PAQ, RAS, TAU et VAW est égale à la somme des parts repérées par des croix bleues

(1)

D129 – Les huit tranches du gâteau

Solution

Si le centre O du gâteau était connu, la ligne OA serait un diamètre et le problème serait trivialement résolu. Même en ignorant où est son centre, Diophante peut couper le gâteau en huit parts inégales telles que la somme des surfaces de quatre d’entre elles soit

rigoureusement égale à la somme des surfaces des quatre autres.

Il donne un premier coup de couteau selon une ligne PAT quelconque qui passe par le point A où se trouve la bougie puis il donne un deuxième coup de couteau selon la ligne RAV

perpendiculaire à PAT au point A. Il poursuit avec les lignes QAU et SAW qui sont les bissectrices des angles droits PAR et RAT et sont également perpendiculaires entre elles.

On va démontrer que la somme des surfaces repérées par des croix rouges + + + PAQ, RAS, TAU et VAW est égale à la somme des parts repérées par des croix bleues + - + quel que soit l’angle u que fait la ligne PAT avec OA.

Par convention on prend le rayon du gâteau circulaire égal à 1 et on désigne par a la distance de la bougie au centre du gâteau avec a < 1.

On a tout d’abord la relation remarquable suivante :quelle que soit la position de A à

l’intérieur du cercle de centre O on a AP²AR²AT²AV²AQ²AS²AU²AW². On désigne par u l’angle OAP. Les autres angles OAQ, OAR, OAS, etc… s’en déduisent aisément par ajout de 45° à chaque nouveau point Q, R, S, T, … sur la circonférence du cercle.

C’est ainsi que angle (OAQ) = u + 45°, angle(OAR) = u+90°, angle(OAS) = u +135°, ….

(2)

Soit P’ la projection de O sur AP. On a AP = AP’ + P’P avec AP’ = OA.cos(u) et P’P = (u)

sin a 1 OP'

1 ²   ² ² . D’où AP = a.cos(u) + 1a²sin²(u).

Si l’on projette le point O respectivement sur AQ, AR, AS, AT, AU, AV et AW on obtient les points Q’, R’, S’, T’, U’, V’ et W’non mentionnés sur la figure afin de ne pas l’alourdir et qui permettent d’établir la mesure des segments AQ, AR, AS, AT, AU, AV et AW à savoir : AQ = a.cos(u+45) + 1a²sin²(u45)

AR = - a.sin(u) + 1a²cos²(u) AS = -a.sin(u+45) + 1a²cos²(u45) AT = -a.cos(u) + 1a²sin²(u)

AU = -a.cos(u+45) + 1a²sin²(u45) AV = a.sin(u) + 1a²cos²(u)

AW = a.sin(u+45) + 1a²cos²(u45) On constate que :

(u) sin a 1 2acos(u).

(u) sin a - 1 (u) cos a

AP² ² ²  ² ²   ² ²

(u) sin a 1 2acos(u).

(u) sin a - 1 (u) cos a

AR² ² ²  ² ²   ² ²

(u) cos a 1 2asin(u).

(u) cos a - 1 (u) sin a

AT² ² ²  ² ²   ² ²

(u) cos a 1 2asin(u).

(u) cos a - 1 (u) sin a

AV² ² ²  ² ²   ² ²

L’addition de ces quatre dernières relations donne AP²AR²AT²AV²= 4, résultat qui est donc indépendant de la position de P et de l’angle u. D’une manière générale, on obtient une somme des quatre carrés des segments AP,AR, AT et AV qui est égale à 4r avec r rayon ² du gâteau.

(3)

Sachant qu’avec les points Q,S,U et W l’angle u est devenu u+45°,on obtient sans faire de calculs l’identité :AQ² AS²AU² AW²=4.

D’où l’égalité AP²AR²AT²AV²AQ²AS²AU²AW².

Supposons maintenant que l’on fasse pivoter la ligne PAT d’un angle élémentaire du dans le sens des aiguilles d’une montre, le point P passe en P , le point R en ₁ R , le point T en ₁ T et le ₁ point V en V . L’aire du secteur AP₁ P est au second ordre près égale à ₁ AP².du/2, celle du secteur ARR à ₁ AR².du/2,etc… Il en résulte que l’aire globale des parts PAQ, RAS, TAU et VAW est amputée de 4.du/2 = 2du et la surface des parts QAR, SAT, UAV et WAP est augmentée d’autant.

Mais le même raisonnement fait avec les points Q, S, U et W qui deviennent Q₁,S₁,U₁et W₁ permet de dire qu’une rotation des lignes QAU et SAW d’un angle élémentaire du a pour effet de réduire de 2du la surface des parts QAR, SAT, UAV et WAP et d’augmenter de la même quantité la surface des parts PAQ, RAS, TAU et VAW .

La rotation des lignes PAT, QAU,RAV et SAW autour du point A ne modifie donc ni la somme des aires des 4 parts PAQ, RAS, TAU et VAW ni celle des 4 parts QAR, SAT, UAV et WAP .

Or quand l’angle u est nul, c’est à dire quand la première ligne de coupure du gâteau PAT passe par le centre du cercle, l’aire globale des quatre parts PAQ, RAS, TAU et VAW marquées par les croix rouges + + + est égale à l’aire globale des quatre parts QAR, SAT, UAV et WAP marquées par les croix bleus + - + en raison de la symétrie des quatre lignes de coupure par rapport à l’axe des abscisses.

En conclusion avec le mode de découpage du gâteau adopté par Diophante, la somme des aires des 4 parts PAQ, RAS, TAU et VAW reste toujours égale à celle des aires des 4 parts QAR, SAT, UAV et WAP . Il n’y aura donc pas de jaloux et de jalouses parmi les neveux et nièces.