corrigé

Exercice 1 : La courbe ci-contre représente une fonction f. En utilisant le graphique, répondre aux questions.

1. Donner l'ensemble de définition de f. df = [−5 ;7 ]

2. Quelle est l'image de 4 par f ? f (4)=2

3. Donner le tableau de variations de f.

x –5 –2 2 7

f (x ) 2

–3

4

–1 4. Résoudre graphiquement l'équation f (x )=2 .

f (x )=2 ⇔ x=−5 ou x=0 ou x=4

5. Donner les antécédents de 0 (ou un encadrement à l'unité, si le graphique ne permet pas d'en connaître une valeur entière exacte) par f.

Les antécédents de 0 par f sont, d'après le graphique, , −1 et 5, avec α≈−3,5 ( −4<α <−3 ). 6. Résoudre graphiquement l'inéquation f (x )⩽2 (rédiger la méthode).

Résoudre graphiquement l'inéquation f (x )⩽2 revient à déterminer les abscisses des points de cf qui sont en dessous ou sur la droite d'équation y=2 , s'il en existe.

s1 = x ⩾ 0

7. Tracer la droite (d) d'équation y=x +2 et résoudre graphiquement l'inéquation f (x )⩾x +2 (rédiger la méthode).

Résoudre graphiquement l'inéquation f (x )⩾x +2 revient à déterminer les abscisses des points de cf qui sont au-dessus ou sur la droite d'équation y=x +2 , s'il en existe.

s2 = [−5 ;−3 ]∪[ 0 ;2 ]

Exercice 2 : Pour fabriquer une boîte parallélépipédique, on dispose d'une plaque carrée de côté 6 dm, dans laquelle on découpe à chaque coin un carré de côté x dm . On obtient ainsi le patron d'une boîte sans couvercle.

Soit V la fonction qui à la longueur x associe le volume V (x ) de la boîte. 1. a) Justifier que l'ensemble de définition de la fonction V est l'intervalle [0 ;3 ] .

x est une longueur donc x⩾0 . De plus, la découpe, étant faite dans chacun des coins, le carré découpé ne Généralités sur les fonctions - corrigé

peut avoir un côté supérieur à la moitié du carré de départ, donc x⩽3 . b) Déterminer, en fonction de x, les dimensions de cette boîte.

h=x c=6−2 x

c) En déduire que pour tout réel x de l'intervalle [0 ;3 ] , V (x )=4 x3

− 24 x2+36 x . Pour tout x ∈ [0 ;3 ] , V (x )=c2_h V (x )=x (6−2 x )2 (expression de départ) V (x )=4 x(3−x )2 (forme factorisée de V (x ) ) V (x )=4 x(9−6 x + x2) V (x )=36 x−24 x2+4 x3 V (x )=4 x3_{− 24 x}2_{+36 x}

2. Calculer V(1,5). Interpréter concrètement ce résultat. Pour ce calcul, puisque 1,5=3

2 , l'expression de départ semble la mieux adaptée. V (1,5)=3 2×

(

)

En découpant, dans chaque coin de la plaque carrée, un carré de côté 1,5 dm, on peut construire une boîte de volume 13,5 dm³.

3. Pour quelle(s) valeur(s) de x obtient-on une boîte cubique? Quel est alors le volume de cette boîte ? La boîte est cubique si et seulement si c=h .

c=h ⇔

{

0⩽x⩽3 (Existe-t-il une solution et est-elle unique ? Problème d'existence et d'unicité : d'où le travail par équivalence) ⇔

{

0⩽ x⩽3

⇔ x=2

L'expression factorisée permet de déterminer V (2) avec un minimum de calcul : V (2)=4×2×(3−2)2

V (2)=8

En découpant un carré de côté 2 dm dans chaque coin de la plaque, on obtient une boîte cubique (d'arête 2 dm) de volume 8 dm³. C'est la seule façon d'obtenir une boîte cubique.

4. Compléter le tableau de valeurs suivant à l'aide du mode TABL la calculatrice.

x 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5 2,75 3

5. Construire la représentation graphique de la fonction V dans un repère orthogonal (unités : 4 cm en abscisses et 0,5 cm en ordonnées).

6. Conjecturer graphiquement le volume maximal de la boîte. Pour quelle(s) valeur(s) de x est-il atteint ? Le point le plus haut de la courbe semble avoir pour coordonnées (1; 16) . On vérifie bien, par le calcul, que

V (1)=16 .

Le volume maximal de la boîte semble être 16 dm³, atteint lorsque x=1 . 7. Vérifier que pour tout réel x de l'intervalle [0 ;3 ] , V (x )−16=4(x −1)2

(x − 4).

La question étant « Vérifier que... », il est autorisé de procéder en comparant les formes développées de V (x )−16 , d'une part, et de 4 (x−1)2(x−4) , d'autre part.

Pour tout réel x de l'intervalle [0 ;3 ] , V (x )−16=4 x3_{− 24 x}2

+36 x−16 Pour tout réel x de l'intervalle [0 ;3 ] , 4 (x−1)2

(x−4)=4( x2 −2 x+1)(x −4) =4( x3−4 x2−2 x2+8 x +x−4) =4( x3−6 x2+9 x−4) =4 x3_{−24 x}2 +36 x−16 Finalement, pour tout réel x de l'intervalle [0 ;3 ] , V (x )−16=4(x −1)2

(x − 4)

8. En déduire que, pour tout réel x de l'intervalle [0 ;3 ] , V (x )≤ 16 . Ceci permet-il de valider la conjecture de la question 6 ?

Pour tout réel x de l'intervalle [0 ;3 ] , 4 (x−4)<0 et (x−1)2

⩾0

Donc, pour tout réel x de l'intervalle [0 ;3 ] , 4 (x−1)2

(x−4)⩽0 V (x )−16⩽0 V (x )⩽16 De plus, V (1)=16

Donc, pour tout réel x de l'intervalle [0 ;3 ] , V (x )⩽V (1)

Exercice 3 : On connaît le tableau de variations d'une fonction f définie sur [−2 ;5 ] :

1. Répondre par Vrai, Faux ou On ne peut pas conclure : a) L'image de 0 par f est 1.

0 ∈ [−5 ;1] .

La fonction f est décroissante sur cet intervalle, et à valeurs dans [0 ; 4 ] . 0 admet une image par f dans [0 ; 4 ] , intervalle qui contient bien 1.

Il est donc possible que l'image de 0 par f soit 1, mais il est aussi tout à fait possible que ce ne soit pas le cas. On ne peut pas conclure.

b) f (2)=3

2 ∈ [1 ;3 ] . Sur cet intervalle, la fonction f est croissante. On peut donc affirmer que f (2)⩽ f (3) .

f (2)⩽2 f (2)≠3 L'affirmation est donc fausse. c) f (2)>0

On a de plus, f (1)< f (2) 0< f (2) L'affirmation est vraie. d) f (−5)< f (−2)

−5 et −2 sont dans l'intervalle [−5 ;1] , intervalle sur lequel la fonction f est décroissante. −5<−2 donc f (−5)⩾ f (−2)

L'affirmation est fausse. e) f (−6)<0

−6 ∈ [−7 ;−5]

f est croissante sur [−7 ;−5] et à valeurs dans [−2 ; 4 ] .

On peut donc juste affirmer que f (−6)∈[−2; 4 ] mais on n'a pas plus d'information. On ne peut pas conclure.

f) f est croissante sur [−6 ;−4 ] .

f est croissante sur [−6 ;−5] et décroissante sur [−5 ;−4 ] , atteignant un maximum local en −5 . Ce maximum est 4.

Il existe un nombre k voisin de 4 ( k <4 ) et deux nombres x₁ et x₂, respectivement dans [−6 ;−5] et dans [−5 ;−4 ] , ayant pour image k par f.

Pour tout x ∈ [−6 ; x1], f (x )⩽k Pour tout x ∈ ] x1;−5 ] , f (x )>k Pour tout x ∈ ]−5; x₂], f (x )⩾k Pour tout x ∈ ] x₂;−4 ] , f (x )<k Prenons u dans ] x₁;−5 ] : f (u)>k Prenons v dans ] x₂;−4 ] : f (v)<k

On a alors montré qu'il existe deux réels u et v dans [−6 ;−4 ] tels que u<v et f (u)> f (v) .

Ce qui permet d'affirmer que f n'est pas croissante sur [−6 ;−4 ] . L'affirmation est fausse.

g) 1 est un antécédent de 0 par f. f (0)=1

0 est l'image de 1 par f. 1 est un antécédent de 0 par f. L'affirmation est vraie.

h) 2 admet trois antécédents par f.

Un peu de théorie pour faciliter la rédaction de la réponse à cette question : f ([−7 ;−5 ])=[−2 ; 4 ] signifie 1. et 2. sont vrais :

1. f ([−7 ;−5 ])⊂[−2 ; 4 ] : tout réel de [−7 ;−5] admet (exactement) une image par f dans [−2 ; 4 ] . 2. [−2 ; 4 ]⊂ f ([−7 ;−5 ]) : tout réel de [−2 ; 4 ] admet (au moins) un antécédent par f dans [−7 ;−5] . D'après le tableau de variations, f ([−7 ;−5 ])=[−2 ; 4 ] .

Or, 2 ∈ [−2 ; 4 ] . Donc 2 admet au moins un antécédent par f dans [−7 ;−5] .

On sait de plus que f est (strictement) croissante sur [−7 ;−5] donc 2 admet exactement un antécédent par f dans [−7 ;−5] .

On montrerait, avec le même type de raisonnement, que 2 admet un unique antécédent dans [−5 ;1] , et un unique antécédent dans [1 ;3 ] (ce dernier étant d'ailleurs connu et égal à 3).

Finalement, 2 admet exactement trois antécédents par f. L'affirmation est vraie.

2. Donner un encadrement, le plus précis possible, de f (x ) , sachant que x vérifie : a) 1⩽x ⩽3 b) −5⩽x⩽3 c) −7⩽x ⩽3

a) Soit x un réel de l'intervalle [1 ;3 ]

f est croissante sur [1 ;3 ] donc f (1)⩽ f (x )⩽ f (3) . 0⩽ f (x )⩽2

b) D'après le tableau de variations de f, le miminum et le maximum de f sur [−5 ;3 ] sont, respectivement, 0 et 4.

Autrement dit : pour tout x ∈ [−5 ;3 ] , 0⩽ f (x )⩽4 , et les valeurs extrêmes sont atteintes. c) En procédant de même que dans la question précédente, on a :

Si x ∈ [−7 ;3 ] alors −2⩽ f ( x)⩽4 .

Exercice 4 : Tracer une courbe susceptible de représenter la fonction f sachant que : - f est définie sur l'intervalle [−2 ;5 ] ;

- le maximum de f sur [−2 ;5 ] est 2 et est atteint en 1 ; - le minimum de f sur [−2 ;5 ] est −3 et est atteint en 4 ; - les antécédents de 0 par f sont −2 , 0, 3 et 5.

Les informations (analytiques) ci-dessus se traduisent graphiquement ainsi :

- à chaque valeur de l'intervalle [-2;5] sur l'axe des abscisses est associé exactement un point de la courbe cf et aucun point de la courbe cf n'a une abscisse à l'extérieur de cet intervalle ;

- le point le plus haut de la courbe cf a pour coordonnées (1; 2) et aucun autre point de cf n'est aussi haut ; - le point le plus bas de la courbe cf a pour coordonnées (4 ;−3) et aucun autre point de cf n'est aussi bas ; - la droite d'équation y=0 (l'axe des abscisses), coupe cf en exactement quatre points, abscisses −2 , 0, 3 et 5.

Cela laisse pas mal de possibilités pour tracer une courbe susceptible de représenter f...

Exercice 5 : On s'intéresse à la fonction f définie sur ]−∞; 2[ ∪]2 ;+∞[ par f (x )=3 x−7 x−2 . On appelle c sa représentation graphique dans le plan muni d'un repère.

1. Étudier le signe de f (x ) . x –∞ 2 7 3 +∞ 3 x−7 – – 0 + x−2 – + ⋮ + f (x ) + – 0 +

2. Calculer l'image de

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

3. Montrer que pour tout x ≠ 2, f (x )=3− 1 x −2 . Pour tout x ≠2 , 3− 1 x−2= 3(x−2)−1 x−2 =3 x−7 x−2 =f ( x)

Une autre méthode (qui a l'avantage de ne pas présupposer le résultat) :

f est une fonction homographique et son expression possède donc une écriture canonique de la forme f (x )=α+ A x−2 (résultat de cours). Pour tout x ≠2 , α+ A x −2=f ( x) α(x−2)+A x−2 = 3 x −7 x−2 αx +(A−2 α )=3 x−7 (α−3) x+(A−2 α+7)=0

[x  (α−3) x+(A−2 α+7) ] est une fonction affine (son expression est de la forme mx+ p ). Et, c'est, d'après ce qui précède, la fonction nulle. La seule fonction affine qui convient est telle que m=0 et p=0 . Donc,

{

A−2 α+7=0

{

A=−1

Finalement, pour tout x ≠2 , f (x )=3− 1 x −2

4. Montrer que la fonction f est strictement croissante sur ]2 ;+∞ [ . Soit u et v dans ]2 ;+∞ [ tels que u<v .

On a alors : 2<u<v

0<u−2<v −2 (ajouter −2 aux membres d'une inégalité n'en change pas le sens) 1

u−2> 1

v−2 (la fonction inverse est strictement décroissante sur ]0 ;+∞ [ ) − 1

u−2<− 1

v−2 (prendre l'opposé des membres d'une inégalité en change le sens) 3− 1

u−2<3− 1

v−2 (ajouter 3 aux membres d'une inégalité n'en change pas le sens) f (u)< f (v)

On a montré que pour tous u et v dans ]2 ;+∞ [ tels que u<v , on a : f (u)< f (v)

La fonction f conserve strictement l'ordre sur ]2 ;+∞ [ . Autrement dit, la fonction f est strictement croissante sur ]2 ;+∞ [ .

Autre présentation : [x  x−2 ] [x  1 x ] [x  −x+3 ] ]2 ;+∞ [ –––––––––– ]0 ;+∞ [ –––––––––– ]0 ;+∞ [ –––––––––– ]−∞;−3[ x ––––––––– x−2 ––––––––– 1 x−2 ––––––––– 3− 1 x−2 s ––––––––– 1 s t ––––––––– −t+3 x ––––––-–––––––––––––––––––-–––––––––––––––––––– f (x ) 5. Résoudre l'équation f (x )=3 . f (x )=3 ⇔ 3− 1 x−2=3 ⇔ − 1 x−2=0 Or, pour tout x ≠2 , 1

x−2≠0

L'équation f (x )=3 n'a pas de solution.

6. Déterminer les points d'intersection de la courbe représentative de f avec les axes de coordonnées. f (0)=7

2

La courbe c coupe l'axe des ordonnées au point

(

)

f (x )=0 ⇔ x=7

3

La courbe cf coupe l'axe des abscisses au point

(

)

a) Déterminer les coordonnées du symétrique A' de A par rapport au point Ω(2; 3) . f (3)=2 donc A (3 ;2) .

A ' =sΩ(A) donc  est le milieu du segment [ AA ' ] .

{

{

Remarque : On se rappelle que f est une fonction homographique et que sa représentation graphique est une

hyperbole, centrée en Ω(2; 3) (2 est le seul réel à ne pas avoir d'image par f et 3 est le seul réel à ne pas avoir d'antécédent par f).

conserve l'ordre

change l'ordre

change l'ordre

Exercice 6 :

ABCD est un carré de côté 4. On place les points E et F sur [ AB ] et [ BC ] tels que : BE=BF =x .

1. a) Faire une figure dynamique à l'aide de Geogebra.

b) Conjecturer la position de E sur [ AB ] pour laquelle l’aire du triangle EFD semble être égale à 6.

2. On appelle f la fonction qui à x associe l’aire f  x  du triangle EFD .

Quel est l’ensemble de définition df de f ?

3. Montrer que, pour tout x ∈ df , f  x =–1₂x24 x .

4. Déterminer la position de E sur [ AB ] pour laquelle l’aire du triangle EFD est égale à 6.

1. b) L’aire du triangle EFD semble être égale à 6 lorsque E est le milieu de [ AB ] . 2. On appelle f la fonction qui à x associe l’aire f  x  du triangle EFD .

df = [0 ; 4 ]

3. Soit G le point d'intersection de [ BD ] et [ EF ] . aEFD = EF×GD₂

EFB est un triangle rectangle isocèle en B . Les côtés de l'angle droit ont pour longueur x .

Donc EF =x



Par symétrie de la figure autour de  BD , G est le milieu de [ EF ] et GB=1

2 EF= x



[BD ] est une diagonale d'un carré de côté 4, donc BD=4





















Finalement, pour tout x ∈ df , f  x =–1₂ x24 x .

Une autre méthode, sans doute plus simple consistait à décomposer le carré ABCD à l'aide des quatre triangles ADE , CDF , BEF et DEF .

On a alors : aEFD = aABCD – aADE – aCDF – aBEF

On retrouverait le même résultat (sans faire apparaître



4. f  x =6 ⇔

{

{

Le sommet de la parabole d'équation y=x2

– 8 x 12 a pour abscisse –_2×1– 8 =_{4 et pour ordonnée} 42_{– 8×412=– 4 .}

On en déduit la forme canonique de l'expression x2– 8 x12 : Pour tout x ∈ ℝ, x2_{– 8 x12= x – 4}2_{– 4 .} f  x =6 ⇔

{

{

{

L’aire du triangle EFD est égale à 6 lorsque x=2, soit lorsque BE=1₂ BA , donc lorsque E est le milieu de [ AB ] .