A2831. Les fractionnaires sont de la partie
Probl`eme n0 1
On a : √
2 <57931/25 < x < 9204821/25<√ 3 (1.4142136<1.414173< x <1.7320507<1.7320508) soit 2< x2<3
Posonsx2= 2 +y.
{x2}={1
x}devient y={ 1
√2 +y} avec 1
√2 < 1
√2 +y < 1
√3 c’est-`a-dire y2(2 +y) = 1
On obtient : x= 1 +√ 5 2 x2= 3 +√
5 2 xn= an+bn√
5
2 , an= an−1+an−2, bn=bn−1+bn−2
n an bn
1 1 1
2 3 1
3 4 2
4 7 3
5 11 5
6 18 8
7 29 13
8 47 21
.. .. ..
15 1364 610
16 2207 987
17 3571 1597 18 5778 2584 19 9349 4181 20 15127 6765
Doncx20= 15127 + 6765√ 5 2
et x20− 6765
x = 15127 + 6765
2 = 10946
1
Probl`eme
n0 2 Q1
{x∗y}={x+y} revient `a x∗y−(x+y) =E (E entier)
Dans le diagramme ci-dessus, on a visualis´e en noir les zones hyperboliques o`u la partie enti`ere de l’expressionx∗y−(x+y)est paire. Tous les points des fronti`eres entre zone blanche et zone noire sont des solutions du probl`eme.
(nb: la partie enti`ere d’un nombre est d´efinie comme l’entier inf´erieur) Q2
{x} ∗ {y}={x+y}?
On peut se limiter `a la zone0< x <1 ET 0< y <1, puisque les autres carr´es1×1reproduisent la mˆeme configuration.
2
Dans le triangle d´efini parx+y <1, on a{x+y}= x+y {x} ∗ {y} − {x} − {y}= x∗y−(x+y)< 0
La valeur de l’expression au voisinage de la diagonale varie de−1+ε`a−0.75+ε Dans le triangle compl´ementaire, on a{x+y}=x+y−1
{x} ∗ {y} − {x} − {y}= x∗y−(x+y) + 1>0
La valeur de l’expression{x}∗{y}−{x}−{y}pour 2 points de part et d’autre de la diagonale subit une discontinuit´e de1. Il n’y a donc pas de solution.
3
