Correction DM n°01

Correction Devoir maison n°1 - 2

2

1. figure

2. On considère le triangle OAB. On sait que OA=6 et OB =8.

On souhaite calculer la longueur AB, pour cela on utilise le théorème de Pythagore dans le triangle AOB rectangle en B.

On a : 𝐴𝐵²= 𝑂𝐴²+ 𝑂𝐵² = 6²+ 8² = 36 + 64 = 100

Donc 𝐴𝐵 = √100 = 10

Conclusion : AB mesure 10 cm ; 𝟏𝟎 ∈ ℕ 3. On considère le triangle AOB, où (BA)//(FD)

D’après le théorème de Thalès, on a : ^𝑂𝐷

𝑂𝐴= ^𝑂𝐹

𝑂𝐵(=^𝐹𝐷

𝐵𝐴) Or on sait que : 𝑂𝐷 = 4 ; 𝑂𝐴 = 6 ; 𝑂𝐵 = 8

Donc ⁴

6=^𝑂𝐹

8

D’où 𝑂𝐹 = 8 ×⁴₆=³²₆ =¹⁶₃

Conclusion : OF mesure ¹⁶

3 cm ; ^𝟏𝟔

𝟑 ∈ ℚ

D’après le théorème de Thalès, on avait aussi : _𝑂𝐵^𝑂𝐹=^𝐹𝐷

𝐵𝐴

Or on sait que 𝑂𝐵 = 8 ; 𝑂𝐹 =¹⁶

3 ; 𝐵𝐴 = 10 Donc

16 3

8 =^𝐹𝐷

10

D’où 𝐹𝐷 =

16 3

8 × 10 =¹⁶

24× 10 =¹⁶⁰

24 =^20×8

3×8 =²⁰

3

Conclusion : FD mesure ²⁰₃ cm ; ^𝟐𝟎_𝟑 ∈ ℚ

4.

a) 𝐴𝑖𝑟𝑒(𝑂𝐴𝐵) =𝑏𝑎𝑠𝑒 ×ℎ𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟

2 =^{𝑂𝐵×𝑂𝐴}

2 =^6×8

2 =⁴⁸

2 = 24 Conclusion : L’aire de OAB vaut 24 cm² ; 𝟐𝟒 ∈ ℕ

b) On sait que H est le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OAB.

Donc par définition de la hauteur : (𝑂𝐻) est perpendiculaire à (𝐴𝐵).

D’où 𝐴𝑖𝑟𝑒(𝑂𝐴𝐵) =𝑏𝑎𝑠𝑒 ×ℎ𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟

2 =^{𝐴𝐵×𝑂𝐻}

2 =^10×𝑂𝐻

2 = 5 × 𝑂𝐻 c) On en déduit alors que : 5 × 𝑂𝐻 = 24

Donc 𝑂𝐻 = 4,8

Conclusion : OH mesure 4,8 cm ; 4,8 ∈ 𝔻

5. On considère le triangle OHA rectangle en H.

D’après le théorème de Pythagore dans OHA, on a : 𝑂𝐴² = 𝐻𝐴² + 𝑂𝐻² Donc 𝐻𝐴²= 𝑂𝐴²− 𝑂𝐻²

= 6²− 4,8² = 12,96

D’où 𝐻𝐴 = √12,96 =¹⁸₅ = 3,6

Conclusion : AH mesure 3,6 cm ; 𝟑, 𝟔 ∈ 𝔻

6. On considère le triangle BOD rectangle en O.

D’après le théorème de Pythagore, on a : 𝐷𝐵² = 𝑂𝐷² + 𝑂𝐵² Donc 𝐷𝐵² = 4²+ 8² = 16 + 64 = 80

D’où 𝐷𝐵 = √80 = 4√5

Conclusion : DB mesure 4√5 𝑐𝑚 ; 𝟒√𝟓 ∈ ℝ On considère le triangle OBE rectangle en O.

D’après le théorème de Pythagore, on a : 𝐵𝐸² = 𝑂𝐵² + 𝑂𝐸² Donc 𝐵𝐸²= 8²+ 8² = 64 + 64 = 128

D’où 𝐵𝐸 = √128 = 8√2

Conclusion : BE mesure 8√2 𝑐𝑚 ; 𝟖√𝟐 ∈ ℝ