Correction DM : Saut d'une moto

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DM - Sciences Industrielles pour l'Ingénieur

Correction DM : Saut d'une moto

Partie 0 : Préliminaires

Question 1:

F(t) = Mg u(t), soit Fp=Mg p Question 2:



^p²^M^f p k

M



^Y^^p=^gp

Yp= g

p



^p²^^M^f ^p^M^k



Question 3:

lim

t∞

yt=lim

p0

p Yp=M g k Question 4:

On obtient 2z₀= f

M et k M =₀²

Ainsi ₀=



^M^k ^et ^z⁼^2M^f



^M^k ⁼²

^

^{k M}^f

Pour déterminer la réponse temporelle et étudier son allure, il est nécessaire de déterminer les racines du polynôme du second degré Dp=p²2z₀p₀²

Question 5:

=4z²₀² 4₀²=4₀²z² 1

Ainsi pour z > 1 le discriminant est positif et le polynôme possède deux racines réelles.

Partie I - Cas de racines réelles

Question 6:

Les racines réelles sont données par

ω₁= p₁ avec p₁= zω₀ ω₀

√

^z² ¹ ^et ^ω2= p₂ avec p₂= zω₀+ ω₀

√

^z² ¹ ^{avec p}1et p₂pôles La décomposition en éléments simples de Y p est la suivante :

Y p= A

p B

p ₁ C p₂

En évaluant p Y p en p=0, on obtient A= g

_1.₂= g

₀²

En évaluant



^p^{ }1



^Y ^^p^ en p= ₁, on obtient B= g

₁



^2 ₁



De même on a C= g

₂



^1 ₂



d'où Y p= g

₀²⋅



¹p

₂

₂ ₁⋅ 1

p₁ ₁

₂ ₁⋅ 1 p ₂



1/4

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DM - Sciences Industrielles pour l'Ingénieur Question 7:

On a alors en revenant dans le domaine temporel (en utilisant le tableau des transformées) : yt=utg



¹^^B^exp



^1t



^^C^exp



^2t



soit : yt=ut ^g

₀²



¹



^2^²₁



^exp



₁t



 ₁



^2 ₁



^exp



₂t

 

Question 8:

Question 9: Commenter l'influence de z sur la rapidité de la réponse.

On constate que plus z est proche de 1 plus le système est rapide.

Question 10:

La différence est essentiellement repérable à l'origine, où la pente du premier ordre est non nulle alors qu'elle est nulle pour le second ordre.

Partie II - Cas des racines complexes

Question 11:

La décomposition en éléments simples donne Yp=A

p B pC p²2z₀p₀²

Il est possible de déterminer par les méthodes vues en cours A et B mais C doit être obtenue par identification, donc il est préférable de tout faire par identification.

On met au même dénominateur les deux fractions : On a alors : Y p= A



^p²^²^z^0 p ₀²



^^^Bp^C^ ^p

p



^p²^²^z^0 p₀²



2/4

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En développant, on a par identification avec l'expression initiale : AB=0, 2z₀ AC=0 et A= g

₀² d'où B= g

₀² et C= 2z g

₀ On a alors la relation Y p= g

₀²



¹^p ^p²^^p²^^z²^^z0^p⁰₀²



Question 12:

Dans le tableau, on constate que les 2^nd ordres sont mis sous la forme pa² ² On écrit alors le polynôme de second degré sous forme canonique :

p²2z₀p₀²=pz₀²₀²1 z²=pa²²_p en utilisant les notations proposées Ainsi Yp= g

₀²



¹^p ^^p^p^a²^2a^p 2



⁼^^g0

2



¹^p ^^pa^p^a^²^²^p ^^a^p^^pa^²^p^²^p



En utilisant le tableau, il vient directement : yt= g

₀²ut



¹^–^exp^ ^z^⁰^t^cos^⁰

^

¹ ^z²^t^^–



¹^z ^z²^exp^ ^z^⁰^t^sin^⁰



¹ ^z²^t^



Question 13:

En mettant exp



^apt





¹ ^z² en facteur, on obtient :

yt=K ut



¹

_

1¹ z² exp



^apt

  

¹ ^z²^sin



^pt



^^z ^cos



^pt

  

soit en posant



^{cos=}^{z et} ^{sin=}



¹ ^z²



alors yt= g

₀²ut



¹^–



¹¹ ^z²^exp^ ^z^⁰^t^



^cos0



¹ ^z²^t^sin^cos^^sin0



¹ ^z²^t^

 

En utilisant une formule de trigonométrie ( cosa⋅sinbcosb⋅sina=sinab), on aboutit au résultat demandé.

On donne ci-dessous l'évolution de yt

g/₀² en fonction de ₀ pour z fixé.

Question 14:

Pour z fixé, on constate que les variations de ₀ n'entraîne pas de variation des dépassements, l'amortissement ne varie pas. La pseudo-période est modifiée et la rapidité également.

Question 15:

Les dépassements correspondent à des dérivées nulles.

On calcule donc la dérivée de y(t) et on cherche les instants pour lesquels elle s'annule.

Une manière rapide de calculer la dérivée est d'utiliser Y(p) sachant que la dérivée correspond à p.Y(p) soit : g

pa² ²_p= g

_p⋅ _p

pa²²_p

En revenant dans le domaine temporel, on obtient : y 't= g

₀



¹ ^z²^e

z₀t

sin



^0



¹ ^z²^t



Ainsi la fonction y'(t) s'annule lorsque t=k 

₀



¹ ^z²⁼^{k T}^/2

3/4

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Pour le premier dépassement (t=T/2), on a alors : D₁= g

₀²exp z



¹ ^z²^ soit en pourcentage par rapport à la valeur finale déterminée à la question D₁_%=exp

 

¹ ^z^z²^



Question 16:

On constate que la valeur de z pour laquelle le temps de réponse à 5% est le plus faible est environ z=0.7

Partie III - Réglages de la suspension.

Question 17:

Pour la valeur z=0.7, D1% = 5%

Question 18:

On en déduit ₀=10rad/s Question 19:

La courbe a déjà été tracée précédemment. On mesure un temps de réponse à 5% de 0.3s environ et un dépassement légèrement inférieur à 5%

Question 20:

On a



¹⁰⁰^k ⁼¹⁰^rad^/^s

et 0.7= f 2



¹⁰⁰^k

Ainsi k = 10000 N/m (100 N/cm) f = 1400 N/m/s

4/4

0 0,5 1 1,5 2 2,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

Z=0.1 Z=0.3 Z=0.5 Z=0.7 Z=0.9

temps(secondes)

réponse