Il affirme que la somme de toutes les fractions de la formeyi yj aveci6=j, 16i6k, 16j6kest aussi égale àS

A2826. Une erreur de calcul **

Zig a choisi vingt nombres réels positifsxi(i=1 à 20 dont la somme est égale à 85 et la somme de leurs inverses est égale à 24 puis il calculeS=Pxi

xj

, somme de toutes les fractions de la forme xi

xj

aveci6=j, 16ⁱ6^{20, 1}6^j6^20.

Puce de son côté a choisi une suite deknombres réels positifsyi(i=1 àk) dont la somme est égale 159 et la somme de leurs inverses est égale à 13. Il affirme que la somme de toutes les fractions de la formeyi

yj

aveci6=j, 16ⁱ6^{k, 1}6^j6^kest aussi égale àS.

DéterminerSpuis démontrer que Puce a fait une erreur de calcul.

Solution de Claude Felloneau

S=

20

X

i=1 20

X

j=1

xi

xj−

20

X

i=1

xi

xi = Ã₂₀

X

i=1

xi

! Ã₂₀ X

j=1

1 xj

!

−20=85×24−20=2020.

De même, la sommeT de toutes les fractions de la forme yi

yj

aveci 6=j, 16ⁱ6^{k, 1}6^j6^kest égale à 159×13−k. Or d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

v u u t

k

X

i=1

x_i v u u t

k

X

i=1

1 xi >

k

X

i=1

µp x_i 1

pxi

¶

=

k

X

i=1

1=k

donck6^p159×p

13 d’oùk6^{45 puisquek}est entier.

AinsiT>¹⁵⁹×13−45=2022. On aT>S, donc Puce a commis une erreur.

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