Janvier 2012

PanaMaths

[1 - 3]

Janvier 2012

On considère :

1

:

0 ^xt

f x ⁶ ∫ t dt

1. Déterminer le domaine de définition de la fonction f.

2. Donner un développement en série de la fonction f.

Analyse

L’expression « t^xt » se récrit sous forme exponentielle (question 1) et donne ainsi l’idée de base du développement en série. Le résultat de la question 2 se construit alors en deux temps : une inversion « série-intégrale » puis le calcul d’une intégrale.

Résolution

Question 1.

Pour tout réel x et tout réel t strictement positif, on a : t^xt =e^{x tlnt}. Seule la borne « 0 » pose donc potentiellement problème.

En tenant compte de

0 0

lim ln 0

x x

t t

→>

= , il vient pour tout réel x :

0 0

lim ln 0

x x

x t t

→>

= puis, par

composition : ^{ln 0}

0 0

0 0

lim ^xt lim ^{xt t} 1

x x

x x

t e e

→ →

> >

= = = . Pour tout x réel, on peut donc prolonger la fonction ln

t6x t t par continuité en 0.

Finalement :

La fonction f est définie sur \.

Question 2.

Pour tout x réel, on a :

( )

ln 0

ln

!

n xt x t t

n

x t t

t e

n

+∞

=

= =

∑

On a donc :

( )

^{1 1}

( )

0 0

0

ln

!

n xt

n

x t t

f x t dt dt

n

+∞

=

=

∫

=

∫ ∑

^.

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[2 - 3]

Janvier 2012

On peut alors se demander si une inversion « série-intégrale » est envisageable.

Posons : ^ln

( ) ( )

0 0

ln

!

n x t t

n

n n

x t t

e u t

n

+∞ +∞

= =

=

∑

=

∑

^{où : u tn}

^{( ) (}

^{= x t}_n^ln_!^t

⁾

^{n .}

On peut s’intéresser à la convergence normale de la série de fonctions

∑

u_n, soit à la série numérique :

∑

u_{n ∞}^.

Pour x réel fixé, on a :

[ ]

( )

[ ]

( )

[ ]

( )

[ ]

( )

0 ;1 0 ;1 0 ;1 0 ;1

ln 1

sup sup ln sup ln sup ln

! ! ! !

n n

n

n

n n

n n

x x

x t t

u x t t t t t t

n n n n

∞ = = = = .

Considérons alors la fonction ϕ définie sur l’intervalle

[ ]

^{0 ; 1 par :}

] ]

0 si 0

: ln si 0 ;1

t t

t t t

ϕ ^⎧⎪_⎨ ⁼

⎪⎩ ∈ 6

La fonction ϕ est continue sur l’intervalle

] ]

^{0 ; 1} comme produit de deux fonctions continues sur cet intervalle. Par ailleurs, on a :

( ) ( )

0 0

lim 0 0

t t

ϕ t ϕ

→>

= = . La fonction ϕ est donc continue en 0. Finalement, La fonction ϕ est continue sur l’intervalle

[ ]

^{0 ; 1 .}

La fonction ϕ est dérivable sur l’intervalle

] ]

^{0 ; 1} comme produit de deux fonctions

dérivables sur cet intervalle et pour tout réel t dans

] ]

^{0 ; 1 , on a : '}

( )

^{t 1 lnt t 1 lnt 1}

ϕ = × + × =t + . On en tire : ^'

( )

^{t 0 lnt 1 0 lnt 1 t 1}

ϕ < ⇔ + < ⇔ < − ⇔ < e et ^'

( )

^{t 0 t 1}

ϕ = ⇔ =e. La fonction ϕ est strictement décroissante sur l’intervalle 0 ;¹

e

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦ et strictement croissante sur l’intervalle ¹; 1

e

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦. Elle admet donc un minimum pour 1

t=e et 1 1 1 1

e e lne e

ϕ⎛ ⎞ = ×⎜ ⎟⎝ ⎠ = − . Comme ϕ

( )

⁰ =ϕ

( )

¹ =⁰, on en déduit finalement

[ ]

( )

0 ;1

sup t 1

ϕ = e, puis, la fonction t6tⁿ étant strictement croissante sur \₊ :

[ ]_{0 ;1}

( ( ) )

^{1 1}

!sup ! !

n n n n

n n

x x x

u t

n ϕ n e n e

∞

⎛ ⎞

= = ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = ⎜⎝ ⎟⎠ .

On doit donc étudier la série numérique : 1

! x n

n e

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

^.

La convergence est immédiate pour x=0. On suppose donc x≠0.

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[3 - 3]

Janvier 2012

On a, pour tout entier naturel n non nul :

( )

1 1

1 ! 1

1 1

!

n

n

x

n e x

n e

x

n e

⎛ ⎞ +

⎜ ⎟

+ ⎝ ⎠ = ×

⎛ ⎞ +

⎜ ⎟

⎝ ⎠

On a alors immédiatement : 1

lim 0

1

n

x

n e

→+∞

⎛ ⎞

× =

⎜ + ⎟

⎝ ⎠ et la règle de D’Alembert nous permet de

conclure que la série 1

!

n n

u x

n e

∞

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ ∑

est convergente.

En définitive, pour tout x réel, la série

∑

u_n est normalement (et donc uniformément) convergente. L’inversion « série-intégrale » peut être opérée et il vient :

( )

^{1 1}

( )

¹

( )

¹

( )

0 0 0 0

0 0 0

ln ln

! ! ! ln

n n n

xt n

n n n

x t t x t t x

f x t dt dt dt t t dt

n n n

+∞ +∞ +∞

= = =

=

∫

=

∫ ∑

=

∑ ∫

=

∑ ∫

Posons alors : In =

∫

₀¹

(

t^lnt

)

ⁿdt^.

On a immédiatement I₀=1 et pour tout entier naturel n non nul, on a, en intégrant par parties :

( )

N( )

( )

N( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1 1 1

0 0 0

' 0

0

1 1 1 2 1

0 2 0 0

1 1

0

1

ln ln 1 ln ln

1 1

1 !

ln ln ... 1

1 1 1

! 1

1 1 1

1 !

1

n n n n n n n

n

f t g t

n n n

n n n

n

n n

n

n

n

I t t dt t t dt t t n t t dt

n n

n n n n

t t dt t t dt t dt

n n n

n t

n n n n

+ −

− −

+

+

⎡ ⎤

= = =⎢⎣ + ⎥⎦ − +

= − = − = = −

+ + +

⎡ ⎤

= − + ⎢⎣ + ⎥⎦

= − +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

Finalement :

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

1

1 1

0 0 0 0

ln 1 !

! ! 1 1

n n n

n n

n n

n n n

x x n x

f x t t dt

n n n n

+∞ +∞ +∞

+ +

= = =

= = × − = −

+ +

∑ ∫ ∑ ∑

( ) ( )

( )

1 0 1

0

,

1

n xt

n n

x f x t dt x

n

+∞

= +

∀ ∈ = = −

∑

+

∫

\