Chapitre 10 Vecteurs
Leçon 23 Vecteurs du plan
Le cours 1. Vecteurs Définition :
Un vecteur est un segment de droite orienté.
Le premier point, A, est l’origine, le second, B, est l’extrémité du vecteur AB.
Un vecteur est déterminé par :
• Sa direction,
• Son sens,
• Sa longueur (sa norme).
On désigne ce vecteur par la notation
AB(lire « vecteur AB »)
On peut utiliser une seule lettre pour désigner un vecteur quelconque d’une famille de vecteurs égaux :
u=AB.
- Une unité de longueur étant choisie, la longueur du segment
ABest la longueur de
AB(on dit parfois son module, ou son intensité).
Cette longueur se représente par la notation
AB= ABou
AB= AB. 2. Vecteurs de même direction
Ce sont des vecteurs dont les supports sont des droites parallèles (fig. 1) ou confondues (fig. 2).
Ces vecteurs sont également dits colinéaires.
Fig. 1 fig.2 Vecteurs de même direction ou colinéaires 3. Vecteurs égaux
Définition
On dit que deux vecteurs sont égaux (équipollents) lorsqu’ils ont : - même sens et
- même longueur.
On note :
AB=CD. 4. Vecteurs particuliers
B
D A
C E
F
A
B
D
C
A
B
C
D
' x
A origine
B extrémité AB
x
• Vecteur nul
0:
Tout vecteur ayant l’extrémité confondue avec l’origine est le vecteur
nul :
0=
=
=BB MM
AA
.
Sa norme est nulle, sa direction n’est pas définie.
• Vecteurs opposés :
Deux vecteurs sont opposés lorsqu’ils ont : - même direction,
- même longueur et - des sens contraires.
Les vecteurs
ABet
BAsont opposés. On note :
AA=−BA5. Relation de Chasles Soit deux points A et C.
Quel que soit le point B, on a :
AB+BC = AC6. Somme de deux vecteurs Soit deux vecteurs
uet
v,
La somme de deux vecteurs
uet
vest le vecteur, noté «
u+v», défini ainsi : A étant un point quelconque, on place le point B tel que
u=ABpuis le point
C tel que
BC=v; alors
u+v= AC.
Représentation de
u+vpar la règle du parallélogramme.
Lorsque les deux vecteurs
uet
vont le même origine A,
u=ABet
v=AD, le vecteur
u+vest égal à
ACoù C est le point tel que ABCD est un
parallélogramme.
A
B
A C
B
AB BC
AC BC AB+ =
v u
u
v u+
v A
B
C
D
C
A
B u
v
u
v u+ v
Propriété : Quel que soit les vecteurs
uet
v, on a :
u+v=v+u.
7. Produit d’un vecteur par un réel Définition:
u
désigne un vecteur non nul et k un réel non nul.
Le produit du vecteur
upar le réel k est le vecteur
kutel que :
kuet
uont même direction.
Lorsque
k0:
•
kuet
usont de même sens ;
• la longueur de
kuest le produit de
kpar la longueur de
u.
Lorsque
k0:
•
kuet
usont de sens contraires ;
• la longueur de
kuest le produit de
(−k)par la longueur de
u.
La norme de
kuest le produit de la norme de
upar la valeur absolue de
k:
u k u
k =
.
Remarque : Lorsque
u=0ou
k =0, par convention :
ku=0. 8. Repère et coordonnées
- Soit M un point quelconque du plan de repère
(O;i, j), il existe un couple
(x; y)de nombres réels tels que :
OM xi yj+
=
.
j et i
sont les vecteurs unitaires de coordonnées respectives
(1;0) et (0;1).
On note
= 0 i 1
et
= 1 j 0
Le couple
(x; y)est le couple de coordonnées du point M ou de vecteur
OM
dans le repère
(O;i, j). - Dire que le vecteur
ua pour coordonnées
(x ; y)signifie que
u=xi+ yj. On note alors
u(x ; y)ou bien
= y u x
. Théorème
- Soit deux points
A(xA ; yA)et
B(xB ; yB)dans un repère
(O;i, j). Le vecteur
ABa pour coordonnées
(xB−xA ; yB− yA).
On écrit
−
= −
A B
A B
y y
x AB x
• u
u k •
• u
u k
•
- Un vecteur nul est un vecteur de cordonnées
0
0
. On écrit
= 0 0 0
. 9. Propriétés des coordonnées
Soit deux vecteurs de coordonnées
b
a
et
d
c
dans un repère
(O;i, j).
1.
=
d c b
a
si et seulement si :
a=cet
b=d.
2.
+
= +
+
d b
c a d c b a
3.
−
= −
−
d b
c a d c b a
4.
=
b a b
a
,
est un réel.
5. Les vecteurs
b
a
et
d
c
sont colinéaires, si et seulement si
ad=bcou
ad−bc=010. Norme d’un vecteur
Dans un repère
(O;i, j), on considère les points
P(x1 ; y1)et
Q(x2 ; y2): la distance
PQou la norme du vecteur
PQest calculée par :
(
x2 x1) (
2 y2 y1)
2PQ PQ
PQ= = = − + −
.
Produit scalaire dans le plan Définition :
Dans un repère orthonormé, les vecteurs
uet
vont pour coordonnées respectives
)
;
(x y
et
(x'; y').
Le produit scalaire des vecteurs
uet
v, est un RÉEL x x ' + y y ' . On le note
uv(lire «
uscalaire
v») : u v = x x ' + y y '
. Propriétés
1. Soit trois vecteurs
u v w ,,
et un réel
a, on a:
1.
uv =vu2.
u( )
v+w =uv +uw3.
a( ) ( )
uv = au v=u( )
av4.
0= 0=0 u u5.
uu=u2 = u26.
ii= i2 =1,
jj = j2 =1,
i j =0. 2. Si
est la mesure de l’angle des vecteurs
uet
vtelle que
0 180alors
uv= uvcos .
3. Soit deux vecteurs
u,vnon nuls.
1)
uet
vsont orthogonaux si et seulement si
uv=0:
v
u⊥ uv =0
u
et
vsont colinéaires si et seulement si
u v u v
=
. Exercices
1. Soit
uun vecteur. Exprimer les vecteurs
vet
wen fonction de
u. a.
3u−2v=vb.
2u+w=2w+5u.
2. Soit deux vecteurs
uet
vnon colinéaires et deux vecteurs
wet
stels que
w=(
a+4b) (
u+ 2a+b+1)
v,
s=(
b+2a+2) (
u+ 2a−3b−1)
v.
Trouver les réels a et b tel que
3w=2s3. Soit le segment
AB. C est un point de
ABtel que
AB:CD=m:n. O est un point situé à l’extérieur de
AB. Sachant que
OA=v,OB=u,
montrer que (
nv mu)
n
OC m +
= 1+
.
4. Soit un carré ABCD. M et N sont les milieux respectifs des côtés BC et
CD. Tel que
u= AMet
v= AN, montrer que
AB u v 3 2 34 −
=
.
6. Dans un repère orthonormé, on considère les points
A(2;3), B(−2;4) et C(−1;−3). Calculer les coordonnées des vecteurs
AB,AC,BC,BA,CA et CB.
7. Soit
A(3;2)et
−1
TU 2
. Calculer les coordonnées des points A et B tels que
TU CA et TU
AB= =
.
8. Soit
=−
3
a 1
,
= 4
b 3
. Calculer :
a.
a−5bb. le vecteur opposé à
a−5b. 9. Citer le couple des vecteurs colinéaires.
−
−
4
; 2 0
; 8 0
; 7 3
; 1 3
; 6 4
; 8 1
; 2 2 1
10. Exprimer chacun des vecteurs suivants en fonction de
i et j.
a.
= 4 AO 1
b.
ABtel que A(3;2) et B(-4;1) c.
CDtel que C(-3;4) et D(1;-2)
11. Calculer la norme de chacun des vecteurs suivants.
a.
−
−
−
2
; 3 4
; 1 4
; 3 2 1
b.
ABtel que
A(1; 2)et
B(5; 7). 12. Résoudre les équations suivantes :
a.
=
+
8 7 4 3 2
1 y
x
b.
=
+ −
2 3 1
1 3
1 y
x
13. Trouver le vecteur unitaire en fonction de
i et jqui a le même sens que chacun des vecteurs suivants :
a.
= 1
u 2
b.
=−
3
u 2
c.
ABtel que A(1;-3) et B(-4;5).
14. Trouver le vecteur de 4 unités et colinéaires à chaque vecteurs ci-dessous.
a.
= 1
u 2
b.
=−
3
u 2
c.
ABtel que A(1;-3) et B(-4;5).
1. Dans chacun des cas, calculer le produit scalaire
uva.
u =3i+4j&v=2i+ jb.
u =2i+5j&v=+j2. ABC est un triangle tel que
Aˆ =90, AB=2, AC= 5 , BC=3.
Calculer le produit scalaire suivant :
BABC, ABBC et ACCA
.
3. ABC est un triangle tel que
Bˆ=45,Cˆ =30, AB= 2,AC=2,BC= 3+1. Calculer les produits scalaires
BA BC CA CB AB BC. , . , .et
CB CA..
4. Dans chacun des cas, calculer la mesure de l’angle des vecteurs
uet
v. a.
u=3i+2j&v=9i+6jb.
u=3i+ j&v=−2i+6j5. Soit trois vecteurs
= − 3
a 2
;
= 3
b 4
et
= − 1
c 1
. Calculer : a.
ab+acb. ( ) ( )
a+b a+bc.
b( )
a+bd. ( ) ( )
a+b a−b6. Soit deux vecteurs
aet
b. Dans chacun des cas, donner la nature de l’angle des vecteurs
aet
b.
a.
ab0b.
ab=0c.
ab07. Vérifier que si deux vecteurs sont perpendiculaires.
a.
−
2 , 3 3
2
b.
−
3 , 1 6 2
8. Soit deux vecteurs
v et vtels que
u=(
1−m)
i+2j&v=mi+(
m+2)
j. Déterminer le réel m pour que :
a.
u⊥vb.
u v=
9. Soit deux vecteurs
uet
vnon nuls. Montrer que :
a.
u+v2 = u2 +2uv+ v2b.
u−v2 =u2−2uv+v210. Soit deux vecteurs non nuls
uet
v. Montrer que : a. Si
u⊥v, alors
u v2 u2 v2+
=
+
.
b. Si
u⊥v, alors
u v2 u2 v2 +=
−
.
11. ABC est un triangle rectangle en A tel que :
AC =b, AB =c et BC =a
. Montrer que
a2 =b2+c2. 12. Soit
u =2, v =4 et u+v =6. Calculer
uv. 13. Soit
u =1, v =3 et u−v = 13. Calculer
2u+v. 14. Soit
u =5, v =3 et u+v = 13. Calculer
u−v.
15. Soit trois vecteurs
u , v & wtels que
u w u v u w +=
−
= ,
et
(
u;v)
=36.
Calculer la mesure de l’angle des vecteurs
v et w.
Leçon 24 Vecteurs de l’espace
Repérage dans l’espace
Par analogie avec ce qui a été fait en géométrie plane, à chaque couple
(
A,B)
de points de l’espace, on associe un vecteur AB.Dans le plan, la donnée d’un repère
(
O;i,j)
permet de repérer tout point M par ses deux coordonnées.Dans l’espace, un point sera repère par trois coordonnées.
Activité 1 repère et coordonnées.
Choisissons d’abord un repère de l’espace, c’est-à-dire un point O et trois vecteurs i=OI , OJ
j =
, k=OK
, de façon que trois points I,J, K ne soient pas dans un même plan.
Alors on peut repérer tout point M par ses trois coordonnées (x;y;z) dans ce repère.
Sur la figure ci-contre : x=2, y=3, z=4. La droite
(
MM')
est parallèle a( )
OK ; M' est dans le plan(
OIJ)
.La droite
(
MM'')
est parallèle a(
OM')
. On dit que :=2
x est l’abscisse de M ;
=3
y est l’ordonnée de M ;
=4
z est la cote de M .
- Dresser
(
O;i,j,k)
et placer dans ce repère les ponts(
1;1;1)
M , N
(
1;2;0)
et P(
0;0;3)
. Activité 2 dans un cubeOABCDEFG est un cube, OA=4. On choisit le repère
(
O;OI,OJ,OK)
.1. Quelles sont les coordonnées des huit sommets du cube ? 2. Quelles sont les coordonnées du centre du carré OABC ? 3. Quelles sont les coordonnées du centre du cube ?
4. Où sont situés le point dont la cote zest égale à zéro ? 5. Où sont situés les points dont l’abscisse xest égale à 2 ? 6. Où sont situés les points dont l’ordonnée yest égale à 6 ? Cours
1. Vecteurs de l’espace
La notion de vecteurs vue en géométrie plane se généralise sans difficultés à l’espace.
1) Par analogie avec ce qui a été fait en géométrie plane, à tout couple
(
A,B)
de points de l’espace, on associe un vecteur AB.• Lorsque AB,
- la direction de AB est celle de la droite
( )
AB , xy z
O 2
J K I 3
M
' M ' ' 4 M
D
F G
A
4 C
4
x B
y z
O J
K
I E 4
- le sens de AB est le sens de A vers B,
- la longueur ou norme de AB est la distance AB. La norme de AB st note AB ; alors AB =AB.
• Lorsque A=B, AA est le vecteur nul, note 0 .
On désigne des vecteurs par une seule lettre, surmontée d’une flèche, par exemple
,v, w, u
2) Pour tout point O de l’espace et tout vecteur u
, il existe un point Aet un seul tel que u
OA= .
3) Deux vecteurs sont égaux :
- lorsqu’ils sont nuls tous les deux, ou, - lorsqu’ils sont non nuls, ils ont
même direction, même sens, même longueur.
Lorsque les quatre points A, B,C, D ne sont pas
alignés, AB=CD équivaut à :ABCD est un parallélogramme.
4) Les règles de calcul sur les vecteurs de l’espace sont analogues aux règles de calcul sur les vecteurs du plan.
5) . Dire que les vecteurs non nuls u et v
sont colinéaires équivaut a dire qu’il existe un nombre k tel que u=kv.
. A,B,C étant trois points distincts, dire que A,B,C son alignes, équivaut à dire qu’il existe un nombre k tel que AC =kAB
2. Repères et coordonnées 1) Repères
Choisir un repère de l’espace, c’est choisir un point O, appelé origine du repère, et un triplet
(
i,j,k)
de vecteurs non coplanaires.On note alors
(
O;i,j,k)
ce repère.2) Coordonnées d’un point, d’un vecteur
• Coordonnées d’un point
La parallèle menée par M à la droite
( )
OK coupe le plan(
OIJ)
en M'.La parallèle menée par M à la droite
(
OM')
coupe la droite( )
OK en M''.Le quadrilatère OM'MM'' est un parallélogramme, donc '
'
' OM
OM
OM = + .
Notons
( )
x;y les cordonnées de M' dans le plan de repère(
O;i,j)
; ainsij y i x
OM
+
=
' . Par ailleurs, OM'' et k
sot colinéaires, donc il existe un nombre z tel que OM zk
= '
' .
D’où : OM OM OM xi yj zk + +
= +
= ' '' .
A
B
C
D
x
J K I y
M
' M ' ' M z
On dit que (x;y;z) sont les coordonnées du point M dans le repère
(
O;i,j,k)
, ouencore que (x;y;z)sont les coordonnées du vecteur OM .
On note alors M(x;y;z) et l’on dit que x est l’abscisse de M , y l’ordonnée de M , z la cote de M , dans le repère
(
O;i,j,k)
.Théorème
(
O;i,j,k)
est un repère de l’espace.Pour tout point M de l’espace, il existe un unique triplet (x;y;z)de nombres réels tel que k
z j y i x
OM
+ +
= .
Exemple 1 :
ABCDEFGH est un cube. Les trois vecteurs AE
AD
AB, , , par exemple, ne sont pas coplanaires et forme une base. On peut alors considérer le repère
(
A;AB,AD,AE)
.Dans ce repère, les huit sommets du cube ont pour coordonnées :
(
0;0;0) (
,B1;0;0) (
,D 0;1;0) (
,E 0;0;1)
, A(
1;1;0) (
,F1;0;1) (
,G1;1;1) (
,H 0;1;1)
C .
Les coordonnées du vecteur AFdans la base
(
AB,AD,AE)
, par exemple, sont les coordonnées de F.• Coordonnées d’un vecteur Définition
(
O;i,j,k)
est un repère de l’espace. Dire que le vecteur ua pour coordonnées
(
x;y;z)
dans la base
(
i,j,k)
signifie que le point M tel que OM =u a pour coordonnées(
x;y;z)
dans le repère(
O;i,j,k)
et on le note
=
= z y x u OM
. Exemple : Dans un même repère
(
O;i,j,k)
, construire les vecteurs :
−
= 4 1 3 a
,
−
= 2 1
4 b
et
= 4 3 2 c
. Solution :
D
G F
A
C
B E
H
a b
c
y z
3. Calculs sur les coordonnées
Tous les résultats de la géométrie plane concernent les coordonnées de points et de vecteurs s’étendent à l’espace par adjonction d’une troisième coordonnée.
Dans un repère donné : - Le vecteur nul note 0
:
= 0 0 0 0
- Soit deux vecteurs
= z y x u
et
= ' ' ' '
z y x u
• Le vecteur opposé de u
note −u :
−
−
−
=
−
=
−
z y x
z y x u
• pour tout nombre k,
=
=
kz ky kx z
y x k u k
• u=u' équivaut à
=
' ' ' z y x
z y x
•
+ + +
=
+
= +
' ' ' '
' ' '
z z
y y
x x
z y x
z y x u u
•
−
−
−
=
−
=
−
' ' ' '
' ' '
z z
y y
x x z y x z y x u u
- Soit deux points M
(
x;y;z)
et M'(
x';y';z')
•
−
−
−
= z z
y y
x x MM
' ' ' '
Exemple 1 : Dans un même repère
(
O;i,j,k)
, on considère les vecteurs
= 3 1 2 a
et
= 4 3 1 b
. x
Déterminer les vecteurs a b a b a b
− +
− ,2 , 3 ,2 . Solution :
−
−
−
=
−
=
−
3 1 2 3
1 2 a
,
=
=
8 6 2 4 3 1 2 2b
=
+ +
+
=
+
=
+
= +
15 10 5 12 3
9 1
3 2 12 9 3 3 1 2 4 3 1 3 3 1 2 3b a
−
=
−
−
−
=
−
=
−
=
−
2 1 3 4
6 3 2
1 4 4 3 1 6 2 4 4 3 1 3 1 2 2 2a b
Exemple 2 : Dans un même repère
(
O;i,j,k)
, on considère les points P(
2;−3;1)
et Q(
0;4;−2)
. Déterminer les coordonnées du vecteur PQ.Solution : On a :
−
−
=
−
− +
−
=
−
−
−
=
3 7 2 1
2 3 4
2 0
Q P
Q P
Q P
z z
y y
x x PQ
Exercices
1. Sur la figure ci-dessous, ABCDEFGH est un cube. Quelles sont les coordonnées des six autres sommets de ce cube.
2. Sur la figure ci-dessous, OABCDEFG est un parallélépipède. Quelles sont les coordonnées des sept autres sommets de ce parallélépipède ?
x B
y z
D C
F H
E
) 3 , 4 , 1 ( G
) 0 , 1 , 3 ( A
O
B
A
B D
G F
x
O E(2,4,2)
y z
C
3. Dans un repère
(
O;i,j,k)
, placer les points A(
1;2;0) (
, B −1;2;1)
, C(
−1;3;2)
et D(
−2;−1;−1)
. 4. Dans un repère(
O;i,j,k)
, on considère les points P(
1;−2;2) (
,Q 2;1;4)
,M(
0;1;2) (
,N 2;1;4)
etle vecteur
−
= 3 1 2
OA . Écrire les cordonnées des vecteurs OA, PQ et MN sous forme k
z j y i
x +
+ .
5. Déterminer les coordonnées des vecteurs MN et NM tels que : a. M
(
−1;2;1) (
,N 2;−2;4)
b. M(
4;1;7) (
,N −2;2;4)
c. M
(
5;7;9) (
,N 8;6;4)
d. M(
0;8;9) (
,N 3;7;3)
6. Calculer x+ y+z tel que i−4j+k= x
(
i+ j) (
+y j−i)
+z(
2k− j)
.7. Soit deux vecteurs
−
= 3 0 2 a
et
= 1
3 2 b
. Calculer : a. a b a b a b a b
2 , 4 4 , 5 ,
3 − − −
+
b. Les vecteurs opposés des vecteurs a b
−
5 ; a b
−2 .
8. On considère les points R
(
−2;−1;2) (
,S 0;−5;6)
. Déterminer un vecteur de trois unités et de sens contraire du vecteur RS.9. Indiquer, parmi les vecteurs suivants, ceux qui sont colinéaires ?
−
−
−
=
−
=
=
−
−
=
−
−
=
−
=
3 2 3 1 1 ,
2 3 0 ,
2 1 1 ,
3 6 3 ,
2 3 0 ,
1 2 1
f e
d c
b
a
4. Norme d’un vecteur, distance de deux points Théorème
Dans un repère orthonormé, 1) Si un vecteur
= c b a u
, alors la norme de u
est : u = a2 +b2+c2 2) Si les points M
(
x;y;z)
et M'(
x';y';z')
, alors la distance de MM' est :(
') (
2 ') (
2 ')
2' x x y y z z
MM = − + − + −
Démonstration :
1) Notons
(
O;i,j,k)
le repère orthonormé considéré et M le point tel que OM =u.Alors
= c b a
OM et u =OM .
Puisque le repère est orthogonal, le triangle OmM est rectangle en m.
Donc OM2 =Om2+mM2.
Or Om2 =a2+b2 et mM2 =Om'2=c2 ; donc OM2=a2+b2+c2, c’est-à-dire
2 2 2 2
c b a
u = + +
donc u = a2+b2 +c2 .
2) ' ' .
2 2
MM MM =
Or le vecteur
−
−
−
= z z
y y
x x MM
' ' '
' . Alors, d’après la partie 1 du théorème,
( ) (
2) (
2)
22 2
' '
' '
' MM x x y y z z
MM = = − + − + − donc MM'=
(
x'−x) (
2 + y'−y) (
2 + z'−z)
2 .Exemple : On considère le vecteur
−
= 3 1 2 a
et les points A
(
1;3;0) (
,S 2;−1;1)
. Calculer la norme du vecteur aet la distance AB. Solution :
- La norme du vecteur a
: a = (−2)2 +12+32 = 4+1+9 = 15
- la distance AB : AB=
(
2−1) (
2+ −1−3) (
2+ 1−0)
2 = 1+16+1= 18=3 2 5. Vecteur unitaireDéfinition
- Un vecteur unitaire est un vecteur de norme 1.
Dans un repère orthonormé
(
O;i,j,k)
,
= 0 0 1 i
, i = 12+02 +02 = 1=1
1 1 0 1 0 ,
0 1 0
2 2
2 + + = =
=
= j
j
1 1 1 0 0 ,
1 0 0
2 2
2+ + = =
=
= j
k
- Soit le vecteur
= c b a u
, u
peut s’écrire sous forme : a
j k i b
M
m c
m'
z
x
) 1
; 0
; 0 ( k
y )
0
; 0
; 1 ( i
) 0
; 1
; 0 (
j
k z j y i a c
b a c b a c b a
u
+ +
=
+
+
=
+
+
=
=
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
- Le vecteur non nul est unitaire et de même direction que le vecteur
= c b a u
est
le vecteur :
+
= +
=
c b a c b u a
u u
2 2 2
' 1
.
Exemple : Soit les points A
(
2;0;−1)
et(
3;−1;1)
. Déterminer un vecteur unitaire de même direction que le vecteur AB.Solution : On a :
−
=
−
−
−
−
−
=
−
−
−
=
2 1 1 )
1 ( 1
0 1
2 3
A B
A B
A B
z z
y y
x x AB
(
3−2) (
2 + −1−0) (
2+ 1−(−1))
2 = 1+1+4= 6=
=AB AB
Si on désigne le vecteur unitaire de même direction que le vecteur AB par u
, alors on obtient :
−
=
=
2 1 1 6 1 AB u AB
. On écrit aussi sous forme : u i j k 6 1 6 1 6
1 + +
= .
6. Cosinus directeur d’un vecteur Soit un vecteur
= c b a
OP et les angles ,, tels que =
(
OP,Oy)
, =(
OP,Ox)
et =
(
OP,Oz)
.- Le triangle OPA est rectangle en A, on a : OM
a OM
OA =
= cos
- Le triangle OPB est rectangle en B, on a :
OM b OM
OB =
= cos
- Le triangle OPC est rectangle en C, on a :
OM c OM
OC =
= cos
Les angles , , sont appelés angles directeurs de OPpar rapport à l’axe
( )
Ox ,( )
Oy et( )
Oz . Les nombres cos , coset cos sont appelés cosinus directeurs de OPpar rapport à l’axe( )
Ox ,( )
Oy et( )
Oz . DéfinitionO z
) (a A
) y (b B
x ) , , (a b c P )
(c C
Les cosinus directeurs du vecteur
= c b a u
tel que u 0
par rapport à l’axe
( )
Ox ,( )
Oy et( )
Oz sontles nombres respectifs
u c u b u
a , , .
Exemple 1 : Trouver les cosinus directeurs du vecteur
= 1
2 3 u
. Solution :
On a u = 32+22+12 = 140
, donc les cosinus directeurs du vecteur u
sont les nombres : 14
, 1 14 , 2 14
3 .
Exemple 2 : Trouver les cosinus directeurs du vecteur MN tel que M
(
1,3,5)
et N(
3,4,7)
. Solution :On a
=
−
−
−
=
2 1 2 5 7
3 4
1 3
MN et MN = 22 +12 +22 = 9 =30, donc les cosinus directeurs du
vecteur MN sont les nombres :
3 ,2 3 ,1 3
2 .
Propriété
- Deux vecteurs sont colinéaires et de même sens lorsqu’ils ont mêmes cosinus directeurs.
- Deux vecteurs sont colinéaires et de sens contraires lorsque leurs cosinus directeurs sont opposés.
Exemple 3 : Étudier la colinéarité des vecteurs suivants.
Les vecteurs
−
= 4 10
2 u
, b
d’origine
(
1,2,3)
et d’extrémité(
2,−3,5)
et cd’origine O et d’extrémité
(
−3,15,−6)
.Solution :
- On a u = 22+(−10)2 +42 = 4+100+16= 120=2 30 , donc les cosinus directeurs du vecteur u
sont les nombres : 30
2 , 4 30 2 , 10 30 2
2 −
ou
30 , 2 30 , 5 30
1 −
.
- On a
−
=
−
−
−
−
=
2 5 1 3
5 2 3
1 2 b
et b = 12+(−5)2+22 = 1+25+4 = 30
,
donc les cosinus directeurs du vecteur b
sont les nombres :
30 , 2 30 , 5 30
1 −
.
- On a
−
−
=
−
−
−
−
−
=
6 15 3 0
6 0 15
0 3 c
et c = (−3)2 +152 +(−6)2 = 9+225+36= 270=3 30 , donc les cosinus directeurs du vecteur c
sont les nombres :
30 3 , 6 30 3 , 15 30 3
3 −
− ou
30 , 2 30 , 5 30
1 −
− .
On constate que : les vecteurs u b , et c
sont colinéaires : . u
et b
sont colinéaires et de même sens . b
et c
sont colinéaires et de sens contraires.
Exercices 1. Calculer la norme de chacun des vecteurs suivants.
−
−
=
−
=
=
8 0 10 ,
4 1 2 ,
3 2 1
c b
a
et AB tel que A
(
3;4;1) (
,B1;−1;6)
. 2. Dans un repère(
O;i,j,k)
, on considère les points P(
1;−3;6) (
,Q 3;−2;1)
.Calculer la distance PQ.
3. Quelle est la nature du triangle de sommets A
(
1;2;1) (
,B −3;7;9)
et C(
11;4;2)
. 4. Résoudre l’équation :
−
=
+
+
1 7 3 2
1 1 1
2 3 3
1 1
z y
x .
5. Déterminer le vecteur unitaire de même direction que le vecteur :
−
= 3
2 1 a
, QR tel que Q
(
1;5;8) (
,R0;−3;1)
.6. Déterminer le vecteur de deux unités et de même direction que le vecteur :
−
= 3
2 1 a
, QR tel que Q
(
1;5;8) (
,R0;−3;1)
.7. Calculer les cosinus directeurs de chacun des vecteurs suivants.
a. Vecteur d’origine A
(
2,5,3)
et d’extrémité B(
3,5,−1)
b. Vecteur d’origine M
(
−1,4,−2)
et d’extrémité N(
2,−4,7)
c. Vecteur d’origine S
(
−3,1,0)
et d’extrémité T(
4,2,8)
8. Étudier la colinéarité des vecteurs suivants.
Les vecteurs
= 2 4 3 u
, PQ avec P
(
1,4,3)
et Q(
−2,0,1)
, OR R(
5,0,2)
. 7. Produit scalaireDéfinition
Le produit de deux vecteurs non nuls est un scalaire (un nombre) Théorème
Soit deux vecteurs non nuls u , v
tels que u xi yj zk + +
= et v xi y j z k ' '
' + +
= . Le produit scalaire
de u et v
note uv et calcule ainsi :
' ' ' yy zz xx
v
u= + +
Exemple : Soit
−
= 5
1 2 u
et
−
= 6 4 3 v
, on a :
( ) ( )
3 14 5 6 6 4 30 20 26 4 3 5 1 2
= +
−
−
=
+
− +
−
=
−
−
=
v u
Propriétés
1. Soit les vecteurs u , v
, w
et un scalaire non nul.
1) uv=vu
2) u v w u v u w
+
= +
( )
3) (uv)=(u)v=u(v) 4) 0= 0=0
u u
5) u u u2 u2
=
=
6) ii= jj =kk=1 7) ij =ik= jk=0
2. Lorsque est l’angle entre deux vecteurs u et v
tel que 0 180, on a :
cos v u v u
=
3. Lorsque u,v0
, on a : 1) u⊥vuv=vu=0 2) u v u v u v
=
//
Démonstration 1. 1) uv=vu
Soit u xi yj zk + +
= et v xi y j z k ' '
' + +
= , on a :
. uv=xx'+yy'+zz' . vu=x'x+y'y+z'z
Puisque la multiplication est commutative on a donc : z
z y y x x zz yy
xx'+ '+ '= ' + ' + ' cela montre uv=vu. 5) uu=u2 = u2
Soit
= z y x u
on a :
(
2 2 2)
2 22 2
2 y z x y z u
x zz yy xx z y x z y x u
u
= + +
= + +
= + +
=
=
2. Lorsque est l’angle entre deux vecteurs u et v
tel que 0 180, on a :
cos v u v u
=
.