Chapitre 10 Vecteurs Leçon 23 Vecteurs du plan Le cours 1. Vecteurs

Chapitre 10 Vecteurs

Leçon 23 Vecteurs du plan

Le cours 1. Vecteurs Définition :

Un vecteur est un segment de droite orienté.

Le premier point, A, est l’origine, le second, B, est l’extrémité du vecteur AB.

Un vecteur est déterminé par :

• Sa direction,

• Son sens,

• Sa longueur (sa norme).

On désigne ce vecteur par la notation

AB

(lire « vecteur AB »)

On peut utiliser une seule lettre pour désigner un vecteur quelconque d’une famille de vecteurs égaux :

u=AB

.

- Une unité de longueur étant choisie, la longueur du segment  

AB

est la longueur de

AB

(on dit parfois son module, ou son intensité).

Cette longueur se représente par la notation

AB= AB

ou

AB= AB

. 2. Vecteurs de même direction

Ce sont des vecteurs dont les supports sont des droites parallèles (fig. 1) ou confondues (fig. 2).

Ces vecteurs sont également dits colinéaires.

Fig. 1 fig.2 Vecteurs de même direction ou colinéaires 3. Vecteurs égaux

Définition

On dit que deux vecteurs sont égaux (équipollents) lorsqu’ils ont : - même sens et

- même longueur.

On note :

AB=CD

. 4. Vecteurs particuliers

B

D A

C E

F

A

B

D

C

A

B

C

D

' x

A origine

B extrémité AB

x

• Vecteur nul

0

:

Tout vecteur ayant l’extrémité confondue avec l’origine est le vecteur

nul :

0

=

=

=BB MM

AA

.

Sa norme est nulle, sa direction n’est pas définie.

• Vecteurs opposés :

Deux vecteurs sont opposés lorsqu’ils ont : - même direction,

- même longueur et - des sens contraires.

Les vecteurs

AB

et

BA

sont opposés. On note :

AA=−BA

5. Relation de Chasles Soit deux points A et C.

Quel que soit le point B, on a :

AB+BC = AC

6. Somme de deux vecteurs Soit deux vecteurs

u

et

v

,

La somme de deux vecteurs

u

et

v

est le vecteur, noté «

u+v

», défini ainsi : A étant un point quelconque, on place le point B tel que

u=AB

puis le point

C tel que

BC=v

; alors

u+v= AC

.

Représentation de

u+v

par la règle du parallélogramme.

Lorsque les deux vecteurs

u

et

v

ont le même origine A,

u=AB

et

v=AD

, le vecteur

u+v

est égal à

AC

où C est le point tel que ABCD est un

parallélogramme.

A

B

A C

B

AB BC

AC BC AB+ =

v u

u

v u+

v A

B

C

D

C

A

B u

v

u

v u+ v

Propriété : Quel que soit les vecteurs

u

et

v

, on a :

u+v=v+u

.

7. Produit d’un vecteur par un réel Définition:

u

désigne un vecteur non nul et k un réel non nul.

Le produit du vecteur

u

par le réel k est le vecteur

ku

tel que :

ku

et

u

ont même direction.

Lorsque

k0

:

•

ku

et

u

sont de même sens ;

• la longueur de

ku

est le produit de

k

par la longueur de

u

.

Lorsque

k0

:

•

ku

et

u

sont de sens contraires ;

• la longueur de

ku

est le produit de

(−k)

par la longueur de

u

.

La norme de

ku

est le produit de la norme de

u

par la valeur absolue de

k

:

u k u

k  =  

.

Remarque : Lorsque

u=0

ou

k =0

, par convention :

ku=0

. 8. Repère et coordonnées

- Soit M un point quelconque du plan de repère

(O;i, j)

, il existe un couple

(x; y)

de nombres réels tels que :

OM xi yj

+

=

.

j et i 



sont les vecteurs unitaires de coordonnées respectives

(1;0) et (0;1)

.

On note

_



 



= 0 i 1

et

_



 



= 1 j 0



Le couple

(x; y)

est le couple de coordonnées du point M ou de vecteur

OM

dans le repère

(O;i, j)

. - Dire que le vecteur

u

a pour coordonnées

(x ; y)

signifie que

u=xi+ yj

. On note alors

u(x ; y)

ou bien

_



 



= y u x

. Théorème

- Soit deux points

A(x_A ; y_A)

et

B(x_B ; y_B)

dans un repère

(O;i, j)

. Le vecteur

AB

a pour coordonnées

(x_B−x_A ; y_B− y_A)

.

On écrit

_



 





−

= −

A B

A B

y y

x AB x

• u

u k  •

• u

u k

•

- Un vecteur nul est un vecteur de cordonnées

_



 



 0

0

. On écrit

_



 



= 0 0 0

. 9. Propriétés des coordonnées

Soit deux vecteurs de coordonnées

_



 



 b

a

et

_



 



 d

c

dans un repère

(O;i, j)

.

1.

_



 



=



 





d c b

a

si et seulement si :

a=c

et

b=d

.

2.

_



 



 +

= +



 

 +



 





d b

c a d c b a

3.

_



 





−

= −



 



−



 





d b

c a d c b a

4.

_



 



=



 





b a b

a



 

,



est un réel.

5. Les vecteurs

_



 



 b

a

et

_



 



 d

c

sont colinéaires, si et seulement si

ad=bc

ou

ad−bc=0

10. Norme d’un vecteur

Dans un repère

(O;i, j)

, on considère les points

P(x₁ ; y₁)

et

Q(x₂ ; y₂)

: la distance

PQ

ou la norme du vecteur

PQ

est calculée par :

(

x₂ x₁

) (

² y₂ y₁

)

²

PQ PQ

PQ= = = − + −

.

Produit scalaire dans le plan Définition :

Dans un repère orthonormé, les vecteurs

u

et

v

ont pour coordonnées respectives

)

;

(x y

et

(x'; y')

.

Le produit scalaire des vecteurs

u

et

v

, est un RÉEL x x ' + y y ' . On le note

uv

(lire «

u

scalaire

v

») : u   v  = x x ' + y y '

. Propriétés

1. Soit trois vecteurs

u v w ,

,

et un réel

a

, on a:

1.

uv =vu

2.

^u

( )

^{v+w =uv +uw}

3.

^a

( ) ( )

^{uv = au v=u}

( )

^av

4.

0= 0=0 u u

5.

uu=u² = u²

6.

ii= i² =1

,

jj = j² =1

,

i j =0

. 2. Si



est la mesure de l’angle des vecteurs

u

et

v

telle que

0 180

alors

uv= uvcos

 .

3. Soit deux vecteurs

u,v

non nuls.

1)

u

et

v

sont orthogonaux si et seulement si

uv=0

:

v

u⊥  uv =0

u

et

v

sont colinéaires si et seulement si

u v u v



=



. Exercices

1. Soit

u

un vecteur. Exprimer les vecteurs

v

et

w

en fonction de

u

. a.

3u−2v=v

b.

2u+w=2w+5u

.

2. Soit deux vecteurs

u

et

v

non colinéaires et deux vecteurs

w

et

s

tels que

w=

(

a+4b

) (

u+ 2a+b+1

)

v

,

s=

(

b+2a+2

) (

u+ 2a−3b−1

)

v

.

Trouver les réels a et b tel que

3w=2s

3. Soit le segment  

AB

. C est un point de  

AB

tel que

AB:CD=m:n

. O est un point situé à l’extérieur de  

AB

. Sachant que

OA=v,OB=u

,

montrer que (

^{nv mu}

)

n

OC m +

= 1+

.

4. Soit un carré ABCD. M et N sont les milieux respectifs des côtés BC et

CD. Tel que

u= AM

et

v= AN

, montrer que

AB u v 3 2 3

4 −

=

.

6. Dans un repère orthonormé, on considère les points

A(2;3), B(−2;4) et C(−1;−3)

. Calculer les coordonnées des vecteurs

AB,AC,BC,BA,CA et CB

.

7. Soit

A(3;2)

et

_



 





−1

TU 2

. Calculer les coordonnées des points A et B tels que

TU CA et TU

AB= =

.

8. Soit

_



 



=−

3

a 1

,

_



 



= 4

b 3

. Calculer :

a.

a−5b

b. le vecteur opposé à

a−5b

. 9. Citer le couple des vecteurs colinéaires.



 



 



 



 



 



 



 



 



 



 



 





−

 −



 



 



 





4

; 2 0

; 8 0

; 7 3

; 1 3

; 6 4

; 8 1

; 2 2 1

10. Exprimer chacun des vecteurs suivants en fonction de

i et j

.

a.

_



 



= 4 AO 1

b.

AB

tel que A(3;2) et B(-4;1) c.

CD

tel que C(-3;4) et D(1;-2)

11. Calculer la norme de chacun des vecteurs suivants.

a.

_



 



 



 





−

 −



 





 −



 





2

; 3 4

; 1 4

; 3 2 1

b.

AB

tel que

A(1; 2)

et

B(5; 7)

. 12. Résoudre les équations suivantes :

a.

_



 



=



 

 + 



 





8 7 4 3 2

1 y

x

b.

_



 



=



 

 + −



 





2 3 1

1 3

1 y

x

13. Trouver le vecteur unitaire en fonction de

i et j

qui a le même sens que chacun des vecteurs suivants :

a.

_



 



= 1

u 2

b.

_



 



=−

3

u 2

c.

AB

tel que A(1;-3) et B(-4;5).

14. Trouver le vecteur de 4 unités et colinéaires à chaque vecteurs ci-dessous.

a.

_



 



= 1

u 2

b.

_



 



=−

3

u 2

c.

AB

tel que A(1;-3) et B(-4;5).

1. Dans chacun des cas, calculer le produit scalaire

uv

a.

u =3i+4j&v=2i+ j

b.

u =2i+5j&v=+j

2. ABC est un triangle tel que

Aˆ =90^, AB=2, AC= 5 , BC=3

.

Calculer le produit scalaire suivant :

BABC, ABBC et ACCA

.

3. ABC est un triangle tel que

Bˆ=45^,Cˆ =30^, AB= 2,AC=2,BC= 3+1

. Calculer les produits scalaires

BA BC CA CB AB BC. , . , .

et

CB CA.

.

4. Dans chacun des cas, calculer la mesure de l’angle des vecteurs

u

et

v

. a.

u=3i+2j&v=9i+6j

b.

u=3i+ j&v=−2i+6j

5. Soit trois vecteurs

_



 





= − 3

a 2

;

_



 



= 3

b 4

et

_



 





= − 1

c 1

. Calculer : a.

ab+ac

b. ( ) ( )

^{a+b  a+b}

c.

^b

( )

^a+b

^d. ( ) ( )

^{a+b  a−b}

6. Soit deux vecteurs

a

et

b

. Dans chacun des cas, donner la nature de l’angle des vecteurs

a

et

b

.

a.

ab0

b.

ab=0

c.

ab0

7. Vérifier que si deux vecteurs sont perpendiculaires.

a.

_



 





 −



 





2 , 3 3

2

b.

_



 



 −



 





3 , 1 6 2

8. Soit deux vecteurs

v et v

tels que

u=

(

1−m

)

i+2j&v=mi+

(

m+2

)

j

. Déterminer le réel m pour que :

a.

u⊥v

b.

u v

=

9. Soit deux vecteurs

u

et

v

non nuls. Montrer que :

a.

u+v² = u² +2uv+ v²

b.

u−v² =u²−2uv+v²

10. Soit deux vecteurs non nuls

u

et

v

. Montrer que : a. Si

u⊥v

, alors

u v² u² v²

+

=

+

.

b. Si

u⊥v

, alors

u v² u² v² +

=

−

.

11. ABC est un triangle rectangle en A tel que :

^{AC =b, AB =c et BC =a}

. Montrer que

a² =b²+c²

. 12. Soit

u =2, v =4 et u+v =6

. Calculer

uv

. 13. Soit

u =1, v =3 et u−v = 13

. Calculer

2^u+^v

. 14. Soit

u =5, v =3 et u+v = 13

. Calculer

^u−v

.

15. Soit trois vecteurs

u , v & w

tels que

u w u v u w +

=

−

= ,

et

(

u^;v^

)

=36^

.

Calculer la mesure de l’angle des vecteurs

v et w

.

Leçon 24 Vecteurs de l’espace

Repérage dans l’espace

Par analogie avec ce qui a été fait en géométrie plane, à chaque couple

(

A,B

)

de points de l’espace, on associe un vecteur AB.

Dans le plan, la donnée d’un repère

(

^O;i,j

)

permet de repérer tout point M par ses deux coordonnées.

Dans l’espace, un point sera repère par trois coordonnées.

Activité 1 repère et coordonnées.

Choisissons d’abord un repère de l’espace, c’est-à-dire un point O et trois vecteurs i=OI , OJ

j =

 , k=OK

, de façon que trois points I,J, K ne soient pas dans un même plan.

Alors on peut repérer tout point M par ses trois coordonnées (x;y;z) dans ce repère.

Sur la figure ci-contre : x=2, y=3, z=4. La droite

(

MM'

)

est parallèle a

( )

OK ; M' est dans le plan

(

OIJ

)

.

La droite

(

MM''

)

est parallèle a

(

OM'

)

. On dit que :

=2

x est l’abscisse de M ;

=3

y est l’ordonnée de M ;

=4

z est la cote de M .

- Dresser

(

^{O;i,j,k}

)

et placer dans ce repère les ponts

(

1;1;1

)

M , N

(

1;2;0

)

et P

(

0;0;3

)

. Activité 2 dans un cube

OABCDEFG est un cube, OA=4. On choisit le repère

(

^O;OI,OJ,OK

)

^.

1. Quelles sont les coordonnées des huit sommets du cube ? 2. Quelles sont les coordonnées du centre du carré OABC ? 3. Quelles sont les coordonnées du centre du cube ?

4. Où sont situés le point dont la cote zest égale à zéro ? 5. Où sont situés les points dont l’abscisse xest égale à 2 ? 6. Où sont situés les points dont l’ordonnée yest égale à 6 ? Cours

1. Vecteurs de l’espace

La notion de vecteurs vue en géométrie plane se généralise sans difficultés à l’espace.

1) Par analogie avec ce qui a été fait en géométrie plane, à tout couple

(

A,B

)

de points de l’espace, on associe un vecteur AB.

• Lorsque AB,

- la direction de AB est celle de la droite

( )

^AB , x

y z

O 2

J K I 3

M

' M ' ' 4 M

D

F G

A

4 C

4

x B

y z

O J

K

I E 4

- le sens de AB est le sens de A vers B,

- la longueur ou norme de AB est la distance AB. La norme de AB st note AB ; alors AB =AB.

• Lorsque A=B, AA est le vecteur nul, note 0 .

On désigne des vecteurs par une seule lettre, surmontée d’une flèche, par exemple

 



,v, w, u

2) Pour tout point O de l’espace et tout vecteur u

, il existe un point Aet un seul tel que u

OA= .

3) Deux vecteurs sont égaux :

- lorsqu’ils sont nuls tous les deux, ou, - lorsqu’ils sont non nuls, ils ont

même direction, même sens, même longueur.

Lorsque les quatre points A, B,C, D ne sont pas

alignés, AB=CD équivaut à :ABCD est un parallélogramme.

4) Les règles de calcul sur les vecteurs de l’espace sont analogues aux règles de calcul sur les vecteurs du plan.

5) . Dire que les vecteurs non nuls u et v

sont colinéaires équivaut a dire qu’il existe un nombre k tel que u=kv.

. A,B,C étant trois points distincts, dire que A,B,C son alignes, équivaut à dire qu’il existe un nombre k tel que AC =kAB

2. Repères et coordonnées 1) Repères

Choisir un repère de l’espace, c’est choisir un point O, appelé origine du repère, et un triplet

(

^{i,j,k}

)

de vecteurs non coplanaires.

On note alors

(

^{O;i,j,k}

)

ce repère.

2) Coordonnées d’un point, d’un vecteur

• Coordonnées d’un point

La parallèle menée par M à la droite

( )

OK coupe le plan

(

^OIJ

)

en M'.

La parallèle menée par M à la droite

(

OM'

)

coupe la droite

( )

OK en M''.

Le quadrilatère OM'MM'' est un parallélogramme, donc '

'

' OM

OM

OM = + .

Notons

( )

x;y les cordonnées de M' dans le plan de repère

(

^O;i,j

)

^{; ainsi}

j y i x

OM  

+

=

' . Par ailleurs, OM'' et k

sot colinéaires, donc il existe un nombre z tel que OM zk

=  '

' .

D’où : OM OM OM xi yj zk + +

= +

= ' '' .

A

B

C

D

x

J K I y

M

' M ' ' M z

On dit que (x;y;z) sont les coordonnées du point M dans le repère

(

^{O;i,j,k}

)

^{, ou}

encore que (x;y;z)sont les coordonnées du vecteur OM .

On note alors M(x;y;z) et l’on dit que x est l’abscisse de M , y l’ordonnée de M , z la cote de M , dans le repère

(

^{O;i,j,k}

)

^.

Théorème

(

^{O;i,j,k}

)

est un repère de l’espace.

Pour tout point M de l’espace, il existe un unique triplet (x;y;z)de nombres réels tel que k

z j y i x

OM   

+ +

= .

Exemple 1 :

ABCDEFGH est un cube. Les trois vecteurs AE

AD

AB, , , par exemple, ne sont pas coplanaires et forme une base. On peut alors considérer le repère

(

^A;AB,AD,AE

)

^.

Dans ce repère, les huit sommets du cube ont pour coordonnées :

(

0;0;0

) (

,B1;0;0

) (

,D 0;1;0

) (

,E 0;0;1

)

, A

(

1;1;0

) (

,F1;0;1

) (

,G1;1;1

) (

,H 0;1;1

)

C .

Les coordonnées du vecteur AFdans la base

(

^AB,AD,AE

)

, par exemple, sont les coordonnées de F.

• Coordonnées d’un vecteur Définition

(

^{O;i,j,k}

)

est un repère de l’espace. Dire que le vecteur u

a pour coordonnées

(

x;y;z

)

dans la base

(

^{i,j,k}

)

signifie que le point M tel que OM =u a pour coordonnées

(

x;y;z

)

dans le repère

(

^{O;i,j,k}

)

et on le note

















=

= z y x u OM 

. Exemple : Dans un même repère

(

^{O;i,j,k}

)

, construire les vecteurs :

















−

= 4 1 3 a

,

















−

= 2 1

4 b

et

















= 4 3 2 c

. Solution :

D

G F

A

C

B E

H

a b

c

y z

3. Calculs sur les coordonnées

Tous les résultats de la géométrie plane concernent les coordonnées de points et de vecteurs s’étendent à l’espace par adjonction d’une troisième coordonnée.

Dans un repère donné : - Le vecteur nul note 0

:

















= 0 0 0 0

- Soit deux vecteurs

















= z y x u

et

















= ' ' ' '

z y x u

• Le vecteur opposé de u

note −u :

















−

−

−

=

















−

=

−

z y x

z y x u

• pour tout nombre k,

















=

















=

kz ky kx z

y x k u k

• u=u' équivaut à

















=

















' ' ' z y x

z y x

•















 + + +

=















 +

















= +

' ' ' '

' ' '

z z

y y

x x

z y x

z y x u u 

•

















−

−

−

=

















−

















=

−

' ' ' '

' ' '

z z

y y

x x z y x z y x u u 

- Soit deux points M

(

x;y;z

)

et M'

(

x';y';z'

)

•

















−

−

−

= z z

y y

x x MM

' ' ' '

Exemple 1 : Dans un même repère

(

^{O;i,j,k}

)

, on considère les vecteurs

















= 3 1 2 a

et

















= 4 3 1 b



. x

Déterminer les vecteurs a b a b a b

− +

− ,2 , 3 ,2 . Solution :

















−

−

−

=

















−

=

−

3 1 2 3

1 2 a

,

















=

















=

8 6 2 4 3 1 2 2b

















=















 + +

+

=















 +

















=















 +

















= +

15 10 5 12 3

9 1

3 2 12 9 3 3 1 2 4 3 1 3 3 1 2 3b a 

















−

=

















−

−

−

=

















−

















=

















−

















=

−

2 1 3 4

6 3 2

1 4 4 3 1 6 2 4 4 3 1 3 1 2 2 2a b

Exemple 2 : Dans un même repère

(

^{O;i,j,k}

)

, on considère les points P

(

2;−3;1

)

et Q

(

0;4;−2

)

. Déterminer les coordonnées du vecteur PQ.

Solution : On a :

















−

−

=

















−

− +

−

=

















−

−

−

=

3 7 2 1

2 3 4

2 0

Q P

Q P

Q P

z z

y y

x x PQ

Exercices

1. Sur la figure ci-dessous, ABCDEFGH est un cube. Quelles sont les coordonnées des six autres sommets de ce cube.

2. Sur la figure ci-dessous, OABCDEFG est un parallélépipède. Quelles sont les coordonnées des sept autres sommets de ce parallélépipède ?

x B

y z

D C

F H

E

) 3 , 4 , 1 ( G

) 0 , 1 , 3 ( A

O

B

A

B D

G F

x

O ^E(2,4,2)

y z

C

3. Dans un repère

(

^{O;i,j,k}

)

, placer les points A

(

1;2;0

) (

, B −1;2;1

)

, C

(

−1;3;2

)

et D

(

−2;−1;−1

)

. 4. Dans un repère

(

^{O;i,j,k}

)

, on considère les points P

(

1;−2;2

) (

,Q 2;1;4

)

,^M

(

^0;1;2

) (

^{,N 2;1;4}

)

^et

le vecteur

















−

= 3 1 2

OA . Écrire les cordonnées des vecteurs OA, PQ et MN sous forme k

z j y i

x   +

+ .

5. Déterminer les coordonnées des vecteurs MN et NM tels que : a. M

(

−1;2;1

) (

,N 2;−2;4

)

b. M

(

4;1;7

) (

,N −2;2;4

)

c. M

(

5;7;9

) (

,N 8;6;4

)

d. M

(

0;8;9

) (

,N 3;7;3

)

6. Calculer x+ y+z tel que ^{i−4j+k= x}

(

^{i+ j}

) (

^{+y j−i}

)

^+z

(

^{2k− j}

)

^.

7. Soit deux vecteurs















−

= 3 0 2 a

et

















= 1

3 2 b



. Calculer : a. a b a b a b a b

2 , 4 4 , 5 ,

3 − − −

+

b. Les vecteurs opposés des vecteurs a b

−

5 ; a b

−2 .

8. On considère les points R

(

−2;−1;2

) (

,S 0;−5;6

)

. Déterminer un vecteur de trois unités et de sens contraire du vecteur RS.

9. Indiquer, parmi les vecteurs suivants, ceux qui sont colinéaires ?





















−

−

−

=

















−

=

















=

















−

−

=

















−

−

=















−

=

3 2 3 1 1 ,

2 3 0 ,

2 1 1 ,

3 6 3 ,

2 3 0 ,

1 2 1

f e

d c

b

a     

4. Norme d’un vecteur, distance de deux points Théorème

Dans un repère orthonormé, 1) Si un vecteur

















= c b a u

, alors la norme de u

est : u = a² +b²+c² 2) Si les points ^M

(

^x;y;z

)

et M'

(

x';y';z'

)

, alors la distance de MM' est :

(

'

) (

² '

) (

² '

)

²

' x x y y z z

MM = − + − + −

Démonstration :

1) Notons

(

^{O;i,j,k}

)

le repère orthonormé considéré et M le point tel que OM =u.

Alors

















= c b a

OM et u =OM .

Puisque le repère est orthogonal, le triangle OmM est rectangle en m.

Donc OM² =Om²+mM².

Or Om² =a²+b² et mM² =Om'²=c² ; donc OM²=a²+b²+c², c’est-à-dire

2 2 2 2

c b a

u = + +

donc u = a²+b² +c² .

2) ' ' .

2 2

MM MM =

Or le vecteur

















−

−

−

= z z

y y

x x MM

' ' '

' . Alors, d’après la partie 1 du théorème,

( ) (

²

) (

²

)

²

2 2

' '

' '

' MM x x y y z z

MM = = − + − + − donc MM'=

(

x'−x

) (

² + y'−y

) (

² + z'−z

)

² .

Exemple : On considère le vecteur















−

= 3 1 2 a

et les points A

(

^1;3;0

) (

^,S ^2;−^1;1

)

. Calculer la norme du vecteur a

et la distance AB. Solution :

- La norme du vecteur a

: a = (−2)² +1²+3² = 4+1+9 = 15

- la distance AB : AB=

(

2−1

) (

²+ −1−3

) (

²+ 1−0

)

² = 1+16+1= 18=3 2 5. Vecteur unitaire

Définition

- Un vecteur unitaire est un vecteur de norme 1.

Dans un repère orthonormé

(

^{O;i,j,k}

)

^,

















= 0 0 1 i

, i = 1²+0² +0² = 1=1

1 1 0 1 0 ,

0 1 0

2 2

2 + + = =

=

















= j

j 



1 1 1 0 0 ,

1 0 0

2 2

2+ + = =

=

















= j

k 

- Soit le vecteur

















= c b a u

, u

peut s’écrire sous forme : a

j k i b



M

m c

m'

z

x

) 1

; 0

; 0 ( k

y )

0

; 0

; 1 ( i

) 0

; 1

; 0 (

j

k z j y i a c

b a c b a c b a

u   

+ +

=















 +















 +

















=















 +















 +

















=

















=

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0

- Le vecteur non nul est unitaire et de même direction que le vecteur

















= c b a u

est

le vecteur :















 +

= +

=

c b a c b u a

u u

2 2 2

'  1

 

.

Exemple : Soit les points A

(

2;0;−1

)

et

(

3;−1;1

)

. Déterminer un vecteur unitaire de même direction que le vecteur AB.

Solution : On a :

















−

=

















−

−

−

−

−

=

















−

−

−

=

2 1 1 )

1 ( 1

0 1

2 3

A B

A B

A B

z z

y y

x x AB

(

³−²

) (

² + −¹−⁰

) (

²+ ¹−⁽−¹⁾

)

² = ¹+¹+⁴= ⁶

=

=AB AB

Si on désigne le vecteur unitaire de même direction que le vecteur AB par u

, alors on obtient :

















−

=

=

2 1 1 6 1 AB u AB

. On écrit aussi sous forme : u i j k 6 1 6 1 6

1 + +

= .

6. Cosinus directeur d’un vecteur Soit un vecteur

















= c b a

OP et les angles ,, tels que ^{ =}

(

^OP,Oy

)

^{,  =}

(

^OP,Ox

)

et ^{ =}

(

^OP,Oz

)

^.

- Le triangle OPA est rectangle en A, on a : OM

a OM

OA =

 = cos

- Le triangle OPB est rectangle en B, on a :

OM b OM

OB =

 = cos

- Le triangle OPC est rectangle en C, on a :

OM c OM

OC =

 = cos

Les angles , , sont appelés angles directeurs de OPpar rapport à l’axe

( )

Ox ,

( )

Oy et

( )

Oz . Les nombres cos ,  coset cos sont appelés cosinus directeurs de OPpar rapport à l’axe

( )

^Ox ,

( )

Oy et

( )

Oz . Définition

O z

) (a A

) y (b B

x ) , , (a b c P )

(c C



 

Les cosinus directeurs du vecteur

















= c b a u

tel que u 0

par rapport à l’axe

( )

Ox ,

( )

Oy et

( )

Oz sont

les nombres respectifs

u c u b u

a ,  ,  .

Exemple 1 : Trouver les cosinus directeurs du vecteur

















= 1

2 3 u

. Solution :

On a u = 3²+2²+1² = 140

, donc les cosinus directeurs du vecteur u

sont les nombres : 14

, 1 14 , 2 14

3 .

Exemple 2 : Trouver les cosinus directeurs du vecteur MN tel que M

(

1,3,5

)

et N

(

3,4,7

)

. Solution :

On a

















=

















−

−

−

=

2 1 2 5 7

3 4

1 3

MN et MN = 2² +1² +2² = 9 =30, donc les cosinus directeurs du

vecteur MN sont les nombres :

3 ,2 3 ,1 3

2 .

Propriété

- Deux vecteurs sont colinéaires et de même sens lorsqu’ils ont mêmes cosinus directeurs.

- Deux vecteurs sont colinéaires et de sens contraires lorsque leurs cosinus directeurs sont opposés.

Exemple 3 : Étudier la colinéarité des vecteurs suivants.

Les vecteurs

















−

= 4 10

2 u

, b



d’origine

(

1,2,3

)

et d’extrémité

(

2,−3,5

)

et c

d’origine O et d’extrémité

(

−3,15,−6

)

.

Solution :

- On a u = 2²+(−10)² +4² = 4+100+16= 120=2 30 , donc les cosinus directeurs du vecteur u

sont les nombres : 30

2 , 4 30 2 , 10 30 2

2 −

ou

30 , 2 30 , 5 30

1 −

.

- On a

















−

=

















−

−

−

−

=

2 5 1 3

5 2 3

1 2 b



et b = 1²+(−5)²+2² = 1+25+4 = 30



,

donc les cosinus directeurs du vecteur b

sont les nombres :

30 , 2 30 , 5 30

1 −

.

- On a

















−

−

=

















−

−

−

−

−

=

6 15 3 0

6 0 15

0 3 c

et c = (−3)² +15² +(−6)² = 9+225+36= 270=3 30 , donc les cosinus directeurs du vecteur c

sont les nombres :

30 3 , 6 30 3 , 15 30 3

3 −

− ou

30 , 2 30 , 5 30

1 −

− .

On constate que : les vecteurs u b , et c

sont colinéaires : . u

et b

sont colinéaires et de même sens . b

et c

sont colinéaires et de sens contraires.

Exercices 1. Calculer la norme de chacun des vecteurs suivants.

















−

−

=

















−

=

















=

8 0 10 ,

4 1 2 ,

3 2 1

c b

a  

et AB tel que A

(

3;4;1

) (

,B1;−1;6

)

. 2. Dans un repère

(

^{O;i,j,k}

)

, on considère les points P

(

1;−3;6

) (

,Q 3;−2;1

)

.

Calculer la distance PQ.

3. Quelle est la nature du triangle de sommets A

(

1;2;1

) (

,B −3;7;9

)

et C

(

11;4;2

)

. 4. Résoudre l’équation :

















−

=















 +















 +

















1 7 3 2

1 1 1

2 3 3

1 1

z y

x .

5. Déterminer le vecteur unitaire de même direction que le vecteur :

















−

= 3

2 1 a

, QR tel que Q

(

1;5;8

) (

,R0;−3;1

)

.

6. Déterminer le vecteur de deux unités et de même direction que le vecteur :

















−

= 3

2 1 a

, QR tel que Q

(

1;5;8

) (

,R0;−3;1

)

.

7. Calculer les cosinus directeurs de chacun des vecteurs suivants.

a. Vecteur d’origine A

(

2,5,3

)

et d’extrémité B

(

3,5,−1

)

b. Vecteur d’origine M

(

−^1,4,−²

)

et d’extrémité N

(

^2,−^4,7

)

c. Vecteur d’origine S

(

−3,1,0

)

et d’extrémité T

(

4,2,8

)

8. Étudier la colinéarité des vecteurs suivants.

Les vecteurs

















= 2 4 3 u

, PQ avec P

(

1,4,3

)

et Q

(

−2,0,1

)

, OR R

(

5,0,2

)

. 7. Produit scalaire

Définition

Le produit de deux vecteurs non nuls est un scalaire (un nombre) Théorème

Soit deux vecteurs non nuls u , v

tels que u xi yj zk + +

= et v xi y j z k ' '

' + +

= . Le produit scalaire

de u et v

note uv et calcule ainsi :

' ' ' yy zz xx

v

u= + +

Exemple : Soit

















−

= 5

1 2 u

et















−

= 6 4 3 v

, on a :

( ) ( )

3 14 5 6 6 4 30 20 2

6 4 3 5 1 2

= +

−

−

=

 +

− +

−

=















−



















−

=

v u 

Propriétés

1. Soit les vecteurs u , v

, w

et  un scalaire non nul.

1) uv=vu

2) u v w u v u w

 +



= +

( )

3) (uv)=(u)v=u(v) 4) 0= 0=0

u u

5) u u u² u²

=

=



6) ii= jj =kk=1 7) ij =ik= jk=0

2. Lorsque  est l’angle entre deux vecteurs u et v

tel que 0 180^, on a :

 cos v u v u   

=



3. Lorsque u,v0

, on a : 1) u⊥vuv=vu=0 2) u v u v u v





=



 //

Démonstration 1. 1) uv=vu

Soit u xi yj zk + +

= et v xi y j z k ' '

' + +

= , on a :

. uv=xx'+yy'+zz' . vu=x'x+y'y+z'z

Puisque la multiplication est commutative on a donc : z

z y y x x zz yy

xx'+ '+ '= ' + ' + ' cela montre uv=vu. 5) uu=u² = u²

Soit

















= z y x u

on a :

(

^{2 2 2}

)

^{2 2}

2 2

2 y z x y z u

x zz yy xx z y x z y x u

u  

= + +

= + +

= + +

=



































=



2. Lorsque  est l’angle entre deux vecteurs u et v

tel que 0 180^, on a :

 cos v u v u   

=

 .