −a2 < 0, alors A est un point col et en B est det (D2g(x, y)) = 9(4a2 − a2) = 27a2 > 0 pour tout a ∈ R2 mais si x = y = a > 0 on a g(B) minimum local et si x=y =a <0 on a f(B) maximum local.
c) h(x, y) = x4 + y3 − 4y − 2 est de classe C2 sur R2 et elle n’est pas major´ee globalement. D´eterminons les points critique dehafin de d´eterminer ses extremis locaux. Pour tout R2,
∇h(x, y) = (4x3,3y2−4)
donc (
4x3 = 0 3y2−4 = 0
qui implique (
x = 0 y =±√23
donnant deux points critiques A = (0,−√23) et B = (0,√23). D´eterminons la hessienne de h, pour tout (x, y) ∈R2
D2h(x, y) =
12x2 0 0 6y
son determinant est det (D2h(x, y)) = 72x2y, qui calcul´e en A et B est null donc on peut rien dire avec le th´eoreme. Il faut ´ecrire le DL d’ordre 2 aux points critiques:
1. h(l,±√23 +k)−h(0,±√23) =±2√
3k2+reste.
2. On suppose |l|,|k| suffisamment petites.
(a) pour k 6= 0, le signe de h(l,±√23 +k)−h(0,±√23) ' ±2√
3k2 est negative pour le point A et positive pour le point B.
(b) pourk = 0 il faut ´etudier directement le signe deh(l,±√23+k)−h(0,±√23) = l4 ≥0, dans ce cas la diff´erence est toujours positive.
3. Sur tout voisinage de Ala diff´erenceh(l,±√23+k)−h(0,−√23) change de signe et par suite h admet un point col enA. Par contre sur tout voisinage deB la diff´erence h(l,±√23 +k)−h(0, √23) est toujours positive et par suite h admet un minimum en h(B)
2
d) k(x, y) = x3 +xy2 −x2y −y3 est de classe C2 sur R2 et elle n’est pas major´ee globalement. D´eterminons les points critique de kafin de d´eterminer ses extremis locaux. Pour tout R2,
∇k(x, y) = (3x2+y2−2xy,2xy−x2−3y2)
donc (
3x2+y2−2xy = 0 2xy−x2−3y2 = 0
donnant comme point critique A = (0,0). D´eterminons la hessienne de k, pour tout (x, y)∈R2
D2k(x, y) =
2(3x−y) 2(y−x) 2(y−x) −2(3y−x)
son determinant est det (D2k(x, y)) = 4(x−3y)(3x−y)−4(y−x)2, qui calcul´e en A est n´egatif donc k(A) est un point col.
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