J112. A la mode du taquin
Soit 𝑛 ≥ 3. On considère un damier 𝑛×𝑛 dont les 𝑛2 cases contiennent initialement des zéros et un carré de dimension 𝑛‒ 1 que l'on peut déplacer comme au jeu du taquin aux quatre coins du damier.
Une opération consiste à choisir l'une des quatre positions possibles du carré et dans chacune des cases appartenant à ce carré on ajoute ou on retranche un.
Pour quelle(s) valeur(s) de 𝑛 peut-on obtenir tous les entiers de 1 à 𝑛2 à l'intérieur du damier après un nombre fini d'opérations ?
Exemple : ci-contre le damier 3×3 rempli de zéros en n°0; la première opération donne la position n°1 avec le carré 2×2 du coin supérieur gauche et la deuxième opération donne la position n°2 avec le carré 2×2 du coin supérieur droit.
Solution
Proposée par Fabien GIGANTE
Raisonnons modulo 2. Une opération change la parité de toutes les cases de son carré.
Aux symétries près, on obtient après un nombre fini d’opérations, l’une des situations suivantes :
Le nombre de cases impaires du damier est alors 0, (𝑛 − 1)2, 2(𝑛 − 1), 4𝑛 − 6, 𝑛2− 2𝑛 + 3 ou 4.
Par ailleurs, le damier contient les entiers de 1 à 𝑛2, il contient donc ⌈𝑛2⁄ ⌉ cases impaires. 2 Notons ℇ = 1 si 𝑛 impair, ℇ = 0 si 𝑛 pair. De sorte que ⌈𝑛2⁄ ⌉ =2 1
2(𝑛2+ ℇ) On résout pour 𝑛 entier :
⌈𝑛2⁄ ⌉ = 0 ⟹ 𝑛 = 0 2
⌈𝑛2⁄ ⌉ = (𝑛 − 1)2 2⟹ (𝑛 − 2)2= 2 + ℇ ⟹ pas de solutions
⌈𝑛2⁄ ⌉ = 2(𝑛 − 1) ⟹ (𝑛 − 2)2 2= −ℇ ⟹ 𝑛 = 2
⌈𝑛2⁄ ⌉ = 4𝑛 − 6 ⟹ (𝑛 − 2)(𝑛 − 6) = −ℇ ⟹ 𝑛 = 2 ou 6 2
⌈𝑛2⁄ ⌉ = 𝑛2 2− 2𝑛 + 3 ⟹ (𝑛 − 2)2= ℇ − 2 ⟹ pas de solutions
⌈𝑛2⁄ ⌉ = 4 ⟹ pas de solutions 2
Le damier a donc nécessairement un côté de longueur 𝑛 = 6.
A partir d’un damier dont chaque case est de la parité souhaitée, on peut obtenir un damier dont chaque case est de la valeur souhaitée de même parité.
En effet, on remarque qu’en combinant deux opérations il est possible d’obtenir une transformation qui ajoute 2 (ou retranche 2) à une unique case en particulier :
On peut obtenir tous les entiers de 1 à 𝒏𝟐 à l'intérieur du damier 𝒏×𝒏, pour l’unique valeur 𝒏 = 𝟔.
1
-1 1
0
+ = 2
0 0 0 1 1 0 1 2 1 0 0 0 -1 -1 0 -1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
n°0 n°1 n°2
