D6-DM
Les fonctions
TaleSTI2DExercice1 (QCM - Lecture graphique)
On considère une fonctionf définie et dérivable sur l’intervalle [−2 ; 10 ] représentée graphiquement par la courbeCf ci-dessous. La droiteDest la tangente àCf au point B et les tangentes aux pointsC et Esont parallèles à l’axe des abscisses.
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1
−2
−3
b b b
B
C
E Cf
D
1. Quelle est la valeur def(2) ?
a.f(2) = 0 b.f(2) = 4,38 c.f(2) = 4,5 2. Quelle est la valeur def′(0) nombre dérivé def en 0 ?
a.f′(0) = 2,5 b.f′(0) = 2 c.f′(0) = 0,5 3. Quel est l’ensemble S des solutions de l’équationf(x) = 0 ?
a.S=∅ b.S={ −1 ; 6 ; 10} c.S={2 ; 8} 4. Quelle est l’équation réduite de la droiteD?
a.y= 2,5x+ 4 b.y=−2x+ 2,5 c.y= 2x+ 2,5 5. Quel est l’ensemble S′ des solutions de l’inéquationf′(x)>0 ?
a.S = ] 2 ; 8 [ b.S= [−2; 2 [∪] 8; 10 ] c.S={2 ; 8}
Exercice2 (Fonctions logarithme et de l’exponentielle) Partie A - Étude d’une fonction auxiliaire
Soitg la fonction définie sur [ 1 ; +∞[ par g(x) = 1−x−1
ex . 1. Déterminer les valeurs exactes deg(1) et deg(2).
2. On admet que lim
x→+∞g(x) = 1. Interpréter graphiquement cette limite.
3. (a) On noteg′la fonction dérivée de la fonctiong. Montrer queg′(x) = x−2 ex . (b) Étudier le signe deg′(x) sur [ 1 ; +∞[.
(c) Dresser le tableau de variations deg.
(d) Grâce au tableau de variation, en déduire queg(x) est positif sur [ 1 ; +∞[.
Partie B - Étude d’une fonction Soitf la fonction définie sur ] 1 ; +∞[ par
f(x) = 1 ex − 1
e2 + ln(x−1).
On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal (O, I, J) d’unité graphique 1 cm.
1. On admet que lim
x→1f(x) =−∞et que lim
x→+∞f(x) = +∞.
En déduire l’existence d’une asymptote ∆ à la courbe C, dont on précisera une équation.
2. On note f′ la fonction dérivée de la fonctionf. (a) Montrer quef′(x) =−1
ex+ 1 x−1. (b) En déduire quef′(x) = g(x)
x−1.
(c) En déduire le sens de variation de f sur ] 1 ; +∞[.
Dresser la tableau de variation def. 3. (a) Calculerf(2) etf′(2).
(b) Déterminer l’équation de la tangente T à la courbe au point d’abscisse 2.
Partie C - Représentation graphique
Dans le repère défini précédemment, tracer les droites ∆ etT puis la courbeC.
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Les fonctions
TaleSTI2DCorrection du D6-DM
Exercice1
Réponses du Q.C.M. : 1b 2b 3b 4c 5b
Exercice2
Partie A - Étude d’une fonction auxiliaire 1. On trouveg(1) = 1−1−1
e1 = 1 etg(2) = 1−2−1 e2 donc : g(1) = 1 etg(2) = 1−e−2
2. la droite d’équationy= 1 est asymptote horizontale en +∞à la courbe re- présentative de la fonctiong.
3. (a) g′(x) = 0−1×ex−(x−1)ex
(ex)2 = (x−2)ex
e2x =⇒ g′(x) = x−2 ex (b) Signe deex: positif surR,
Signe dex−2 :x−2≤0⇐⇒x≤2 etx−2≥0⇐⇒x≥2 d’où le signe deg′(x) :
g′(x)≤0 sur [ 1 ; 2 ] etg′(x)≥0 sur [ 2 ; +∞] (c) D’où le tableau de variation :
x 1 2 +∞
g′(x) − 0 +
1 1
g
1−e−2
(d) Au vu du tableau de variation, étant donné que 1−e−2 ≈ 0,86 > 0, g(x) est toujours positif puisque son minimum est strictement positif.
Partie B - Étude d’une fonction.
1. On en déduit que la droite ∆ d’équation x= 1 est asymptote verticale à la courbeC.
2. (a) f′(x) = −ex
(ex)2 −0 + 1
x−1 donc : f′(x) =−1 ex + 1
x−1
(b) g(x) x−1 = 1
x−1 − x−1
ex(x−1) = 1 x−1 − 1
ex. D’où f′(x) = g(x) x−1 (c) signe deg(x) : positif d’après la partie A,
signe de (x−1) : positif sur l’intervalle [1; +∞[
x 1 +∞
f′(x) +
+∞
f
−∞
3. (a) On trouvef(2) = 1 e2 − 1
e2+ ln(2−1) = ln(1) d’où f(2) = 0 etf′(2) = g(2)
2−1 = 1−e−2 d’où f′(2) = 1−e−2
(b) T a pour équation y = f′(2)(x−2) +f(2) = (1 −e−2)(x−2) soit T :y= (1−e−2)x−2 + 2e−2≈0,86x−1,73
Partie C - Représentation graphique.
1 2
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3 4 5 6 7 8
−1
∆ C
T
b
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