1 ère STMG1 Mathématiques Séance 18

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STMG1 – Mathématiques – Séance 18

Au programme :

▪ Visionner la video suivante qui explique l'exercice 1:

https://youtu.be/tjg1_QaCLXo

▪ Etudier la correction de l'exercice 1

▪ Visionner les videos suivantes qui expliquent le cours:

https://youtu.be/vCjdYVMsHsg Début du cours https://youtu.be/LU_HrEi1Qa8 Fin du cours

▪ Cours: Chapitre 08 : Fonctions du 3ème degré I Une fonction de référence: la fonction cube II Fonctions de la forme x ax³ et x ax³ + b

▪ Visionner la video suivante:

https://www.youtube.com/watch?v=4tQJRkpIH3k&feature=youtu.be

▪ Faire les exercices 801 à 805 et me les envoyer par mail avant lundi 8 juin avant 10 h.

▪ Si vous avez des questions, vous pouvez me joindre par mail à l’adresse suivante : guilaine.mallet@gmail.com

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▪ Visionner la video suivante qui explique l'exercice 1:

https://youtu.be/tjg1_QaCLXo

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Exercice 1 - Corrigé

a) f(x) = ( − 3x + 9)( − 2x + 16)

Calculons les valeurs qui annulent f(x) en résolvant les équations suivantes:

− 3x + 9 = 0

− 3x = − 9 x = ⁹

3



 x = 3

− 2x + 16 = 0

− 2x = − 16 x = ¹⁶

2



 x = 8 On a le tableau suivant:

x −  3 8 +  signe de − 3x + 9

m = − 3 et p = 9 + 0 − − signe de − 2x + 16

m = − 2 et p = 16 + + 0 − signe de f(x) = ( − 3x + 9)( − 2x + 16) + 0 − 0 +

b) f(x) = ( − 5x + 4)(2 + 3x)

Calculons les valeurs qui annulent f(x) en résolvant les équations suivantes:

− 5x + 4 = 0

− 5x = − 4 x = ⁴

5



 = ⁴ 0,8 5

2 + 3x = 0 3x = − 2 x = ²

3 On a le tableau suivant:

x −  − ²

3 ⁴

5 +  signe de − 5x + 4

m = − 5 et p = 4 + + 0 − signe de 2 + 3x = 3x + 2

m = 3 et p = 2 − 0 + + signe de f(x)= ( − 5x + 4)(2 + 3x) − 0 + 0 − c) f(x) = x(5x + 8) = (1x + 0)(5x + 8)

Calculons les valeurs qui annulent f(x) en résolvant les équations suivantes:

x = 0 5x + 8 = 0

5x = − 8 x = ⁸ 1,6

5  On a le tableau suivant:

x −  − ⁸

5 0 +  signe de x = 1x + 0

m = 1 et p = 0 − − 0 + signe de 5x + 8

m = 5 et p = 8 − 0 + + signe de f(x) = x(5x + 8) + 0 − 0 + d) f(x) = (3x + 4)(5x − 8)( − 2x − 9)

On résout les équations suivantes:

3x + 4 = 0 3x = − 4 x= − ⁴

3

5x − 8 = 0 5x = 8 x = ⁸ 1,6

5

− 2x − 9 = 0

− 2x = 9 x = ⁹ 4,5

2  On a le tableau suivant:

x −  − ⁹

2 − ⁴

3 ⁸

5 +  signe de 3x + 4 − − 0 + + signe de 5x − 8 − − − 0 + signe de − 2x − 9 + 0 − − − signe de f(x) + 0 − 0 + 0 −

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▪ Visionner les videos suivantes qui expliquent le cours:

https://youtu.be/vCjdYVMsHsg Début du cours https://youtu.be/LU_HrEi1Qa8 Fin du cours

Cours

1ère STMG - Chapitre 08 - Fonctions du 3ème degré

I Une fonction de référence: la fonction cube

● La fonction cube est la fonction f définie sur  par f(x) = x³

● Pour tout x  , on a:

   

     

 

f x  x  x  x  x  x  f x On dit que f est une fonction impaire: Cela signifie que sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère

Le graphique ci-contre illustre le cas d'une fonction impaire (On voit que lorsque f( − x) = − f(x), alors les points M et M' sont symétriques par rapport à l'origine du repère).

Tableau de signes

x −  0 +  signe de x³ − 0 +

Tableau de variation

x −  +  variation de x  x³

Tableau de valeurs

x 0 0,5 1 2 3

x3 0 0,125 1 8 27

Courbe représentative

L'origine du repère est un point d'inflexion de la courbe représentative de la fonction cube (cela signifie qu'aux alentours de ce point, la courbe est

très « aplatie ») Soit k un réel quelconque.

L'équation x³ = k admet une unique solution appelée racine cubique de k.

Cette solution est notée ³k ou

1

k3

Exemple:

Résoudre les équations suivantes:

a) x³ = 125 b) x³ = − 729 c) 8x³ − 5 = 22

a) ³125 = 5 donc la solution de l'équation x³ = 125 est égale à 5

b) ³729 = − 9 donc la solution de l'équation x³ = − 729 est égale à − 9

c) Transformons d'abord cette équation afin d'isoler le terme x³: 8x³ − 5 = 22 équivaut à: 8x³ = 22 + 5

8x³ = 27 x3 = ²⁷

8

3 27 3

8 2 donc la solution de l'équation 8x³ − 5 = 22 est égale à ³ 2 Sur la calculatrice:

II Fonctions de la forme x

ax

et x

ax

+ b

Définition:

On considère la fonction f définie sur  par f(x) = ax³ + b où a est un réel non nul et b est un réel.

Cette fonction est une fonction polynôme de degré 3.

Propriété:

 Si a > 0, alors la fonction x  ax³ + b est strictement croissante sur .

 Si a < 0, alors la fonction x  ax³ + b est strictement décroissante sur .

On a donc les tableaux de variation suivants:

1er cas: a < 0

x −  +  variation de

x  ax³ + b

2ème cas: a > 0

x −  +  variation de

x  ax³ + b

Propriété:

La courbe représentative de la fonction x  ax³ est symétrique par rapport à l'origine du repère.

Exemples:

x  − 2,5x³ x  − x³ x  − 0,1x³

x 0,05x³ x  x³ x  3x³

Propriété:

La courbe représentative de la fonction x ax³ + b s'obtient en déplaçant verticalement la courbe représentative de la fonction x  ax³ (vers le haut si b > 0 ou vers le bas si b < 0): Autrement dit, on effectue une translation de vecteur u

de coordonnées (0; b).

Le centre de symétrie de la courbe a alors pour coordonnées (0; b).

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▪ Visionner la video suivante:

https://www.youtube.com/watch?v=4tQJRkpIH3k&feature=youtu.be

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▪ Faire les exercices 801 à 805 et me les envoyer par mail avant lundi 8 juin avant 10 h.

Exercice 801

Résoudre les équations suivantes:

a) x³ = 12,167 b) x³ = − 6 859 c) − 27x³ = − 64

d) 3x³ + 10 000 = 15 625 e) (x³ − 1)(x³ + 8) = 0

Exercice 802

Un gros producteur de poires récolte chaque année entre 0 et 6 tonnes de poires.

Ce producteur étudie le coût total de sa production.

x désigne la quantité de poires produites (en tonnes).

Le coût total (en milliers d'euros) est modélisé par la fonction C définie sur l'intervalle [0; 6] par:

C(x) = 0,05x³ + 4

1) Expliquer pourquoi la fonction C est croissante sur l'intervalle [0; 6].

2) Combien valent les coûts fixes ? Justifier.

3) Calculer la quantité de poires produites correspondant à un coût total de 7 200 €.

Enoncé des exercices 803 à 805: voir page suivante

Exercice 803

Relier chacune des fonctions f, g et h définies sur  à la courbe correspondante:

f(x) = 0,25x³ g(x) = − 2,5x³

h(x) = x³

Justifier la réponse par une ou plusieurs phrases.

Exercice 804

Relier chacune des fonctions f, g et h définies sur  à la courbe correspondante:

f(x) = 0,5x³ − 2 g(x) = − 0,75x³ − 5

h(x) = − 0,3x³ + 4

Justifier la réponse par une ou plusieurs phrases.

Exercice 805

Soit f une fonction définie sur  par f(x) = ax³ + b

1) La courbe représentative de f coupe l'axe des ordonnées en un point d'ordonnée 16.

a) Combien vaut f(0) ? b) Déterminer la valeur de b.

2) La courbe représentative de f coupe l'axe des abscisses en un point d'abscisse 4.

a) Combien vaut f(4) ? b) Calculer la valeur de a.